Matematikadan görkezme esbaplar

=

köküň bahasy

GYSGA KÖPELTMEK FORMULALARY

1. (a+b)² = a²+2ab+b²

1. (a-b)² = a²-2ab+b²

1. (a+b)³ = a³+3a²b+ 3ab² + b³

1. (a - b)³ = a³- 3a²b+ 3ab² - b³

1. a³+b³ = (a+b)·(a²- ab+b²)

1. a³- b³ = (a - b)·(a²+ ab+b²)

1. a²- b² = (a-b)·(a+b)

Köpgranlyklaryň göwrümleri

Gönüburçly parallelepipediň göwrümi V=a·b·c

Kubuň göwrümi V=

Göni prizmanyň göwrümi V=S·H

Ýapgyt prizmanyň göwrümi V=S·L ýa-da V=Q·H

Bu ýerde S- perpendikulýar kesik, Q-esasynyň meýdany, L-gapdal gapyrgasy,H-beýiklik

Piramidanyň göwrümi V= QH

Kesilen piramidanyň göwrümi V= H(Q+ + )

Meňzeş jisimleriň göwrümleriniň gatnaşygy

=

ÖNÜM , С =0, x'=1, )'=2x

(kx +b)'= k, ( )'= , ( =α

Önümi hasaplamagyň düzgünleri

( + = + (1) ( = + (2)

(C ) = C (3) = (4)

f(x)=φ(g(x)) bolsa,onda (x)=φ (g(x))· g (x)

Trigonometrik funksiýalaryň önümleri

( ) = cos (1) ( ) = cos (2)

( ) = - ( ) = -

(tg ) = (5) (tgu) = (6)

(ctg ) = (ctg ) = (8)

Esasy trigonometrik toždestwolar.

tg Ctg

tgα·Ctgα = 1 1+tg²α = 1+ctg ²α =

Goşmak formulalary

Sin(α+ )=SinαCos +CosαSin Sin(α- )=SinαCos -CosαSin Cos(α+ )=GosαCos -SinαSin Cos(α- )=GosαCos +SinαSin

tg(α+β)= tg(α-β)=

Ctg(α+β)= Ctg(α-β)=

Ikeldilen burçuň trigonometrik funksiýalary

Sin2α=2Sinα·Cosα Cos2α=Cos²α –Sin²α

Cos2α=1-2Sin²α Cos2α=2Cos²α –1

tg2α= Ctg2α=

Üçeldilen burçuň trigonometrik funksiýalary

Sin3α=3Sinα- 4 α Cos3α=4Cos³α –3Сosα

tg3α=

Ýarym burçuň trigonometrik funksiýalary

Sin Cos

tg Ctg

Ýarym burçuň tangensi arkaly aňlatmak

Sinα= Cosα= tgα=

Ctgα= = =

Derejäni peseltmegiň formulalary

= =

Jemi köpeltmek hasylyna öwürmegiň formulasy.

tgα+tgβ= tgα-tgβ=

Ctgα+Ctgβ= Ctgα-Ctgβ=

Köpeltmek hasylyny jeme öwürmegiň formulasy.

SinαSinβ= SinαCosβ=

CosαCosβ =

Kwadrat üçagzany köpeldijilere dagytmak

ax² + bx + c = a(x-x₁)(x-x₂)

Kwadrat üçagzadan ikiagzanyň kwadratyny bölüp çykarmak

ax² + bx + c = a(x-m)² + n

Funksiýanyň grafiginiň ýönekeý özgertmeleri

y= f (x-m)+ n

Ýönekeý diofant deňlemeleriniň çözülişi

(x_0;y₀) ax² + bx + c =0 deňlemäniň haýsydyr bir çözüwi bolsa , onda onuň galan ähli çösüwleri

x = x₀-bt, y = y₀+ at

formula bilen tapylýar

Wektorlary skalýar köpeltmek

(1), (2)

α

0

Dogry köpburçluklar

= , n= ,

, =R· , = R

R

r

O

Dogry köpburçlugyň meýdany

S=

Arifmetik progressiýa

=

Geometrik rpogressiýa

, = ԛ, = ·

= , = , ԛ≠1

S=

Ýönekeý we çylşyrymly göterimler

)

Şol bir argumentli trigonometrik funksiýalaryň arasyndaky gatnaşyk

tgα = , Ctgα =

Hakyky görkezijili derejäniň häsiýetleri

= (1) = (2) = (3) = · (4)

= (5) = (6)

Logarifmler

, , (2)

(3)

(4)

=k (5)

= (6) = (7)

=- (8)

(10)

Predeller

Funksiýanyň artdyrmasy

△x=x- ýa-da x= +△x

△f=f(x)-f( )=f( +△x)- f( )

f(x)=f( +△x)= f( )+△f

Trigonometrik deňlemeleriň çözülişi

1) Sinx=a -1^k·arcsina+k

Sinx=1 x= +2k

Sinx=0 x=

Sinx=-1 x= +2k

2) Cos x=a -1 x arccosa+2k

Cos x=1 x=

Cos x=0 x= +2k

Cos x=-1 x= +2k

3. tg(x)=a x= arctga+

tg(x)=0 x=

4. Ctg(x)=a x= arctga+

Ctg(x)=0 x= +k

x=a 0 arcsin +k

x=a 0 x arccos +k

tg²(x)=a 0∞ x arctg +

Ctg²(x)=a 0∞ x arcctg +

Sinα=Sinβ α-β=2k ýa-da α+β=(2k+1)

Cosα = Cosβ α+β= ýa-da α-β=2k

tgα= tgβ α- β=k we α≠(2k+1) ,β≠(2k+1)

Ctgα =Gtgβ α-β=k we α≠k , β≠ k

Paskalyň üçburçlugy

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	2n
0	1														1
1	1	1													2
2	1	2	1												4
3	1	3	3	1											8
4	1	4	6	4	1										16
5	1	5	10	10	5	1									32
6	1	6	15	20	15	6	1								64
7	1	7	21	35	35	21	7	1							128
8	1	8	28	56	70	56	28	8	1						256
9	1	9	36	84	126	126	84	36	9	1					512
10	1	10	45	120	210	252	210	120	45	10	1				1024
11	1	11	55	165	330	462	462	330	165	55	11	1			2048
12	1	12	66	220	495	792	924	792	495	220	66	12	1		4096
13	1	13	78	286	715	1287	1716	1716	1287	715	286	78	13	1	4192

B

Göniburçly üçburçlugyň ýiti burçunyň sinusy, kosinusy, tangensi.

gipotenuza

katet

katet

C

A

1.A burçuň garşysynda ýatan katetiň gipotenuza bolan gatnaşygyna A burçuň sinusy diýilýär

SinA=

2.A burça sepleşýän katetiň gipotenuza bolan gatnaşygyna A burçuň kosinusy diýilýär

CosA=

3.A burçuň garşysynda ýatan katetiň sepleşýän katete bolan gatnaşygyna A burçuň tangensi diýilýär

tg A=

Käbir burçlar üçin trigonometrik funksiýalaryň bahalary

	I						II					III					IV
	0
Sinα	0				1					0					-1	-		-	-	0
Сosα	1				0	-				-1			-		0					1
tgα	0		1		∞			-1	-	0			1		∞			-1	-	0
ctgα	∞		1		0			-1		∞			1		0			-1		∞

Käbir burçlar üçin trogonometrik funksiýalaryň bahalary

	0
Sinα	0				1
Сosα	1				0
tgα	0		1		∞
ctgα	∞		1		0

Asyl funksiýalary tapmagyň käbir formulalary

f(x)	k	Xα		Sinx	Cosx
F(X)+С	kx+c		2	-Cosx+c	Sinx+c	tgx+c	-Ctgx+c

Asyl funksiýany tapmagyň üç düzgüni

1. f üçin F, g üçin G asyl funksiýa bolsa, onda

f + g üçin F+G asyl funksiýadyr.

1. f üçin F asyl funksiýa bolsa ,onda k·f üçin k·F asyl funksiýadyr.

2. f(x) üçin F(X) asyl funksiýa bolsa, onda f(kx +b)

üçin F(kx+b) asyl funksiýadyr.

Sferanyň deňlemesi.

1.Merkezi O(0;0;0)nokatda bolan sferanyň deňlemesi x²+y²+z²=R² (1)

2. Merkezi C₀(x₀;y₀;z₀)nokatda bolan sferanyň deňlemesi

(x-x₀)²+(y-y₀)²+(z-z₀)²=R² (2)

Tekizligiň deňlemesi

wektora perpendikulýar bolan tekizligiň deňlemesi

ax+by+cz+d = 0 (3)

Nokatdan tekizlige çenli uzaklygy tapmagyň formulasy

M(x;y;z) nokatdan wektora perpendikulýar bolan ax+by+cz+d = 0 deňleme bilen berilen tekizlige çenli uzaklyk

l = (4)

Wektorlary skalýar köpeltmek

=| |·| |·Cosα =x·x₁+y·y₁+z·z₁ (5)

Nokadyň we wektoryň koordinatalarynyň arabaglanyşygy

A(x₁,y₁,z₁) we B(x₂,y₂,z₂) bolsa ,onda

{x₂-x₁;y₂-y₁;z₂-z₁} (1)

| |= (2)

Giňişlikde iki nokadyň arasyndaky uzaklyk

Eger M( M( bolsa ,onda

d=| |= (3)

Giňişlikde iki göni çyzygyň arasyndaky burçuň kosinusy

= (4)

Göni çyzyk bilen tekizligiň arasyndaky burçuň sinusy.

Eger P{ x₁,y₁,z₁} göni çyzygyň ugrukdyryjy wektory, } α tekizlige perpendikulýar wektor bolsa , onda

= (5)

a

a

Kwadratyň ,gönüburçlugyň,parallelogramyň , üçburçlugyň,trapesiýanyň meýdany.

b

b

a

a

a

a

S=a² S= a·b

h

h

b

b

a

a

S= a ·h S= 0,5·a ·h

Pifagoryň teoremasy

b

c

a² = c² – b²

a

b² =c² – a²

Güberçek n – burçlugyň burçlarynyň jemi

= ·(n-2)

B

Ç

B

Üçburçlugyň we trapesiýanyň orta çyzygy

D

A

E

F

E

F

Ç

A

EF||AC EF||BC, EF||AD

EF=0,5AC EF=0,5(AD+BC)

Gönüburçly üçburçlukda proporsional kesimler

h = a =

b =

h

a

b

c

, 2 we ş.m burçlar üçin getirme formulalary

	π+α	π-α	2π+α	2π-α	3π+α	3π-α	4π+α	4π-α

, we ş.m burçlar üçin getirme formulalary

Görkezijili funksiýanyň önümi.

( )̍ = (1) ( )^′ =u^′· (2)

( )̍ = (3) ( )^′ =u^′· ln a (4)

Logarifmik funksiýanyň önümi

(lnx)^′= (1) (lnu)^′= (2)

= (3) = (4)

Ters funksiýanyň önümi

F we g özara ters funksiýalar we f funksiýanyň nokatda önümi bolup , ol hem nola deň däl bolsun, onda =f( )) nokatda g funksiýanyň önümi bardyr.

( ) =

Galtaşýan çyzygyň deňlemesi we ýakynlaşan hasaplamalar.

y= + ·(x- )

f(x)= + ·△x (1+△x)ⁿ ≈1+n·△x

≈1+

Sin (x₀+△x) ≈ Sin +△xCos x₀ (x₀+△x)ⁿ ≈ +n ·△x

≈ + ≈1+

B₁

B

Üçburçluklaryň meňzeşlik nyşanlary

C

A

A₁

C₁

s

I.Eger ₁, ₁ onda △ABC △A₁ B ₁C₁

s

II. Eger ₁, onda △ABC △A₁ B ₁C₁

s

III.Eger , onda △ABC △A₁ B ₁C_1ч

B₁

B

Üçburçluklaryň meýdanlarynyň gatnaşygy

h

h₁

a

b

A

A₁

C

C₁

₁

1. Eger ₁, onda =

2. Eger h = h₁ bolsa , onda =

   

   s

3. Eger △ABC △A₁ B ₁C₁,onda = k²

B

Üçburçlugyň bissektrisasynyň häsiýeti

1

2

D

C

A

Eger bolsa, onda

Iki hordanyň, iki kesijiniň we galtaşýan çyzyk bilen hordanyň arasyndaky burç

B

B

D

E

B

O

O

O

·

·

·

D

C

E

C

C

D

A

A

A

3

1

2

2)

1)

(ᴗAC+ᴗDE)

3)

С

Köpburçlugyň ortogonal proýeksiýasynyň meýdany.

S_o.pr=S·cosφ

_φ

С₂

B

С₁

A

α

Iki wektoryň kollinearlyk nyşany

=k· (1) deňlik ýerine ýetmeli .Bu ýerde

we nol däl wektorlar.

Üç wektoryň komplanarlyk nyşany.

= х +y (2) deňlik ýerine ýetmeli

Wektory komplanar däl üç wektor boýunça dagytmak

= х +y + z (3)

= х +y + z (4) { х ,y,z}

Kwadrat üçagza we onuň kökleri

ax² + bx + c görnüşli köpagza kwadrat üçagza diýilýär

x üýtgeýän ululygyň kwadrat üçagzanyň bahasyny nola deňleýän bahalaryna kwadrat üçagzanyň kökleri diýilýär.

Kwadrat üçagzanyň köklerini tapmak üçin ax² + bx + c = 0 kwadrat deňlemäni çözmek ýeterlikdir.

Mysal. 2x² - 3x + 1 kwadrat üçagzanyň köklerini tapalyň. Kwadrat üçagzanyň köklerini tapmak üçin 2x² - 3x + 1 = 0

deňlemäni çözmeli

D=(-3)²- 4·2·1=9-8=1

X_1,2= ; X₁=1, X₂ = . Diýmek

2x² - 3x + 1 kwadrat üçagzanyň 1-e we deň bolan iki sany köki bar.

Kwadrat üçagzany köpeldijilere dagytmak

Teorema.Eger x₁ we x₂ sanlar

ax² + bx + c kwadrat üçagzanyň kökleri bolsa,onda

ax² + bx + c = a(x-x₁)(x-x₂)

deňlik dogrudyr.

Kwadrat üçagzanyň diskriminanty nola deň bolan ýagdaýynda onuň iki sany deň köki bardyr.

Kwadrat üçagzadan ikiagzanyň kwadratyny bölüp çykarmak

ax² + bx + c = a(x-m)² + n

Funksiýanyň grafiginiň ýönekeý özgertmeleri

y= f (x-m)+ n

Natural görkezijili derejäniň häsiýetleri

= (1) = (2) = (3) = · (4) =1 (5) (6)

Köpagzalary goşmak we aýyrmak

Köpagzalary goşmak ýa-da aýyrmak ücin, olary jem ýa-da tapawut görnüşinde ýazmaly, soňra ýaýlary açmaly we meňzeş goşulyjylary toplamaly

(x+6y)+(3-4y)=x+6y+3-4y=6y-4y+x+3=2y+x+3