Материал для дистанционного обучения "Вычисление расстояний и углов в пространстве"

Решение задач по теме:

«Вычисление расстояний и углов в пространстве»

Пример.

Дан куб АВСDА₁В₁С₁D₁. Ребро куба = а. Точка О – пересечение диагоналей АС и ВD. Точки М и К – середины ребер АD и CD соответственно.

1. Найти расстояния:

1. от точки А до плоскости (А₁В₁С₁);

2. от точки С до плоскости (ВDD₁);

3. между прямыми АА₁ и ВС;

4. между прямыми АС и ВВ₁.

2. Найти углы:

1. между прямой В₁D и плоскостью (АВС);

2. между прямыми В₁D и АА₁;

3. двугранный угол АDD₁В (угол с ребром DD₁ и гранями АDD₁ и DD₁В).

Решение:

1.

Расстоянием от точки до плоскости называется длинна перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

1. Расстояние от точки А до плоскости (А₁В₁С₁) – длина отрезка АА₁. По условию АА₁=а.

2. Расстояние от точки С до плоскости (ВDD₁) – длина отрезка СО. СО = ½ СА. Зная ребро куба, по Т. Пифагора: СА = . Тогда СО = .

Расстояние между скрещивающимися прямыми – это длина их общего перпендикуляра.

1. АА₁ и ВС – скрещивающиеся. АВ – их общий перпендикуляр. По условию АВ=а.

2. АС и ВВ₁ – скрещивающиеся. ОВ – их общий перпендикуляр. Зная ребро куба, по Т. Пифагора: ВD = . Тогда ВО = .

2.

а) Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

ВD – проекция В₁D на плоскость (АВС).

Найдем угол между В₁D и ВD.

Рассмотрим треугольник В₁ВD. В нем угол В прямой, ВВ₁ = а, ВD = . Угол В₁DВ - ?

.

б) Угол между скрещивающимися прямыми – это угол между пересекающимися параллельными им прямыми.

В₁D и АА₁ - скрещивающиеся.

ВВ₁ параллельна АА₁ и пересекается с В₁D. Значит угол между прямыми В₁D и АА₁ равен углу между прямыми В₁D и ВВ₁.

Рассмотрим треугольник В₁ВD. В нем угол В прямой, ВВ₁ = а, ВD = . Угол ВВ₁D - ?

в) Мерой двугранного угла является мера его линейного угла. Линейный угол двугранного угла ищут в плоскости, перпендикулярной его ребру.

Угол АDВ является линейным углом двугранного угла АDD₁В.

Рассмотрим треугольник АВD. В нем угол А прямой, ВА = АD = а. Угол АDВ - ?

. Угол АDВ = 45˚.

Самостоятельно:

Вычисление расстояний.

1. Устно. Что называется расстоянием между параллельными прямыми? скрещивающимися прямыми?

2. Начертите куб. Постройте общий перпендикуляр:

1. двух скрещивающихся ребер куба (выбрать самим любые скрещивающиеся ребра);

2. диагонали грани и ребра, не пересекающего эту диагональ, например, АВ₁ и СС₁;

3. диагонали куба и ребра, не пересекающего эту диагональ, например, DВ₁ и СС₁.

1. Укажите какие отрезки определяют расстояние между нижеперечисленными прямыми и найдите их длину:

1. А₁В₁ и СС₁

2. В₁D₁ и AB

3. АА₁ и В₁D₁

4. АС и В₁D₁

5. МК и DD₁

1. Устно. Что называется расстоянием между точками? от точки до прямой? от точки до плоскости?

2. Укажите какие отрезки определяют расстояние между нижеперечисленными точками и плоскостями и найдите их длину:

1. от С до (BDD₁)

2. от О до (DСС₁)

3. от центра куба до точки А

Вычисление углов.

1. Устно. Что называется углом между прямой и плоскостью?

2. Вычислить угол между прямой и плоскостью:

1. ВD и (В₁АВ)

2. В₁D и (В₁АВ)

1. Устно. Что называется углом между скрещивающимися прямыми?

2. Вычислить угол между скрещивающимися прямыми:

1. АС и А₁D₁

2. МК и СС₁

1. Устно. Что такое линейный угол двугранного угла?

2. Вычислить двугранный угол:

1. АВВ₁С

2. АВВ₁D

3. КАА₁D

Задания выполнить в рабочей тетради. Решение задач сопровождать чертежами.