Математика. Разрезания на треугольники.

Разрезания на треугольники

Задача 1. Найти все равнобедренные треугольники, которые нельзя разрезать на три равнобедренных треугольника с одинаковыми боковыми сторонами.

Решение.  Остроугольный треугольник можно разрезать на три равнобедренных с равными боковыми сторонами радиусами описанной окружности. Если треугольник ABC – (C – тупой угол), то возьмём на стороне AB такие точки A', B', что  AB' = B'C = CA' = A'B,  и разрежем треугольник на треугольники AB'C, A'B'C и A'BC (см. рис.). 

  Докажем, что прямоугольный треугольник ABC  (AC = BC)  разрезать требуемым образом нельзя.    Очевидно, что существует два существенно различных способа разрезания треугольника на три: соединить внутреннюю точку с вершинами или разрезать треугольник на два прямой, проходящей через вершину, а затем повторить эту операцию с одной из двух частей (см. рис.).

  В первом случае треугольник AXB может быть равнобедренным только при  AX = BX,  но тогда два других треугольника равнобедренными не будут. Во втором случае хотя бы один из получающихся при первом разрезе треугольников должен быть равнобедренным. Следовательно, первая прямая либо является биссектрисой прямого угла, либо соединяет точку C с точкой D на гипотенузе, для которой  AD = AC.  Ни в том, ни в другом случае провести вторую прямую так, чтобы получить нужное разрезание невозможно.

Ответ: только прямоугольный равнобедренный треугольник.

Задача 2. Бумажный треугольник с углами 20°, 20°, 140° разрезается по одной из своих биссектрис на два треугольника, один из которых также разрезается по биссектрисе, и так далее. Может ли после нескольких разрезов получиться треугольник, подобный исходному?

Решение.   Назовем треугольник плохим, если один из его углов не кратен 20°. На первом шаге оба полученных треугольника – плохие. Заметим, что в плохом треугольнике углов, не кратных 20°, по крайней мере два. Отсюда ясно, что при разрезании плохого треугольника по биссектрисе получаются два плохих треугольника. Следовательно, треугольник, подобный исходному, который плохим не является, ни на каком шаге получить нельзя.

Задача 3. На какое минимальное число равновеликих треугольников можно разрезать квадрат 8*8 с вырезанной угловой клеткой? 

Решение. Рассмотрим треугольники, примыкающие к вырезанной клетке и оцените площадь одного из них. Пусть квадрат 8*8 с вырезанной угловой клеткой (его площадь равна 63) разрезан на n треугольников, каждый из которых имеет площадь 63/n. Обозначим через A, B, C вершины вырезанной клетки. Рассмотрим треугольники, содержащие точку B. Нетрудно видеть, что таких треугольников по крайней мере два - у одного из них одна из сторон (назовем эту сторону a) соприкасается с отрезком AB, а у другого - из сторон (назовем эту сторону с) соприкасается с отрезком BC. Заметим, что одновременно не может сторона a выходить за пределы отрезка AB и сторона с выходить за пределы отрезка BС, так как в противном случае треугольники имели бы пересечение. Пусть, для определенности, сторона a не выходит за пределы отрезка AB. Тогда в треугольнике со стороной a длина стороны а не превосходит 1, а длина высоты, опущенной на сторону а, не превосходит 7 (иначе треугольник вышел бы за пределы квадрата). Таким образом, площадь этого треугольника не больше 7/2. Итак, 63/n не превосходит 7/2, откуда n не меньше 18.

Ответ: 18.

Разрезание треугольника на четное количество подобных ему треугольников. Если требуется разделить треугольник на некоторое число n (n=2k, k>=2) треугольников, подобных данному, можно разделить одну из его сторон на k равных частей, через точки деления провести параллельные двум другим сторонам прямые. Образуется k равных треугольников, причем их вершины, не принадлежащие делимой стороне треугольника, будут лежать на одной прямой. Затем провести эту прямую. Треугольник разделится на нужное количество подобных ему треугольников. Используется следующий алгоритм:

1. 1. Разделить одну из его сторон на k равных отрезков.
   2. Через точки деления провести прямые, параллельные двум другим сторонам.
   3. Вершины полученных треугольников соединить отрезком.

Разрезание треугольника на нечетное количество подобных ему треугольников. Для того, чтобы разбить треугольник на нечетное количество n, n=2k+1, подобных треугольников, можно одну из сторон треугольника разбить на k-1 часть, через точки деления провести прямые, параллельные двум другим сторонам треугольника, тогда образуется k-1 равных треугольников, причем их вершины, не принадлежащие делимой стороне треугольника, будут лежать на одной прямой. Затем провести эту прямую. Треугольник, который эта прямая отсекает от данного, разбить на 4 треугольника средними линиями. 2. Используется следующий алгоритм: 1) разобьем одну из сторон треугольника на k-1 часть; 2) через точки деления на этой стороне проведем прямые, параллельные двум другим сторонам треугольника; 3) соединим вершины полученных треугольников отрезком; 4) образовавшийся треугольник разделим на 4 средними линиями.