Математические софизмы

СОФИЗМЫ

Выполнила: преподаватель математики ОБОУ СПО «КМТ» Цупрова Н.Е.

"Людям, которые желают идти  верной дорогой, важно также знать  и об отклонениях."

                         Аристотель

Софизм   (от греч. - выдумка, уловка, хитрость) – это ложное умозаключение, которое кажется логичным и правильным при первом рассмотрении. Основанием для него является заведомо сознательное нарушение общепринятых представлений и логических тождеств.

История софизмов идет из Древней Греции. Они были тесно связаны с философской деятельностью учителей мудрости, которые за определенную плату учили всех желающих логике, риторике, философии. Основной задачей  софистов  было научить человека доказывать абсолютно все свои утверждения и достойно выходить из любого интеллектуального спора . Для осуществления подобных идей разрабатывались различные приемы – психологические, логические и риторические. Кроме данных уловок, в арсенале  софистов  была важная, дорогая для них философская идея. Она заключалась в том, что на самом деле, не существует одной объективной истины, т. е., сколько людей, столько и истин.

Идею  софистов  не поддерживал греческий философ Сократ. Согласно его утверждениям, объективная истина существует, но неизвестно какая точно. Соответственно, задача человека – искать ее, единственную для всех.  Спор между Сократом и софистами  начался приблизительно в V в. до н. э. и продолжается до сегодняшнего дня.

Классификация софизмов

Классифицируются софизмы следующим образом:

Алгебраические софизмы  – ошибки в числовых выражениях и уравнениях, скрытые намеренно;

Арифметические софизмы  – выражения чисел, имеющие ошибку, незаметную с первого взгляда;

Геометрические – умозаключение, заведомо неправильное, которое касается геометрических фигур и действий над ними;

Другие .

Кроме математических, существует множество других видов софизмов: терминологические, психологические, логические. Абсурдность таких рассуждений гораздо проще понять и разоблачить. Некоторые утверждения выглядят несерьезными и наивными, лишенными смысла и цели, недосказанными.

Примеры софизмов

Приведем пример простого математического софизма :

5 и 3 – два разных числа, 3 и 5 равно 8, значит, 8 является двумя разными числами. На первый взгляд рассуждение правильное, но в нем смешаны нетождественные вещи: первая часть рассуждения – это перечисление чисел, вторая – операция сложения. Между первым и вторым знак равенства поставить нельзя, а значит, это является нарушением закона тождества.

Софизмы из древности

«Лгун». Есть вероятность, что лгун сознается в том, что он обманщик. Значит, он скажет правду. Тот, кто говорит правду, лгуном не является. Значит, лгун – совсем не лгун.

А вот пример современного софизма

«Ссуда». Акционерное общество, которое получило ссуду у государства, уже ничего ему не должно, потому что стало другим. В правлении не осталось никого, кто просил выдать ссуду.

"Пять равно шести"

    Возьмем тождество 35+10-45=42+12-54.

В каждой части этого тождества вынесем за скобки общий множитель: 

5·(7+2-9)=6·(7+2-9).

Теперь, разделив обе части полученного равенства на их общий множитель (7+2-9), получим, что  5=6 . Где ошибка?

    Ошибка допущена при делении верного равенства 5·(7+2-9)=6·(7+2-9) на число 7+2-9, равное нулю. Этого нельзя делать, так как любое равенство можно делить только на число, отличное от нуля.

" 4 р. = 40 000 к." 

Возьмем верное равенство: 2 р. = 200 к. и возведем его по частям в квадрат. Мы получим: 4 р. = 40 000 к. В чем ошибка?

    Здесь надо вспомнить, что возведение в квадрат денег не имеет смысла. В квадрат возводятся числа, а не величины.

Софизм

2

2

Примером более тонкого  математического софизма  

  служит следующее «алгебраическое» доказательство того,

что любое число а равно меньшему числу b.  Начнем с равенства  

  а=b+с                                                                                                                    

Умножив обе его части на (a — b), получим  а² — аb = аb + аc — b² — bс. Перенесем ас в левую часть:  а² — аb — аc = аb — b² — bс  и разложим на множители:  а(а — b — c) = b(а — b — c). Разделив обе части равенства на (а — b — c), найдем  а = b,   что и требовалось доказать.

-с, следовательно, должно быть –ас, т.е. отрицательное число больше положительного.  Где ошибка??? Данное свойство пропорции может оказаться неверным, если некоторые члены пропорции отрицательны.  " width="640"

2. «Отрицательное число больше положительного». Возьмем два положительных числа а и с. Сравним два отношения: а/-c и -а/c Они равны, так как каждое из них равно –(а/с). Можно составить пропорцию: a/-c=-a/c Но если в пропорции предыдущий член первого отношения больше последующего, то предыдущий член второго отношения также больше своего последующего. В нашем случае а-с, следовательно, должно быть –ас, т.е. отрицательное число больше положительного.  Где ошибка??? Данное свойство пропорции может оказаться неверным, если некоторые члены пропорции отрицательны. 

Много неприятностей подстерегает того, кто неосторожно обращается с мнимой единицей  i  (квадратным корнем из -1). Об этом свидетельствует хотя бы следующее удивительное «доказательство» равенства 1 = -1:

1. «Два неодинаковых натуральных числа равны между собой» решим систему двух уравнений:

х+2у=6, (1) у=4- х/2 (2)

Сделаем это подстановкой у из 2го уравнения в 1, получаем х+8-х=6, откуда 8=6 Где же ошибка??? Уравнение (2) можно записать как х+2у=8, так что исходная система за-пишется в виде:

Х+2у=6, Х+2у=8

В этой системе уравнений коэффициенты при переменных одинаковы, а правые части не равны между собой, из этого следует, что система несов-местна, т.е. не имеет ни одного решения. Графически это означает, что прямые у=3-х/2 и у=4-х/2 параллельны и не совпадают. Перед тем, Как решать систему линейных уравнений, полезно проанализировать, имеет ли система единственное решение, бесконечно много решений или не имеет решений вообще. 

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ Геометрические софизмы – это умозаключения или рассуждения, обосновывающие какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними.  1 . « Спичка вдвое длиннее телеграфного столба» Пусть, а дм- длина спички и b дм - длина столба. Разность между b и a обозначим через c . Имеем b - a = c, b = a + c. Перемножаем два эти равенства по частям, находим: b2 - ab = ca + c2. Вычтем из обеих частей bc. Получим: b2- ab - bc = ca + c2 - bc, или b(b - a - c) = - c(b - a - c), откуда b = - c, но c = b - a, поэтому b = a - b, или a = 2b.  Где ошибка???  В выражении b(b-a-c )= -c(b-a-c) производится деление на (b-a-c), а этого делать нельзя, так как b-a-c=0.Значит, спичка не может быть вдвое длиннее телеграфного столба. 

Софизм

  В планиметрии большая часть ошибочных доказательств связана с использованием неправильных чертежей. Рассмотрим, например, удивительное «доказательство» того, что площадь лицевой стороны многоугольника, вырезанного из бумаги, отличается от площади оборотной стороны того же многоугольника. Это «доказательство» придумано врачом-психиатром Л. Восбургом Лионсом, в нем используется один любопытный принцип, открытый П. Керри.  Прежде всего начертим на листке бумаги в клетку треугольник, площадь которого равна 60 клеткам (рис. 82), и разрежем его вдоль прямых, показанных на верхнем рисунке. Перевернув части треугольника на другую сторону и составив из них треугольник, изображенный на рис. 82 в середине, мы обнаружим, что в центре нового треугольника появилась дырка площадью в 2 клетки. Иначе говоря, суммарная площадь частей исходного треугольника при переворачивании уменьшилась до 58 клеток! Перевернув еще раз (лицевой стороной вверх) лишь три части исходного треугольника, мы сможем составить из всех шести частей фигуру, изображенную на рис. 82 внизу. Ее площадь равна 59 клеткам. Что-то здесь не так, это ясно, но что именно?

  Софизм .

  Один из наиболее впечатляющих парадоксов топологии заключается в том, что тор (поверхность  бублика), если его поверхность растягивать (не разрывая при этом), можно вывернуть наизнанку  через любую сколь угодно малую дырочку. Никакой проблемы здесь нет. Но уж если тор  действительно можно вывернуть наизнанку, то следует  обратить внимание и еще на один, пожалуй, даже более замечательный факт.  Если тор вывернуть наизнанку, то кажется, что кольца, нарисованные на его поверхности, расцепляются.   На наружной стороне тора проведем меридиан (рис, вверху). На внутренней стороне того же тора проведем параллель. Обе эти окружности, очевидно, сцеплены между собой. Вывернем теперь тор наизнанку через дырочку в его поверхности. Как видно из нижнего рисунка, первая окружность перейдет с наружной поверхности тора внутрь, а вторая — наружу, и обе окружности окажутся расцепленными! Очевидно, что это нарушает фундаментальный топологический закон, который гласит: разделить две сцепленные замкнутые кривые можно, лишь разорвав одну из кривых и протащив через место разрыва вторую.

«Полупустое и полуполное»

Полупустое есть то же, что и полуполное. Если равны половины, значит, равны и целые. Следовательно, пустое есть то же, что и полное.

«Не знаешь то, что знаешь»

— Знаешь ли ты то, о чём я хочу тебя спросить?

— Нет.

— Знаешь ли ты, что добродетель есть добро?

— Знаю.

— Об этом я и хотел тебя спросить. А ты, выходит, не знаешь то, что знаешь.

«Лекарства»

Лекарство, принимаемое больным, есть добро. Чем больше делать добра, тем лучше. Значит, лекарств нужно принимать как можно больше.

«Девушка — не человек»  

Доказательство от противного. Допустим, девушка - человек.

  Девушка - молодая, значит девушка - молодой человек.

  Молодой человек — это парень.

  Противоречие. Значит девушка — не человек.

«Вор»

Вор не желает приобрести ничего дурного. Приобретение хорошего есть дело хорошее. Следовательно, вор желает хорошего.

«Рогатый»

Есть ли у тебя то, что ты не терял? Конечно есть. Ты рога не терял, значит они у тебя есть.

«Куча»

Одна песчинка не есть куча песка. Если n песчинок не есть куча песка, то и n+1 песчинка - тоже не куча. Следовательно, никакое число песчинок не образует кучу песка.

«   Глаза»

«Для того чтобы видеть, вовсе необязательно иметь глаза,

  ведь без правого глаза мы видим,

  без левого тоже видим;

  кроме правого и левого, других глаз у нас нет; поэтому ясно, что глаза не являются необходимыми для зрения».

«Лгун». Есть вероятность, что лгун сознается в том, что он обманщик. Значит, он скажет правду. Тот, кто говорит правду, лгуном не является. Значит, лгун – совсем не лгун.

А вот пример современного софизма

«Ссуда». Акционерное общество, которое получило ссуду у государства, уже ничего ему не должно, потому что стало другим. В правлении не осталось никого, кто просил выдать ссуду.