Математика. Равносторонний треугольник.

Равносторонний треугольник.

1. Равносторонний треугольник - это треугольник у которого все стороны равны.
2. Правильный (или равносторонний) треугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами, простейший из правильных многоугольников.

Способ построения равностороннего треугольника, при помощи "Весики писцис" представлен на рисунке (рис. 1). 

Элементы равностороннего треугольника.

Вершина треугольника - точка, в которой сходятся две стороны треугольника.  На рис.1 вершины обозначены точками и буквами А,В,С. Сторона треугольника - отрезок соединяющий две вершины треугольника.  На рис.1 стороны треугольника обозначены отрезками АВ, ВС, АС.

Медиана треугольника - отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. На рисунке (рис. 2) середины сторон обозначены буквами D,E,F, следовательно медианы - CD, AE, BF. Биссектриса - луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла. На рисунке (рис. 2) биссектрисы - CD, AE, BF. Высота треугольника - перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или прямую, совпадающую с противоположной стороной. На рисунке (рис. 2) высоты - CD, AE, BF. Центроид треугольника - точка пересечения медиан в треугольнике. На рисунке (рис. 2) центроид - точка О. Ортоцентр треугольника - точка пересечения высот треугольника или их продолжений. На рисунке (рис. 2) ортоцентр - точка О. Центр вписанной в треугольник окружности - точка пересечения биссектрис треугольника.  На рисунке (рис. 2) центр вписанной окружности - точка О. Центр описанной окружности треугольника - точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. На рисунке (рис. 2) центр описанной окружности - точка О. Центр равностороннего треугольника - точка пересечения высот, медиан, биссектрис равностороннего треугольника. На рисунке (рис. 2) центр равностороннего треугольника - точка О.

Средняя линия - отрезок, делящий две стороны пополам и параллельный третьей. На рисунке (рис. 3) средняя линия равностороннего треугольника обозначена как DE.

Свойства равностороннего треугольника.

1. Все стороны равностороннего треугольника равны (по определению). 2. Все углы равны 60 градусам. 3. Высоты, медианы, биссектрисы равны. 4. Высоты, медианы, биссектрисы пересекаются в одной точке. Эта точка - центр равностороннего треугольника, она же центр вписанной и описанной окружности  (рис. 2, точка О). 5. Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии  (рис. 2, оси симметрии BF, CD, AF). 6. Правильными (равносторонними) треугольниками можно замостить плоскость. 7. В правильном треугольнике окружность девяти точек совпадает с вписанной окружностью. 8. Центр равностороннего треугольника одновременно и центроид, и ортоцентр, и центры описанной и вписанной окружности (рис. 2, точка О) . 9. Длина средней линии равностороннего треугольника равна половине длины основания. 10. Биссектрисы равностороннего треугольника делят углы при вершинах, на равные углы по 30 градусов.

11. Точка пересечения высот, биссектрис и медиан правильного треугольника делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершин.

12. Сумма радиусов вписанной и описанной окружностей правильного треугольника равна его высоте, медиане и биссектрисе.  На рисунке (рис. 5) R - радиус описанной окружности, r - радиус вписанной окружности. 13. Радиус вписанной в правильный треугольник окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности.

 Формулы равностороннего треугольника.

Площадь равностороннего треугольника. Здесь: a - сторона треугольника, h - высота треугольника,  r - радиус вписанной окружности.

Периметр равностороннего треугольника. Здесь: a - сторона треугольника, P - периметр.

Высота равностороннего треугольника. Здесь: a - сторона треугольника, h - периметр, r - радиус вписанной окружности, R - радиус описанной окружности.

Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника. Здесь: a - сторона треугольника, r - радиус вписанной окружности.

Радиус окружности описанной около равностороннего треугольника. Здесь: a - сторона треугольника, r - радиус вписанной окружности, R - радиус описанной окружности.

Отношение радиусов описанной и вписанной окружностей равностороннего треугольника.

Здесь: r - радиус вписанной окружности, R - радиус описанной окружности.