Материалы к стенду Лента Мёбиуса

Календарь математических дат.

НОЯБРЬ

8 ноября - Родился ученый мирового значения, поэт, историк Михаил Васильевич Ломоносов (1711-1765). Его идеи далеко опережали науку того времени, а открытия обогатили многие отрасли знаний. По инициативе М.В. Ломоносова в 1755г. был основан Московский государственный университет (МГУ).

17 ноября - День рождения Мёбиуса (1790-1868). Немецкий математик. В 1858 году установил существование односторонних поверхностей и в связи с этим стал знаменит как изобретатель листа Мёбиуса. Он ввёл понятие уникурсальной кривой, то есть графа, который можно начертить, не отрывая пера от бумаги (другое название: эйлеров граф).

20 ноября - Родился русский математик Николай Иванович Лобачевский (1792-856). Создатель неевклидовой геометрии, главное отличие которой от геометрии Евклида – в формулировке аксиомы параллельных прямых. В геометрии Лобачевского все положения, не опирающиеся на аксиому параллельных прямых, совпадают с соответствующими положениями из геометрии Евклида. В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника меньше 180°, а два подобных треугольника всегда равны.

23 ноября - День рождения Джона Ва́ллиса (1616-1703). Ввёл придуманный им символ бесконечности. В книге он сформулировал строгое определение предела переменной величины, продолжил многие идеи Декарта, впервые ввёл отрицательные абсциссы, вычислил суммы бесконечных рядов — по существу интегральные суммы, хотя понятия интеграла тогда ещё не было.

1

Лента Мебиуса — что это такое простыми словами? Дадим сразу подсказку: еще ее называют петлей Мёбиуса. А теперь давайте представим эту петлю: у нее есть только одна поверхность и один край, движение по которому никогда не прервется. Так и выглядит наш объект. Объясняя научным языком, лента Мёбиуса — это двухмерная фигура в трехмерном пространстве с неориентируемой односторонней поверхностью.

2

Сделать ленту Мёбиуса можно за пару минут из обычной полоски бумаги. Для этого нужно взять полоску, развернуть один из ее краев на 180 градусов так, чтобы нижняя часть полоски стала верхней. Затем необходимо склеить оба края. Получится замкнутая фигура, называемая лентой Мёбиуса.

В чем суть ленты Мёбиуса

Как только мы смотрим на ленту Мёбиуса, становится ясно, что привычные свойства фигур ломаются:

форма ленты Мёбиуса уникальна тем, что у нее всего одна сторона,

и одна граница, идущая непрерывно вокруг.

То есть это кольцо — лента Мёбиуса — наглядно показывает, что геометрические объекты могут вести себя «не так, как кажется» и быть связными, неразрывными и ограниченными. Это классический пример неориентируемой поверхности в топологии. Топология-раздел математики, изучающий в самом общем виде явление непрерывности.

Существует легенда, согласно которой одна из его служанок неправильно сшила тканевую ленту. Увидев получившийся результат, Август Фердинанд не разозлился, а, наоборот, почувствовал прилив вдохновения. Он воскликнул: «Ай да, Марта! Девочка не так уж глупа. Это же односторонняя кольцевая поверхность. У ленточки нет изнанки!» Однако свойства ленты Мёбиуса он опубликовать не смог — Парижская академия наук заинтересовалась открытием только после смерти математика.

Одновременно с Мёбиусом особенности такой фигуры открыл

и Иоганн Бенедикт Листинг. Что интересно, и Мёбиус, и Листинг были учениками великого математика Карла Фридриха Гаусса. Однако, судя по историческим находкам, все они были не первыми, кто «додумался» до такой ленты.

3

В Мюнхенской глиптотеке есть римская мозаика, которая датируется III веком нашей эры. На ней изображен бог Эон внутри небесной сферы, свернутой в виде ленты Мёбиуса. Поэтому, хотя эта фигура и носит имя немецкого математика, считать его изобретателем этой структуры нельзя.

Односторонность.

Лента Мёбиуса обладает множеством разных свойств, но есть одно, которое выделяет эту фигуру среди других. Представим, что мы встали на такую ленту и пошли по ней в любом направлении. Когда мы пройдем полный круг, то окажемся в той же точке ленты, но на обратной ее стороне. Если двигаться дальше и пройти второй круг, то мы придем в изначальную точку. Это свойство называется односторонностью поверхности.

4

Если разрезать ленту Мёбиуса.

Из предыдущей особенности получается, что разделить ленту на две части нельзя — в итоге получится лишь одна длинная. Именно это свойство используется в известном фокусе «афганские ленты» (The Afghan Bands). Если разрезать получившийся результат, то мы все же получим две ленты: одну — короткую ленту Мёбиуса, а вторую — длинную ленту с двумя полуоборотами.

Лента Мёбиуса в искусстве и литературе.

Лента Мёбиуса часто вдохновляет архитекторов, дизайнеров и художников. Форма этого объекта напоминает знак бесконечности, и именно за счет своего символизма становится центральным сюжетом барельефов или гравюр. Так, Мауриц Корнелис Эшер экспериментировал с пространством в своих литографиях «Лента Мёбиуса I» и «Лента Мёбиуса II».

Встретить эту фигуру можно и на зданиях в Москве! Лента Мебиуса выполнена на стене Центрального экономико-математического института (ЦЭМИ) — увидеть ее можно прямо над главным входом. Авторами композиции стали Владимир Васильцов и Элеонора Жаренова.

Лента Мёбиуса также является символом парадоксов и единства противоположностей. Об этом рассуждают писатели Хорхе Луис Борхес, Курт Воннегут и другие. Франк Тилье даже написал книгу «Лента Мёбиуса», в которой показал темную сторону работы следователя.

5

«Лист Мёбиуса».

Лист Мёбиуса – символ математики,
Что служит высшей мудрости венцом…
Он полон неосознанной романтики:
В нём бесконечность свёрнута кольцом.

В нём – простота, и вместе с нею – сложность,
Что недоступна даже мудрецам:
Здесь на глазах преобразилась плоскость
В поверхность без начала и конца…

Наталья Иванова.

Лента Мёбиуса вдохновляет многих художников на создание известных скульптур и картин.

Зачем нужна лента Мёбиуса в современном мире.

На первый взгляд кажется, что лента Мёбиуса, как и многие математические структуры, бесполезна в реальном мире. Однако эта фигура прочно вошла в нашу жизнь, хотя заметить ее совсем непросто. Например, в виде ленты Мёбиуса делают конвейеры. Их плюс в том, что вся полоса изнашивается равномерно. Также в виде этой фигуры делают красящие ленты в матричных принтерах, что позволяет увеличить их ресурс работы.

6

Аттракцион «Американские горки» знают все, но мало кто догадывается, что за основу так называемой «мёртвой петли» взята всё та же лента Мёбиуса. В Москве на ВДНХ в 2023 появился аттракцион с названием «Лента Мёбиуса».

7

Викторина по ленте Мёбиуса.

1. Сколько сторон у ленты Мёбиуса?

2. Что такое топология?

3. Кто изображен в Мюнхенской глиптотеке на римской мозаике 3 века?

4. Где используют ленту Мёбиуса?

5. «Если кто-нибудь вздумает раскрасить только одну сторону поверхности мёбиусовой ленты, пусть лучше сразу погрузит её всю в ведро с краской». Почему?

6. Чьим учеником был Август Мёбиус?

7. Каким свойством обладает лента Мёбиуса?

(ответы сдаем Светлане Николаевне)

Если вы хотите сами получить такую ленту, то в этом нет ничего сложного. Попробуйте! (см.рис)

8