Matematikadan görkezme esbaplar

Aýlanma jisimleriniň göwrümleri

1. Slindriň göwrümi: V = QH ýa-da

V = 𝛑R²H

1. Konusyň göwrümi: V = QH ýa-da

V = 𝛑R²H

1. Kesilen konusyň göwrümi:

V = H(Q₁+ Q₂+ ýa-da

1. Kesilen konusyň göwrümi

V = H( + +R₁R₂ )𝛑

1. Şaryň göwrümi: 𝛑R³

2. Şar sektorynyň göwrümi: 𝛑R²H

Göni çyzyk bilen tekizligiň parallelligi hakyndaky teoremalar

1.Eger bir tekizlik başga bir tekizlige parallel göni çyzygyň üstünden geçip , ol tekizligi kesýän bolsa , kesişme göni çyzygy berlen göni çyzyga paralleldir.

2.Eger özara parallel iki göni çyzygyň biri berlen tekizlige parallel bolsa , onda beýleki göni çyzyk ýa bu tekizlige paralleldir, ýa-da onuň üstünde ýatýandyr.

3.Atanak ýatan göni çyzyklaryň her biriniň üstünden beýleki göni çyzyga parallel bolan bir we diňe bir tekizlik geçirip bolar

Giňişlikde iki tekizligiň özara ýerleşişi.

1.Eger iki tekizligiň iň bolmanda bir umumy nokady bar bolsa

onda olara kesişýän tekizlikler diýilýär.

2.Eger iki tekizligiň umumy nokady ýok bolsa onda olara

parallel tekizlikler diýilýär.

3.Giňişlikde iki tekizlik özara iki ýagdaýda ýerleşip biler.

1. kesişýärler; b) parallel;

Iki tekizligiň parallellik nyşany

1.Teorema : Eger tekizligiň kesişýän iki göni çyzygy beýleki

bir tekizligiň kesişýän iki göni çyzygyna degişlilikde parallel

bolsa, onda ol tekizlikler paralleldirler.

a₁

a

m₁

m

b₁

b

β

α

Parallel tekizlikleriň häsiýetleri

1.Eger parallel iki tekizlik üçünji tekizlik bilen kesişýän bolsa ,onda olaryň kesişme çyzyklary özara paralleldirler.

2.Parallel göni çyzyklaryň, parallel tekizlikleriň arasyndaky kesimleri deňdirler.

3.Eger göni çyzyk parallel tekizlikleriň birini kesýän bolsa ,onda ol beýleki tekizligi hem kesýändir.

4.Eger tekizlik parallel tekizlikleriň birini kesýän bolsa ,onda ol beýleki tekizligi hem kesýändir.

5.Berlen tekizlikde ýatmaýan nokat arkaly bu tekizlige parallel bir we diňe bir tekizlik geçirip bolar.

c

Göni çyzyklaryň parallellik we atanaklaýynlyk nyşanlary.

1. 

   a

   Teorema. Eger iki göni çyzyk üçünji

b

göni çyzyga parallel bolsalar, onda olar

paralleldirler(a||c, b||c bolsa,onda a||b )

С

1. Teorema.Eger iki göni çyzygyň biri haýsy

α

B

hem bolsa bir tekizlikde ýatyp, beýleki hem

D

A

bu tekizligi birinji göni çyzygyň üstünde

ýatmaýan nokat arkaly kesýän bolsa,onda

ol göni çyzyklar atanakdyrlar

Göni çyzyk bilen tekizligiň özara ýerleşişi

Göni çyzyk bilen tekizlik özara üç ýagdaýda ýerleşip bilerler

1. göni çyzyk tekizlikde ýatýar

2. göni çyzyk tekizligi kesýär, ýagny olaryň bir umumy nokady bar.

3. göni çyzyk tekizligi kesmeýär, ýagny olaryň umumy nokady ýok

1. 

   a

   a

   b) ç)

a

α

α

α

Göni çyzyk bilen tekizligiň parallellik nyşany.

1. Eger göni çyzyk tekizligi kesmeýän bolsa,ýagny olaryň umumy nokady bolmasa ,onda göni çyzyk bilen tekizlik özara parallel diýilýär. a||α

2. Teorema. Eger tekizligiň üstünde ýatmaýan göni çyzyk tekizligiň üstünde ýatan haýsy hem bolsa , bir göni çyzyga parallel bolsa,onda ol berlen tekizlige-de paralleldir

a

b

α

Kompleks sanlar barada düşünje

1.Kwadraty -1-e deň bolan sana hyýaly birlik diýilýar we ol i harpy bilen belgilenýär

i² = -1

2.a + bi aňlatma kompleks sanyň algebraik ýazgysy diýilýär, bu ýerde

a onuň hakyky bi onuň hyýaly bölegidir.

3.Eger a = c , b = d bolsa,onda a + bi= c+ di

4. a + bi we a - bi sanlara özara çatyrymly sanlar diýilýär

5. a + bi we –a - bi sanlara özara garşylykly sanlar diýilýär

Kompleks sanlary goşmak we aýyrmak.

-

+

a + bi a + bi

c + di c + di

(a+c)+(b+d)∙i (a-c)+(b-d)∙i

Kompleks sanlary köpeltmek we bölmek.

1. a + bi we c + di kompleks sanlar köpeldilende hakyky kooffisiýentli ikiagzalaryň köpeldilişi ýaly köpeldilýär.

(a+ bi) ∙ (c + di) = (a∙c - b∙d) + (a∙d + b∙c)∙i

2. ( a+ bi) we ( c + di ) kompleks sanlar bölünende

a + bi

c + di ýaly bölünýärler

we ( a –b ) ∙ (a + b ) = a² –b²

formuladan peýdalanýarlar.

Wektor düşünjesi.

B

A

1.Haýsy ujunyň başlangyjydygy haýsy ujunyň ahyrydygy görkezilen kesime ugrukdyrylan kesim ýa-da wektor diýilýär we ýaly belgilenýär. •

2.Eger wektoryň başlangyjy bilen ahyry gabat gelse ,onda oňa nol wektor diýilýär. M - wektor

Kollinear wektorlar, wektorlaryň deňligi.

1.Eger nol däl wektorlar bir göni çyzygyň ýa-da parallel göni çyzyklaryň üstünde ýatýan bolsalar, onda olara kollinear wektorlar diýilýär.

2.Eger nol däl we wektorlar kollinear bolsalar onda olar ýa ugurdaşdyrlar ( ) ýa-da garşylykly ugrukdyrylandyrlar

( )

3.Eger wektorlar ugurdaş we olaryň uzynlyklary deň bolsa, onda olara deň wektorlar diýilýär.

Berlen nokatdan wektory alyp goýmak .Iki wektoryň jemi .

1.Eger A nokat wektoryň başlangyjy bolsa, onda wektor A nokatdan alnyp goýulypdyr diýilýär. A•

A

C

B

2.Material nokat A nokatdan B nokada ,B nokatdan nokada C nokada ornuny üýtgedende orun üýtgetmäniň netijesi bolan wektora we wektorlaryň jemi diýilýär

= +

Funksiýalar we olaryň grafikleri. Funksiýanyň grafigini okamak

1. Eger üýtgeýän x ululygyň her bir bahasyna haýsy hem bolsa bir usul bilen başga bir y ululygyň diňe bir bahasy degişli edilen bolsa , onda şeýle baglylyga funksional baglylyk ýa-da funksiýa diýilýär.

2. Funksiýanyň kesgitleniş ýaýlasy D(f) , bahalar ýaýlasy E(f) ýaly belgilenýär.

3. Funksiýanyň grafigi diýlip, koordinatalar tekizliginiň ähli (x,f(x)) koordinataly nokatlarynyň köplügine aýdylýar

4. Funksiýanyň grafigine seredip , onuň häsiýetlerini kesgitlemeklige funksiýanyň grafigini okamak diýilýär.

Funksiýanyň grafigini özgertmek

1. f(x)+b funksiýanyň grafigini gurmak üçin f(x) funksiýanyň grafigini ordinatalar okunyň boýuna birlik ýokary göçürmeli.

2. f(x-a) funksiýanyň grafigini gurmak üçin f(x) funksiýanyň grafigini absissa okunuň boýuna birlik parallel göçürmeli

3. y=kf(x) funksiýanyň grafigini gurmak üçin y=f(x) funksiýanyň grafigini ordinata okunyň boýuna k esse süýndürmeli

4. y=f( funksiýanyň grafigini gurmak üçin y=f(x) funksiýanyň grafigini absissalar okunyň boýuna k esse süýndirmeli.

5. y=-f(x) funksiýanyň grafigini gurmak üçin y=f(x) funksiýanyň grafigini absissalar okuna görä simmetrik özgertmeli

6. y=f(-x) funksiýanyň grafigini gurmak üçin y=f(x) funksiýanyň grafigini ordinatalar okuna görä simmetrik özgertmeli

7. y=-f(-x) funksiýanyň grafigini gurmak üçin y=f(x) funksiýanyň grafigini koordinatalar başlangyjyna görä simmetrik özgertmeli

1.y= drob cyzykly funksiýalaryň grafikleri gurlanda berlen y= + b görnüşe getirilýär we şunlukda y = b , x = a göni çyzyklara degişlilikde berlen funksiýanyň gorizontal we wertikal asimptotalary diýilýär .

Erkin burcuň sinusy, kosinusy, tangensi, kotangensi

Y

1

M(X,Y)

M_Y

1.M nokat birlik trigonometrik töwerek boýunça

hereket edende emele gelýän α burçuň

N

α

X

1

M_X

O

1. sinusy diýlip M nokadyň ordinatasyna aýdylýar

Sinα = y (1)

1. kosinusy diýlip M nokadyň absissasyna aýdylýar

1. tangensi diýlip M nokadyň ordinatasynyň absiissasyna bolan gatnaşygyna aýdynýar tgα= (3) ýa-da tgα= (4)

2. kotangensi diýlip M nokadyň absiissasynyň ordinatasyna bolan gatnaşygyna aýdynýar Gtgα= (5) ýa-da Gtgα=

3. сosec= (7) Gosec = (8) Secα = (9) Secα = (10)

1

Y

Sinusyň, kosinusyň, tangensiň we kotangensiň häsiýetleri

M₁(x,y)

1. Sinus tangens, kotangens täk funksiýadyr,

M

у

α

kosinus bolsa jübüt funksiýadyr. Sin(-α) = -Sinα

X

X

O

1

-у

-α

tg(-α)=- tgα, Gtg(-α)=- Gtgα

1. Trigonometrik funksiýalaryň her biri periodik

M₂(x,y)

funksiýalardyr we sinusyň, kosinusyň periodlary

360⁰-a, tangensiň we kotangensiň periodlary bolsa

-1

180⁰-a deňdir. Sin(α +360⁰)=Sinα,

Gos(α+360⁰)=Gosα, tg(α+180⁰)=tgα Gtg (α+180⁰)=Gtgα

Burcuň radian ölçegi

1. Dugasynyň uzynlygy radiusyna deň bolan

burça 1 radianlyk burç diýilýär

1. 

   l=r

   1rad RAD

   R

   Radianlarda berlen burçlary gradus ölçegine

α

R

O

geçmegiň formulasy α = φ

1. Granlarda berlen burçlary radian ölçegine

geçmegiň formulasy φ= α

1⁰=0,0017 rad 1 rad= 57⁰17^I45^I

Wektorlary goşmagyň düzgünleri we kanunlary

1.Wektorlary goşmagyň

1. 

   

   

   üçburçluk

2. parallelogram

3. 

   B

   köpburçluk düzgünleri bardyr

C

C

B

+

+

D

A

A

D

A

E

1. Wektorlary goşmagyň kanunlary:

1. Orun çalşyrma kanuny: + = +

2. Utgaşdyrma kanuny: ( + = +( + )

-

Wektorlary aýyrmak

B

1. Uzynlyklary deň,ugurlary bolsa

garşylykly ugrukdyrylan we -

wektorlara garşylykly wektorlar

A

diýilýär.

1. we wektory aýyrmak üçin wektoryň üstüne wektora garşylykly bolan wektory goşmaly :

- = + (- )

1. Nol däl wektoryň k sana köpeltmek hasyly diýlip ,uzynlygy |k|•| | deň bolan k∙a wektora aýdylýar.Şonlukda k0 bolanda we k wektorlar ugurdaş ,k we k wektorlar garşylykly ugrukdyrylandyr

3

-3

Sanlaryň standart görnüşde ýazylyşy.

Položitel sanyň a∙10ⁿ görnüşde ýazylmagyna, şol sanyň standart görnüşi diýilýär, bu ýerde 1 we

n bitin san

Ýakynlaşan bahanyň absolýut we otnositel ýalňyşlygy.

1.Absolýut ýalňyşlygy tapmagyň formulasy: |x-a| (1) ýalydyr, bu ýerde x ýakynlaşan , a takyk baha .

2.Ýakynlaşmanyň otnositel ýalňyşlygyny tapmagyň formulasy

∙100% (2) ýalydyr

Ýakynlaşan bahalaryň üstünde geçirilýän amallar

1. Ýakynlaşan bahalaryň goşulyşy we aýrylyşy:

x 6,74 , y

1. Ýakynlaşan bahalaryň köpeldilişi we bölünilişi:

x = 0,48 , y= 36,2 x∙y -? Çözülişi x y= 3,62∙10¹

x∙y=0,48∙36,2=17,376= 1,7376∙10¹ Jogaby: x∙y

Kwadrat köküň ýakynlaşan bahasy.

2-den 0,01-e çenli takyklykda kwadrat kök alýarys.Çözülişi; ilki haýsy bitin sanlaryň arasynda .

1) 1²=1, 2²=4 diýen soraga jogap berýäris1

2) 1,1² =1,21; 1,2²= 1,44; 1,3²=1,69; 1,4²=1,96; 1,5²=2,25;

onda 1,4

1. 1,41²=1,9881; 1,42²=2,0164; onda 1,41

Jogaby:

Funksiýanyň ekstremumlary we nollary

1. Maksimum nokatlary 4

2. Minimum nokatlary -2, 8

3. maksimumy y_max=6

4. minumumlary y_min=-3,

y_min=-4,

1. Ekstremum nokatlary:

-2,4,8

1. Ekstremumlary -4,-3,6

2. Funksiýanyň nollary:

-4, 0, 6, 10

Kwadrat üçagza we onuň kökleri.

1. ax²+bx +c görnüşli köpagza kwadrat üçagza diýilýär, bu ýerde

x - üýtgeýän ululyk,a,b,c käbir sanlar,özem a

1. Kwadrat üçagzanyň nollary (kökleri) D=b²-4ac

x_1,2= formula bilen tapylýar

Çylşyrymly göterimler

1.Sanyň -e ýarym, -e çärýek , –ne gäterim diýilýär.

2.Sanlar we göterimler aşakdaky gatnaşykda bolýarlar:

0,01 = 1%, 0,25=25%, 0,05=5%, 1=100%, 1,2=120%

3.Ýönekeý göterimleri tapmagyň formulasy S_n=S₀ ) (1) ýalydyr.

4.Çylşyrymly göterimleri tapmagyň formulasy

S_n=S₀ )ⁿ (2) ýalydyr.

y = tgx , y = Gtgx funksiýalaryň grafikleri

y = Sinx , y = Gosx funksiýalaryň grafikleri we häsiýetleri

1. y=Sinx we y=Gosx funksiýalar 2𝛑 periodly periodik funksiýalardyr.

2. y=Sinx täk, y=Gosx funksiýa bolsa jübüt fumnksiýadyr.

3. y=Sinx funksiýanyň grafigine sinusoida, y=Gosx funksiýanyň grafigine kosinusoida diýilýär.

Periodik funksiýalar.

1. Eger f funksiýanyň kesgitleniş ýaýlasyndan alnan islendik x üçin T san tapylyp f (x+T) = f (x) deňlik ýerine ýetýän bolsa ,onda

f funksiýa T periodly periodik funksiýa diýilýär

1. Eger f funksiýa T periodly periodik funksiýa bolsa,onda nT san hem bu funksiýanyň periodydyr.

2. Eger f funksiýa T periodly periodik funksiýa bolsa,onda

Al(kx+b) hem periodikdir we onuň periody deňdir, bu ýerde A,k,b islendik san , özem k 0

Üýtgeýän iki ululykly deňsizlikler we olaryň çözüwlerini koordinata tekizliginde şekillendirmek

f (x;y) 0, f (x;y)

usulynda çözmek üçin:

1.Koordinata tekizliginde f (x;y)=0deňleme bilen

berilen çyzygy gurmaly

2.ℓ çyzyk koordinata tekizligini birnäçe ýaýlarara

bölýär.

3.Şol ýaýlalaryň her birinde f (x;y) funksiýa öz

alamatyny hemişelik saklaýar.

4.Şol ýaýlalaryň her birinde f (x;y) funksiýanyň

alamatyny kesgitlemeli

2-nji mysal . x(x-2) y-3 (1)

Çözülişi: x²-2x+3 y; y ²-2x +3; y=x²-2x+3=(x-1)²+2

y=(x-1)²+2. A(1;3) x=1;y=3. (1)-de ornuna goýýarys -1

Üýrgeýän iki ululykly deňsizlikler sistemasy we olaryň çözüwlerini koordinatalar tekizliginde şekillendirmek.

deňsizlikler sistemasyny çyzgy

usulynda çözmek üçin:

1. Sistema girýän deňsizlikleriň her biriniň

çözüwlerini koordinatalar tekizliginde

şekillendirmeli.

1. Sistemanyň deňsizlikleriniň umumy

çözüwlere eýe bolýan ýaýlalaryny görkezmeli

Gönükme 334 4. çözülişi:1) 2x+y-2=0 x=0,y=2; (0;2)

x-2,y=-2 (2;-2)

2) x-2y+2=0, x=0, y=1 (0;1); x=4,y=3 (4;3)

Wektory sana köpeltmegiň kanunlary

Islendik k,l sanlar we islendik we wektorlar üçin aşakdaky kanunlar ýerine ýetýär.

a) (k∙l) = k(l ) utgaşdyrma kanuny

b) (k+l) = k +l I paýlaşdyrma kanuny

ç) k ( + ) = k +k II paýlaşdyrma kanuny

Wektory kollinear däl iki wektor boýunça dagytmak

1.Eger wektor = x +y

görnüşde aňladylan bolsa onda wektor we wektorlar boýunça dagydylan diýilýär.

2.x we y sanlara dagytma koeffisiýentleri diýilýär.

3.Teorema.Islendik wektory berlen iki kollinear däl wektor boýunça dagydyp bolýar. =x∙ +y∙

Wektoryň koordinatalary

wektoryň koordinata wektorlary boýunça dagydylan görnüşindäki =x∙ +y∙ (1) x we y sanlara wektoryň koordinatalary diýilýar we görnüşde ýazylýar.

Koordinatalary bilen berilen wektorlary goşmak we aýyrmak

1. Iki ýa-da has köp wektorlaryň jeminiň her bir koordinatasy bu

wektorlaryň degişli koordinatalarynyň jemine deňdir.

1. Iki wektorlaryň tapawudynyň her bir koordinatasy bu wektorlaryň

degişli koordinatalarynyň tapawudyna deňdir.

3. Wektorlary sana köpeltmagiň her bir koordinatasy bu wektoryň degişli

koordinatalarynyň bu sana köpeldilmegine deňdir.

Wektoryň koordinatalary bilen onuň başlangyjynyň we ahyrynyň arabaglanyşygy

A(-7;2),B(-3;5), =

C(2;7),D(6;3). =

1Wektoryň her bir koordinatasy onuň ahyrynyň we başlangyjynyň degişli koordinatalarynyň tapawudyna deňdir.

A(x₁;y₁) B(x₂;y₂) bolsa,onda

Koordinata ululyklar bilen çözülýän ýönekeýje meseleler.

1. Kesimiň ortasynyň her bir koordinatasy onuň uçlarynyň degişli koordinatalarynyň jemine deňdir. A(x₁;y₁) B(x₂;y₂) , C(x;y) bolsa, onda

x = , y = (1)

1. Koordinatalary bilen berilen wektoryň uzynlygy | |= (2)

formula bilen tapylýar.

1. Koordonatalary bilen berilen A(x₁;y₁) B(x₂;y₂) nokatlaryň arasyndaky uzaklyk

d = (3) formula bilen tapylýar.

Tekizlikde çyzygyň ,töweregiň deňlemesi

1. Göniburçly koordinatalar ulgamynda çyzygyň deňlemesi f(x;y) (1)

görnüşli ýa-da şeýle görnüşe getirip bolýan deňlemedir.

1. Merkezi koordonatalar başlangyjynda bolan töweregiň deňlemesi

x² + y² = r² (2) ýalydyr.

1. Merkezi C(x₀;y₀)nokatda bolan töweregiň deňlemesi

(x - x₀)² +(y - y₀)² = r² (3) ýalydyr.

Tekizlikde göni çyzygyň deňlemesi

1. Gönüburçly koordinatalar ulgamynda göni çyzygyň deňlemesi

ax+by+c=0 (1) görnüşli iki üýtgeýän ululykly I derejeli deňlemedir

A

Nokatdan tekizlige çenli uzaklyk

1. AH perpendikulýaryň uzynlygyna A nokatdan

H

α tekizlige çenli uzaklyk diýilýär

1. 

   α

   N

   Ah perpendikulýaryň we AN ýapgyt çyzygyň

esaslaryny birikdirýän NH kesime AN ýapgyt

çyzygyň proýeksiýasy diýilýär.

A

Üç perperdikulýar hakynda teorema

a

Teorema :Tekizlige ýapgyt çyzygyň esasyndan

H

N

onuň proýeksiýasyna geçirilen perpendikulýar

α

göni çyzyk ýapgyt çyzygyň özüne hem

perpendikulýardyr.

Teorema(ters teorema)Tekizlikde ýapgyt çyzyga,onuň esasyndan geçirilen perpendikulýar göni çyzyk ýapgyt çyzygyň proýeksiýasyna hem perpendikulýardyr.

Giňişlikde göni çyzyklaryň arasyndaky burç

1. 

   a

   Giňişlikde iki göni çyzyk kesişende

α

b

emele gelýän ýiti burça (göni burça)

180⁰-α

α

öni çyzyklaryň arasyndaky burç diýilýär

A₁

A

A₁

A

Giňişlikde atanaklaýyn göni çyzyklaryň arasyndaky burç

D

φ

φ

D

D₁

α

C

M₁

M₁

C

B

B₁

B

C₁

α

B₁

1. Giňişlikde AB WE CD atanak ýatan göni çyzyklaryň arasyndaky burç diýlip , giňişligiň islendik M₁ nokady arkaly AB A₁B₁ we СD C₁D₁ bolar ýaly edilip geçirilen A₁B₁ we C₁D₁ göni çyzyklaryň emele getirýän φ burçuna aýdylýar we AB ^ СD = φ ýaly belgilenýär

Giňişlikde göni çyzyklaryň perpendikulýarlygy.

b

1. Eger giňişlikde iki göni çyzygyň arasyndaky burç 90⁰ deň bolsa ,onda olara perpendikulýar göni çyzyklar diýilýär we a ┴ b ýaly belgilenýär.

b

α

с

a

a

a

b

α

1. Lemma:Eger iki parallel göni çyzygyň biri üçünji göni çyzyga perperdikulýar bolsa,onda beýleki göni çyzyk hem bu göni çyzyga perpendikulýardyr,ýagny a || b bolup a ┴ c bolsa, onda b ┴ c

Tekizlige perpendikulýar göni cyzygyň kesgitlemesi

1.Eger göni çyzyk tekizlikde ýatan islendik göni çyzyga perpendikulýar bolsa,onda oňa tekizlige perpendikulýar göni çyzyk diýilýär. a ┴ α

Tekizlige perpendikulýar parallel göni cyzyklar

Teorema:Eger parallel göni çyzyklaryň biri tekizlige perpendikulýar bolsa, onda beýleki göni çyzyk hem bu tekizlige perpendikulýardyr.

Teorema: Eger iki göni çyzyk tekizlige perpendikulýar bolsa ,onda olar paralleldirler

a

Göni çyzyk bilen tekizligiň perpendikulýarlyk nyşany.

Teorema:Eger göni çyzyk tekizlikde ýatan

b

kesişýän iki göni çyzygyň her birine perpendikulýar

c

bolsa ,onda ol bu tekizlige-de perpendikulýardyr,

α

ýagny a ┴ b,a ┴ c bolsa, onda a ┴ α

Tekizlige perpendikulýar göni çyzyk hakynda teorema.

1. 

   M

   a

   Teorema:Giňişligiň islendik nokadyndan

berlen tekizlige bir we diňe bir perpendikulýar

α

göni çyzyk geçirip bolar.

α

Stereometriýanyň esasy aksiomalary we ondan gelip çykýan netijeler.

β

α

Aksioma 1. Aksioma 2. Aksioma 3

B

α

•C

•B

a

A

•A

A

A1.Bir göni çyzykda ýatmaýan islendik iki nokat arkaly bir we diňe bir tekizlik geçirip bolar .

A2.Eger göni çyzygyň iki nokady bir tekizlikde ýarýan bolsa, onda ol göni çyzygyň ähli nokatlary hem bu tekizlikde ýatýandyr.

A3.Eger iki tekizligiň umumy bir nokady bar bolsa, onda olaryň umumy göni çyzygy hem bardyr.

1. nji teorema:Göni çyzyk we onuň üstünde ýatmaýan nokat arkaly bir we diňe bir tekizlik geçirmek bolar.

2. nji teorema:Kesişýän iki göni çyzygyň üstünden bir we diňe bir tekizlik geçirmek bolar.

Giňişlikde göni çyzyklaryň özara ýerleşişi .

Giňişlikde iki göni çyzyk özara üç ýagdaýda ýerleşip biler

α

α

1.Kesişýän 2. Parallel 3.Atanak ýatýan

M

b

A

b

b

a

a

α

Bir umumy nokady bar Umumy nokady ýok Bir tekizlikde ýatmaýarlar

Parallel göni çyzyklaryň häsiýetleri .

Teorema:Berlen göni çyzygyň üstünde ýatmaýan giňişligiň islendik nokadyndan bu göni çyzyga parallel bolan bir we diňe bir tekizlik geçirip bolar.

Teorema:Eger parallel iki göni çyzygyň biri berlen tekizligi kesýän bolsa,onda beýleki göni çyzyk hem bu tekizligi keser.

Töweregiň we duganyň uzynlygy.

A

1. Tekizlikde berlen nokatdan birdeň uzaklykda ýerleşen ähli nokatlaryň emele getirýän geometrik figurasyna töwerek diýilýär.

   

2. Raradiusly töweregiň uzynlygy C = d𝛑 (1)

α

R

ýa-da C= 2𝛑R (2) formula bilen tapylýar,

R

B

O

bu ýerde 𝛑 = 3,14

3.R radiusly ,α – graduslyk duganyň uzynlygy

е = (3)formula bilen tapylýar.

L

A

Tegelegiň we onuň bölekleriniň meýdany.

A

A

B

B

B

R

R

R

R

R

R

R

α180⁰

α⁰

uly segmen

segment

sektor

tegelek

O

O

O

O

1. Tekizligiň töwerek bilen çäklenen bölegine tegelek diýilýär.

2. R radiusly tegelegiň meýdany S = 𝛑R² (1)formula bilen tapylýar

3. R radiusly tegelegiň α graduslyk sektorynyň meýdany S = (2) formula bilen tapylýar

4. R radiusly tegelegiň ýarym tegelege deň bolmadyk segmentiniň meýdany

α⁰

S = S_∆ (3) formula bilen tapylýa bu ýerde

α180 ⁰

bolanda “-“ , bolanda “+” alamaty goýulýar.

Köpgranlyklar

C₁

B₁

1. Üsti tükenikli sany tekiz köpburçluklardan

D₁

A₁

düzülen jisime köpgranlyk diýilýär.

1. Gönüburçly parallelepiped ,kub,prizma,

B

C

piramida köpgranlykdyr.

a

_b

A

D

1. Köpgranlyklary düzýän köpburçluklara onuň

granlary diýilýär.

1. Giňişlikde Pifagoryň teoremasy d² = a² + b² + c²