Математика. Планиметрия. Окружности. Шесть доказательств теоремы о бабочке.

Теорема о бабочке — классическая теорема планиметрии.

Опубликована в 1815 году в английском мужском журнале . Её авторство приписывают Уильяму Джорджу Горнеру.

Очень красивая и интересная теорема с красивым названием, имеющая массу различных доказательств.

Теорема о бабочке. Пусть точка  — середина хорды окружности . Проведем через  две другие хорды:  и . Хорда  пересечет  в точке , а  пересечет  в точке . Тогда точка  является серединой отрезка .

Пока традиционное лирическое отступление, чтобы вы сразу не бросились читать доказательство, а попробовали доказать эту теорему сами)))

Говорят, что автором этой теоремы является Уильям Джордж Горнер (1786 — 1837), известный по схеме Горнера. Опубликована теорема была в 1815 г. в Англии, в журнале “Gentleman’s Dairy” (мужском журнале). На сегодняшний день известно немало ее доказательств. 

Уильям Джордж Горнер (William George Horner)

Ну вот, теперь доказательство из книги Коксетера Г.С.М., Крейцера С.Л. “Новые встречи с геометрией”.

Доказательство. Опустим перпендикуляры  и  из точки  и  и  из точки  на  и . Обозначим ,  и .

Рассмотрим несколько пар подобных треугольников, из которых получим следующие соотношения

Из треугольников  и  получаем ,

из  и  получаем ,

из  и  получаем ,

из  и  получаем .

Отсюда

Так что

Наконец, получаем .