Математик Банах Стефан и его достижения

Стефан Банах

«Математик — это тот, кто умеет находить аналогии между утверждениями, лучший математик — тот, кто устанавливает аналогии доказательств, более сильный математик — тот, кто замечает аналогии теорий; но можно представить себе и такого, кто между аналогиями видит аналогии». Стефан Банах

Сте́фан Ба́нах  польск.  Stefan Banach

•   30 марта 1892, Краков — 31 августа 1945, Львов) — польский математик, профессор Львовского университета (1924), декан физико-математического факультета этого университета (1939).
• Член Польской АН и член-корреспондент АН УССР. Один из создателей современного функционального анализа и львовской математической школы.

Биография

• Родился в семье Стефана Гречека и Катажины Банах, уроженцев южно-польской провинции  Подгалье . Его отец был  рядовым  и не имел права жениться, а мать была слишком бедной, чтобы содержать ребёнка, поэтому ранние годы Банах провёл со своей бабушкой.
• В 1920 году защитил диссертацию на степень  доктора философии . С 1922 года занимал должность профессора и заведующего второй кафедрой математики, а с 1927-го — заведующего отдельной кафедрой Львовского университета.
• В 1939 году, после присоединения Западной Украины к СССР, был избран членом-корреспондентом АН Украины, занял должность декана физико-математического факультета Львовского университета.
• В годы  немецкой  оккупации Банах вначале скрывался, но затем был устроен на работу «кормителя вшей» ( en:Feeder of lice ) на завод по производству противотифозной вакцины при институте по исследованию  тифа  под руководством профессора  Рудольфа Вайгля . Это была одна из немногих возможностей для Банаха получить работу в оккупированном Львове, дающая также защиту от возможных репрессий со стороны оккупантов. Вместе с Банахом «кормителями вшей» работали многие другие представители польской интеллигенции и польские подпольщики.
• После освобождения Львова вновь возглавил физико-математический факультет Львовского университета и помогал в его восстановлении, но при этом рассматривал возможность переезда в  Краков , где ему была предложена кафедра в  Ягеллонском университете .
• Его также рассматривали как кандидата на должность министра образования Польши, но болезнь (рак легких), диагностированная в январе 1945, и смерть в августе того же года помешали осуществлению этих планов. Похоронен в склепе семьи Редлов на  Лычаковском кладбище . В 1946 году именем Банаха названа одна из улиц Львова.

Ба́нахово пространство  — нормированное векторное пространство, полное по метрике, порождённой нормой. Основной объект изучения функционального анализа.

Банаховы пределы

Лемма

Теорема

Понятие почти сходимости

Характеристические функции

Теорема Банаха о неподвижной точке

• утверждение в метрической геометрии, гарантирующее наличие и единственность неподвижной точки у определённого класса отображений метрических пространств, также содержит конструктивный метод нахождения этой точки. Установлено это утверждение в 1922 году.

Теорема

Теоре́ма  Ха́на  —  Ба́наха  

• Это несколько связанных между собой классических результатов функционального анализа: теорему о продолжении линейного функционала с сохранением мажоранты, теорему о разделении выпуклых множеств и теорему о непрерывном или положительном продолжении линейного функционала и т. п.

Доказательство

Для завершения доказательства используем лемму Цорна. Пусть E является множеством всех возможных продолжений, удовлетворяющих условия теоремы. Данное множество является частично упорядоченным из-за включения областей определения, и каждое линейно упорядоченное подмножество имеет супремум (объединение областей определения). Поэтому по лемме Цорна данное множество имеет максимальный элемент. Данный элемент равен всему пространству, иначе в противном случае можно осуществить дальнейшее продолжение воспользовавшись только определенной конструкцией.

Теорема об открытом отображении

Парадокс удвоения шара

Банахова алгебра

Примеры

Свойства

Спектральная теория

Идеалы и характеры