Математика сабагы боюнча

Олимпиадалык маселелер

Олимпиадалык тапшырмалардын мисал келтирилген де=гээли мектептеги билим беръъ стандартынын бекитилген талаптарынан ёйдёлък кылат жана жогорку класстын окуучуларынын татаал де=гээлде ойлонуусуна търткъ беръъгё багытталат. Сунушталган мисалдар республикалык олимпиаданын бардык тёрт этабынын тапшырмаларын тъзъъчълёргё тапшырмаларды татаалдык де=гээли боюнча тандоодо жардам берет.

Татаалдыктын ушундай де=гээлиндеги тапшырмалар олимпиада катышуучуларынын компетентъълъгън, билимин теориялык жактан жана иш жъзъндё бекемдетишине, байытышына, тутумдаштыруусуна, предметти окуп-ъйрёнъъ боюнча ёз алдынча иштёё кёндъмдёрън ёркъндётъшънё търткъ берет. Мындан тышкары, булл тапшырмалар катышуучулардын чыгармачыл жёндёмън: анализдёё, берилген тема боюнча ёзънън жообун сынчыл баалоо жана негиздёё, алынган жыйынтыкты жалпылоо, сыпаттоо жана жеткиликтъъ търдё тариздёё билгичтиктерин калыптандырууга, ёстъръъгё мъмкъндък берет.

Математика боюнча олимпиада катышуучуларына талаптар

Катышуучулар мектептеги математика курсунун негиздерин жанатерминологиясын билъъгё тийиш: арифметика, алгебра, бёлънъъчълъктън белгилери, алгебралык туюнтмаларды ёзгёртъп тъзъъ, математикалык индукция методу, комбинаторика элементтери, экинчи жана ъчънчъ даражалар ъчън кыскартып кёбёйтъъ формулалары, биринчи жана экинчи даражадагы те=демелер жана барабарсыздыктар, иррационалдык барабарсыздыктар, тригонометриялык туюнтмаларды ёзгёртъп тъзъълёр, тригонометриялык те=демелер жана барабарсыздык-тар, прогрессия, туунду, вектордук алгебранын элементтери, мектеп пла-ниметриясынын циркулдун жана сызгычтын жардамы менен тъзъъгё маселелерди кошкондогу бът курсу. Маселелерди чыгаруу ъчън мектеп курсунун чегиндеги билимдер жетиштъъ болот. Бирок бул билимдерди ар търдъъ типтеги маселелерди чыгаруу ъчън пайдалана билъъ зарыл. Катышуучу ошондой эле базалык мектеп курсунун алкагынан тышкары да билгендерин жана ёз алдынча ой жъгъртъъ, корутунду жасоо кёндъмдёрън кёрсётъъгё тийиш.

1-маселе. Х₁, х₂, …, х_n, - суммасы 1ге барабар болгон о= сандар, n≥2 дейли. Белгилейбиз:

Ѕ_n= + .

А) S₂ ъчън мъмкън болгон минималдык маани – а санын тапкыла.

Б) Бардык n2 ъчън S_n≥a ны далилдегиле.

Чыгарылышы: А) S₂ = х₁² +х₂² , х₁ +х₂ =1ди алабыз. S₂ нин минималдык мааниси 1ге барабар.

2-маселе. m,nЄR (m≠0,n≠0) ъчън

+ = тендемесинин бардык чыгарылыштарын тапкыла.

Чыгарылышы: Сол жагын ёзгёртъп тъзъп, ке, же (m+n)x²+(m+n)²x+(m+n)mn=0 гё ээ болобуз.

Эгерде n=-m болсо, х≠0дён башка каалаган чыныгы сан чыгарылыш болуп саналат.

Качан n≠-mболгондо тёмёнкънъ алабыз: х²+(m+n)x+mn=0 же

Анда x=-m, x=-n те=деменин чыгарылышы болот.

Жооп: Эгерде n=-m болсо, анда хЄR\{0}, эгерде n=-m болсо, анда х=-m жана х≠-n, анын ъстънё n≠0,m≠0.

3-маселе. Эгерде натуралдык сандын ондук жазылышы солдон о=го да, о=дон солго да бирдей окулса, маселен 2662, ал полиндром деп аталат. Жуп сандагы цифраларды камтыган кайсы полиндромдор 11ге бёлънёт?

Чыгарылышы: Бир нече ирет аракет жасап кёрсёк, мындай сандардын бардыгы 11ге бёлънёт деп болжолдоого болот. Натуралдык сан N-полиндром тёмёндёгъдёй търгё ээ болсун: N= , мында i=1;2;…;k ъчън аЄ{0;1;…;9}.

Анда N= ^k-1+j+10^k-j)= ^k-j·(10^2j-1 +1).

Маселен, N=2552; 2552=а₂а₁а₁а₂, мында а₂=2; а₁=5.

N=а₁(10^2-1+1+10^2-1)+а₂(10^2-1+2+10^2-2)=5·(10²+10)+2(10³+10⁰)= =500+50+2000+2=2552.

Бирок, 10^2j-1+1 кёрънъштёгъ ар бир сан 11ге бёлънёт. Чындыгында 11:11; 1001:11; …

Жалпы кёрънъштё 10^2j-1+1=10^2j-2·(10+1)- 10^2j-2+1=10^2j-2·11-(10^2j-2-1).

10^2j-2-1 ди карайлы;

j=1 ъчън 0дъ алабыз (11ге бёлънёт),

j=2 ъчън; 99 саны 11ге бёлънёт,

j= 3 ъчън; 9999 саны 11ге бёлънёт жана ар бир кийинки 10^2j-2-1 мурдакыны 100 гё кёбёйтъп, ага 99ду кошконго барабар, б.а. 10^2(j-1)-2-1=(10^2j-2-1)·100+99.

Бирок индукция боюнча, мурдагылардын бары , б.а. 10^2j-2-1 кёрънъштёгъ сандар 11ге бёлънгёндъктён жана 99 да 11ге бёлънгёндъктён, алардын 102(j-1)-2-1ге барабар суммасы да 11ге бёлънёт.

Ошентип, Nдин ажыралышындагы ар бир кошулуучу 11ге бёлънёт, демек, N санынын ёзъ да 11ге бёлънёт.

4-мисал. х≥0 болгондо, нбу же

Чыгарылышы:Белгилейкетели, тёмёнкъгё ээ болобуз;

)^х) )^х) )^х) (*)

О= барабарсыздык у= (а1) функциясынын х1 ъчън кемъъчълъгънён келип чыгат. Анда (*) дан тёмёнкъгё ээ болобуз;

)^х) )^х)= )

Жооп;

5-тапшырма. Кайсы nЄN ъчън саны бътън болот?

Чыгарылышы: Белгилейбиз . Эсептёёлёр Ѕ₁,Ѕ₂, Ѕ₃- бътън дегенди билдирет.

Математикалык индукция методу менен бардык Ѕ_n дер бътън дегенди далилдёёгё аракеттенип кёрёлъ. Бул ъчън Ѕ_n+1/ Ѕ_n –ар дайым бътън дегенди далилдёё табигый нерсе. n=1 болгондо тёмёнкъгё ээ болобуз;

Ѕ₁= =3ЄN

n1 болгондо тёмёнкъ орундалат деп болжолдойлу Єn,

Анда

Ѕ_n= =Ѕ_n· = Ѕ_n· ; Болжолдоо боюнча Ѕ_nЄN.

Акыркы бёлчёктън алымында тёрт удаалаш натуралдык сандар турат. Бул тёрт сандын кёбёйтъндъсъ ар дайым 8ге бёлънёръ айкын. Демек,

Ѕ_nЄN, дал ушуну далилдёё талап кылынган.

6-тапшырма. Мейли, а,в,с- о= сандар болсун жана а²+в²+с²=3 аткарылсын.

туюнтмасынын мъмкън болгон минималдык маанисин тапкыла.

Чыгарылышы: Бир нече ирет аракет жасап , а,в,с лардын маанилери бири-бирине канчалык жакын болсо, туюнтманын мааниси ошончолук кичине болоорун кёрёбъз. Э= кичине мани, б.а.1/3а=в=с=1 болгондо келип чыгат деген болжолдоо пайда болот.

2вс)/8 ге кёбёйтъп, тън негизинде тёмёнкънъ алабыз:

(*)

Ошентип, минималдык маани 1/3 ге барабар экендигин далилдёё ъчън, (*) барабарсыздыгынын тууралыгын далилдёё жетиштъъ.

Каалаган о= сандардын орточо арифметикалык мааниси ар дайым алардын орточо геометриялык маанилеринен кичине эмес болгондуктан, ге ээ болобуз. Мындан abc келип чыгат. Демек,

(**)

Тёрт о= 1, ab, ac, bc сандары ъчън мурда колдонулган фактыны кайра пайдаланып, тёмёнкънъ алабыз:

(**)нын натыйжасында акыркы барабарсыздыктан (*) га ээ болобуз. Далилденди.

Колдонулган адабияттар:

Математика боюнча