Олимпиадные задания по математике _9 класс (с решением).



















Решение.

Проведем через точку А1 прямую до пересечения с АВ в точке D.

Эта прямая А1 параллельна СС1.

По теореме Фалеса BD : BC1 = A1B : BC = 1 : 3.

Отсюда следует, что BD = _ BC1 = _ AB, AD = _AB.

По теореме Фалеса и AM : AA1 = AC1 : AD = 3:7

Получается, что ⇒ S ∆ACM = _ S ∆ACA ⇒ S∆ ABK = ∆ BCL = _ S.

Далее получается, что S ∆KLM = S - S ∆ACM + S ∆ABK + S ∆BCK = _ S .

Ответ: _ S .

Задание 2. Трапеция ABCD (AB║CD) такова, что окружность, описанная около треугольника АВD, касается прямой ВС. Докажите, что окружность, описанная около треугольника ВСD, касается прямой AD.

Решение.

Отрезки DA и CB выходят за пределы окружности и пересекаются в точке E. Из рисунка мы видим, что _ = _ и EB² = EA * ED,

отсюда получается, что _ = _ , далее получается, что ED² = ЕВ * ЕС.

Отсюда можно сделать вывод, что прямая ED и прямая AD является касательной к окружности, описанной около ∆BCD. Что и требовалось доказать.

Задание 3. Треугольник разрезан на несколько выпуклых многоугольников.

Докажите, что среди них либо есть треугольник, либо есть многоугольник с одинаковым числом сторон.

Решение.

Для начала выберем среди многоугольников разбиения тот, у которого наибольшее число сторон (если таких более одного, то доказывать нечего). Он выпуклый и поэтому может иметь с каждым из остальных многоугольников не более одной общей стороны или ее части, и на каждой стороне исходного треугольника лежит не более одной его стороны.

Пусть число его сторон n, тогда на сторонах треугольника не лежат, по крайней мере, (n–3) его стороны. Поскольку каждая из (n–3) его сторон имеет общую часть хотя бы с одним из остальных многоугольников и две разные стороны с разными многоугольниками, то остальных многоугольников, по крайней мере, (n–3), т.е. всего треугольник разрезан не менее, чем на (n–2) многоугольника, у каждого из которых не более n-сторон.

Если среди них есть треугольник, то задача решена.

Если же треугольника нет, то количество сторон многоугольников от 4 до n, т.е. имеется (n–3) варианта, поэтому число многоугольников с различным числом сторон не более (n–3). Но в разрезании, по крайней мере, (n–2) многоугольника, поэтому по принципу Дирихле среди них обязательно найдется два с равным числом сторон. Ответ: что и требовалось доказать.