Материалы для проведения факультативного курса по основам математического анализа для учащихся 11 классов

КГУ «IT Лицей»

Математика

Неопределенный интеграл

Методическое пособие для проведения прикладного курса математики «Основы математического анализа»

Учитель математики: Озолина Алла Николаевна

Актау – 2018г.

Пояснительная записка

Методическое пособие для проведения прикладного курса математики «Основы математического анализа» содержит избранные задачи интегрального исчисления. Приводятся примеры и решения нахождения неопределенных интегралов с помощью преобразования подынтегрального выражения, заменой переменной, интегрирования по частям, некоторые способы интегрирования рациональных дробей.

Пособие предназначено для учителей, работающих в 11 классах, его целью является более качественная подготовка выпускников школ, которые в дальнейшем будут изучать в том или ином объеме высшую математику.

Некоторые свойства неопределенных интегралов:

1.;

2. , где k-постоянная;

3.

Таблица основных интегралов:

1., n

2. +C;

3. ;

4. ;

5.

6. ;

7.

8.

9.

10.

11. ;

12.

1.Вычисления неопределенных интегралов преобразованием подынтегрального выражения:

1.

2.

3.

4.

5. ;

6. ;

7.

8.

9.

10.

Решения:

1.

2. =x

3.

4.

5. ²= = =

= = = +C.

6. =²= = = =

= +C.

7. = = = =

8. = = =

9. = = = (x+3)+C.

10. = == (x-2)+C.

2. Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной):

1. ;

2. ;

3.

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10.

Решения:

Тогда = .

2. . Пусть , .

Получим: = = +C.

3. = . Пусть =t, ,

Тогда = = .

4. = . Пусть =t, , Поэтому = = .

5. = . Обозначим тогда , . Поэтому = = +C =

6.

Положим тогда Следовательно, = = = .

7. = . Пусть тогда Следовательно, =

= = =

8. = . Обозначим тогда

, . Имеем: =

= = =

9. Пусть

= = =

= = +2+C.

10. Пусть

Имеем: = =

= +C = +C.

3. Метод интегрирования по частям.

Формула интегрирования по частям:

, где - функции, имеющие непрерывные производные.

Найдите:

1.

2.

3. ;

4. ;

5. ;

6.

7. ;

8. .

Решения:

.

.

Имеем: = = = =.

2. . Пусть

= Получим: =

=+ = +9

3. . Пусть

= .

Следовательно, = =

= +C =

= +C =

= +C.

4. . Пусть

, = ⁵.

Тогда = =

= +C =

5. . Пусть

Получим:

= .

Вычислим заменой переменной:

.

= = = +C.

Имеем: = +

6. . Пусть

Получим: = =

= +C. (см. пример №5)

7. .

Пусть ,

Получим: = =

= +2cosx+C.

8. . Пусть =,

= = = = .

Тогда = =

.

4. Интегрирование рациональных дробей:

1. ;

2. .

Решения:

. Представим дробь в виде суммы простейших дробей методом неопределенных коэффициентов, получим:

= .

Тогда = =

= +

2. Представим данную неправильную рациональную дробь, путем деления числителя на знаменатель в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби:

= .

Затем представим дробь в виде суммы дробей Получим: = =

= .

Вычислим = –

- =

Следовательно, =

= +

Задания для самостоятельного решения.

Найдите неопределенные интегралы, используя при решении указанные способы:

- замена переменной:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

- интегрирование по частям:

8. ;

9. ;

-интегрирование рациональных дробей:

10. ;

11. .

Самостоятельная работа:

1вариант

Найдите неопределенные интегралы, используя при решении указанные способы:

- замена переменной:

1.

2.;

3.;

4.;

- интегрирование по частям:

5.;

6.

-интегрирование рациональных дробей:

7.;

8.

2вариант

Найдите неопределенные интегралы, используя при решении указанные способы:

- замена переменной:

1.

2.;

3.;

4.;

5.;

6.

- интегрирование по частям:

7.;

8.

Литература:

1. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа А.П.Ершова, В.В. Голобородько.

2.Конспект лекций по высшей математике Д.Т. Письменный.