Математика в цирке

Я знаю, что длинные ряды «бездушных» формул отпугивают весьма многих любителей физики. Но, право же, отказываясь от знакомства с математической стороной явлений, такие недруги математики лишают себя огромного удовольствия заранее предвидеть ход явления и определять все его условия. В данном, например, случае две‑три «бездушные» формулы помогут нам в точности определить, при каких условиях возможно успешное выполнение столь удивительного фокуса, как «чертова петля».

Приступим же к расчетам.

Обозначим буквами разные величины, с которыми нам придется вести расчеты:

Буквой h обозначим высоту, с которой скатывается велосипедист.

Буквой r обозначим радиус «петли».

Буквой m – общую массу артиста вместе с велосипедом; вес их выразится тогда через mg.

Буквой g – ускорение силы тяжести на земной поверхности; оно равно 9,8 метра.

Буквой v₁ обозначим скорость велосипеда в тот момент, когда он достигает конца наклонной дорожки и начинает описывать круг.

Буквой v₂ – скорость велосипеда в самой верхней точке круга.

Все эти величины мы можем связать двумя равенствами. Во‑первых, мы знаем, что скорость v₁ тела в нижней точки наклонного пути равна

Во‑вторых, воспользуемся так называемым «уравнением живых сил»: работа силы, действующей на тело на некотором пути, равна изменению живой силы тела во время прохождения этого пути. Изменение живой силы на пути от точки А до точки В «чертовой петли» равна разности

Работа же, произведенная на этом пути, равна работе силы тяжести при поднятии груза mg (вес артиста вместе с велосипедом) на высоту 2r (поперечник петли); эта работа выражается произведением mg × 2r = 2mgr. Итак, мы можем написать равенство

Расчет «чертовой петли».

Для того, чтобы велосипедист, достигнув высшей точки кругового пути, не упал вниз, нужно, чтобы развивающаяся при этом центробежная сила была больше, нежели вес артиста вместе с велосипедом, т. е. надо, чтобы

Подставив в уравнение (2) вместо v₁² равную величину 2gh (см. уравнение 1‑е), имеем

Подставив это значение ^v₂² в неравенство (3), имеем:

В результате вычислений мы узнали, что для успешного выполнения этого головоломного фокуса необходимо устроить «чертову петлю» так, чтобы поперечник круговой части (т. е. петли) был не больше ⁴/₅ высоты наклонной части пути. Крутизна наклона, как видите, роли не играет, – нужно только, чтобы пункт, с которого велосипедист начинает спускаться, возвышался над вершиной петли более чем на ¹/₄ ее поперечника. (При двойной «чертовой петле», изображенной на рисунке, вершина второй петли должна быть ниже первой.) Если, например, петля имеет в поперечнике 8 саженей, то артист должен начать спуск не менее чем с 10‑саженной высоты. Не выполни он этого условия – и никакое искусство не поможет ему описать «чертову петлю»: достигнув ее верхней части, он неминуемо сорвется вниз, так как центробежная сила не будет достаточна, чтобы противодействовать силе тяжести.

Двойная «чертова петля».

Поэтому, между прочим, ошибочно изображение «чертовой петли» на приведенной ранее старинной афише: вершина петли чересчур приподнята. На такой петле катастрофа неминуема.

Надо заметить, что при исполнении этого трюка велосипедист едет без цепи, предоставляя свою машину действию тяжести: ни ускорить, ни замедлить своего движения он не может. Все искусство артиста заключается в том, чтобы держаться середины деревянной дорожки; при малейшем уклонении он рискует съехать с дорожки и быть с силою отброшенным в сторону. Скорость движения велосипедиста по кругу весьма велика: при круге с поперечником в 8 саженей он совершает оборот в 3 секунды. Это соответствует скорости 120 верст в час! Управлять велосипедом при такой быстроте, конечно, немыслимо; но этого и не надо: можно смело положиться на законы механики.