Олимпиадные задания по математике 10 класс с решением

Вариант 1

1. Квадрат каждого из трех данных чисел равен произведению двух оставшихся чисел. Докажите, что все данные числа равны.

2. В каком году XX века родился человек, если в 1997 году произведение цифр лет, прожитых им, уменьшенное в 4 раза, на 3 меньше суммы цифр года его рождения?

3. Построить график функции y = | x² – 1 | – | x² – 9 |.

4. Периметр треугольника равен 24 см. Можно ли около этого треугольника описать окружности радиусом 5 см?

5. Докажите, что при любом значении x выполняется равенство:

.

6. Трава на лугу растет одинаково густо и быстро. Известно, что 70 коров съели бы ее за 24 дня, а 30 коров – за 60 дней. Сколько коров съели бы всю траву за 96 дней?

1. Пусть a, b, c – данные числа.

По условию имеем a² = bc; b² = ac; c² = ab. умножим эти равенства на a, b, c соответственно получим, что a³ = b³ = c³ = abc, но если равны кубы чисел, то равны и сами эти числа.

2. – год рождения.

= 1000 + 9 ∙ 100 + 10x + y,

1997 – (100 + 9 ∙ 100 + 10x + y) = 10 ∙ (9 – x) + (7 – y) – возраст + 3 = 1 + 9 + x + y, откуда y = .

Единственное решение в целых числах: x = 1; y = 2.

Необходимо рассмотреть 2-й случай, когда y 7, тогда

+ 3 = 1 + 9 + x + y, откуда

x = ;  y = 9; x = 0.

Ответ: 1912 год, 1909 год.

3. y = | x² – 1 | – | x² – 9 | преобразовать к виду кусочно-заданной функции и построить график

y = f (x) =

4. Пусть ∆ABC – некоторый треугольник и О – центр описанной около него окружности с радиусом R.

Тогда AB R; BC R; AC R; P_∆ABC R  24

5. Можно построить графики обеих частей уравнения, используя преобразование графиков функций, возможно аналитическое решение уравнения, но тогда потребуется рассмотрение 6 случаев возможного значения переменной x.

6. 20 коров.

Пусть было на лугу A кг травы и растет она со скоростью x кг в день. Одна корова съедает y кг травы в день, получаем следующую систему:

а необходимо найти такое число z, что 96 ∙ z ∙ y = A + 96x. Используя систему уравнений, получим, что z = 20.

Вариант 2

1. Упростить выражение , где 0° 

2. Вычислить a⁴ + b⁴ + c⁴, зная, что a + b + c = 0 и a² + b² + c² = 1.

3. Найти сумму целых решений неравенства: ≥ 0.

4. Точки P, K, M, N – соответственно середины сторон AB, BC, CD, DA выпуклого четырехугольника ABCD. Отрезки AK и CP пересекаются в точке F, отрезки AM и CN – в точке E. Площадь четырехугольника AFCE равна 666. Найдите площадь четырехугольника ABCD.

5. Найдите площадь фигуры, заданной неравенством:

| x – 5 | + | y + 9 | ≤ 4.

6. Решить систему уравнений:

1.
= = sin + cos + sin – cos =
= 2sin ;

0° 

0°

2. (a² + b² + c²)² = 1²;

a⁴ + b⁴ + c⁴ + 2a²b² + 2a²c² + 2b²c² = 1;

(a + b + c)² = 0²;

+ 2ab + 2bc + 2ac = 0;

ab + bc + ac = ;

(ab + bc + ac)² = ;

a²b² + b²c² + a²c² + 2acb² + 2a²bc + 2bac² = ;

a²b² + b²c² + a²c² + 2abc (a + b + c) = ;

a²b² + b²c² + a²c² = ;

2a²b² + 2b²c² + 2a²c² = , имеем, что

a⁴ + b⁴ + c⁴ + = 1  a⁴ + b⁴ + c⁴ = .

Ответ: a⁴ + b⁴ + c⁴ = .

3. 2.

4. 1998.

5. Фигура представляет собой квадрат с центром в точке (5; –9) и диагональю, равной 8, поэтому площадь равна = 32.

6. Обозначим = t, причем t ≥ 0;

t + t⁶ = 2; t⁶ + t – 2 = 0; t = 1 – корень данного уравнения.

(t – 1) ∙ (t⁵ + t⁴ + t³ + t² + t + 2) = 0, значит, x = y, откуда

то есть y² – 6y + 1 = 0.

y₁ = 3 + 2; x₁ = 3 + 2;

y₂ = 3 – 2; x₂ = 3 – 2.

Ответ: (3 + 2; 3 + 2); (3 – 2; 3 – 2).

Вариант 3

1. Вычислить , если tg  = 2.

2. Решите систему уравнений

3. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, в котором
AB = AA₁ = 12, AD = 30. Точка М расположена на грани ABB₁A₁ на расстоянии 1 см от середины AB и на равных расстояниях от A и B. Точка N принадлежит грани DCC₁D₁ и расположена симметрично точке М относительно центра параллелепипеда. Найти длину кратчайшего пути по поверхности параллелепипеда между точками М и N.

4. Из точки Е к окружности диаметром KМ проведена касательная ЕМ. Отрезок ЕK пересекается с окружностью в точке D, ED = 2 дм; KМ = 6 дм. Найдите градусную меру дуги окружности, заключенной внутри ∆MEK.

5. Найдите сумму 1 + 11 + 111 + 1111 + ... + 11...1 (всего 2000 слагаемых).

6. Решить графически систему уравнений:

1. 1.

2.

Решим первое уравнение системы относительно x.

= (y + 19)² – 50y² + 60y – 410 = –49y² + 98y – 49 =
= –49 (y² – 2y + 1) = –49 (y – 1)².

Очевидно, что уравнение имеет решение лишь при y = 1; найдем x:

10x² – 40x + 40 = 0; x² – 4x + 4 = 0; (x – 2)² = 0; x = 2.

Проверкой убеждаемся, что пара x = 2; y = 1 является решением второго уравнения системы.

Ответ: (2; 1).

3. 40 см;

MN =
= = 40 (см).

4. Найти градусную меру дуги MD.

MDK = 90°, так как опирается на диаметр.

MD = = 2.

tg MKD = , то есть MKD = 30°, а значит,  MD = 60°.

5. 9 ∙ (1 + 11 + ... + 1...1) = 9S;

(10 – 1) + (100 – 1) + ... = 9S;

9S = 10 + 10² + 10³ + ... + 10²⁰⁰⁰ – 2000;

9S = – 2000 = ;

S = .

6. x₁  3,8; y₁  4,5; x₂  –3,8; y₂  –4,5;

x₃  4,5; y₃  2; x₄  –4,5; y₄  –2.

Вариант 4

1. Найти сумму натуральных чисел от 1 до 1000, которые делятся на 7 и не делятся на 13.

2. Решить систему уравнений:

3. Постройте график функции:

4. Дан выпуклый пятиугольник, все углы которого тупые. Доказать, что в нем найдутся две такие диагонали, что круги, построенные на них, как на диаметрах, полностью накроют пятиугольник.

5. Сколько одинаковых членов находится в двух арифметических прогрессиях 5; 8; 11... и 3; 7; 11... если в каждой из них по 100 членов?

6. По дороге мимо наблюдателя проехали через равные промежутки времени автобус, мотоцикл и автомобиль. Мимо другого наблюдателя они проехали с такими же промежутками времени, но в другом порядке: автобус, автомобиль и мотоцикл. Найти скорость автобуса, если скорость автомобиля 60 км/ч, а скорость мотоцикла 30 км/ч.

1. 66066.

2. Из первого уравнения следует | x | ≤ 1; | y | ≤ 1; | z | ≤ 1.

Отсюда x³ ≤ x²; y³ ≤ y²; z³ ≤ z².

Если | x | y | z | x³ + y³ + z³ x² + y² + z² = 1, но это неверно. Поэтому, если | x | = 1, то | y | = 0, | z | = 0. а из второго уравнения следует, что x = 1. Аналогично рассуждаем для | y | = 1 или | z | = 1.

Ответ: (1; 0; 0); (0; 1; 0); (0; 0; 1).

3. Графиком является прямая y = 3.

4. На диагоналях АС и AD построим круги, как на диаметрах с центрами O₁ и O₂. Они накроют ∆ABC и ∆AED, так как углы B и Е тупые. Если один из углов ACD и ADE тупой, то один из кругов с центром O₁ и O₂ покрывает ∆ACD. Если углы ACD и ADC не тупые, то круг с центром O₁ покрывает ∆AHC, а круг с центром O₂ покрывает ∆ADH. Значит, круги с центрами O₁ и O₂ полностью покрывают пятиугольник.

5. Пусть некоторые члены арифметических прогрессий равны:

5 + (n – 1) ∙ 3 = 3 + (m – 1) ∙ 4;

n = m + – 1, m, n  N, значит, = k, где k  N, то есть

m = 3k  n = 4k – 1.

1 ≤ 4k – 1 ≤ 100;

2 ≤ 4k ≤ 101;

≤ k ≤ 25;

k = 1, 2, ..., 25.

Ответ: общих членов 25 штук.

6. Пусть S – расстояние между наблюдателями, x – скорость автобуса, t – промежуток времени, через которое мимо первого наблюдателя последовательно проехали автобус, мотоцикл, автомобиль. Тогда время, затраченное автобусом, мотоциклом и автомобилем на пути от одного наблюдателя до другого, равно ; и соответственно, а из условия задачи имеем = + t; = – t.

Сложив их, получим , откуда x = 40. Значит, скорость автобуса равна 40 км/ч.

Вариант 5

1. Остаток при делении многочлена P (x) на (x – 1) равен 1, при делении P (x) на (x – 2) равен 2, а при делении P (x) на (x – 3) равен 3. Какой остаток будет при делении P (x) на (x – 1)(x – 2)(x – 3)?

2. Построить график | y | = y ∙ .

3. Войсковая колонна имеет длину 5 км. Связной, выехав из конца колонны, передал пакет в начало колонны и вернулся обратно. Колонна за это время прошла путь в 12 км. Какой путь проехал связной?

4. Решите в целых числах систему уравнений:

5. Найти площадь фигуры, заданной на координатной плоскости неравенством x² + y² ≤ 10 | x | + 4 | y |.

6. Найдите радиус окружности, описанной около правильного девятиугольника ABCDEFGHK, если известно, что площадь ∆ADG равна 48.

1. P (x) = Q₁ (x) ∙ (x – 1) + 1; Q₁, Q₂, Q₃ – неполные частные;

P (x) = Q₂ (x) ∙ (x – 2) + 2;

P (1) = 1; P (2) = 2; P (3) = 3;

P (x) = Q₃ (x) ∙ (x – 3) + 3;

P (x) = Q (x) ∙ (x – 1)(x – 2)(x – 3) + ax² + bx + c;

oткуда a = 1; b = –2; c = 1, то есть остаток x² – 2x + 1.

2. Прежде всего надо отметить, что y ≥ 0.

При y 0 | cos x | = 1; cos x = ±1; x = πk; k  Z.

При y = 0 x – любое, кроме x = + πk; k  Z, то есть график представляет собой совокупность прямых x = πk; k  Z, параллельных оси ОY и оси ОХ с выколотыми точками x = + πk; k  Z.

3. S = 5 км; x – скорость колонны, y – скорость связного.

;

;

5xy = 6y² – 6x²;

6y² – 5xy – 6x² = 0;

D = 169x²;

y₁ = 1,5x; y₂

Откуда ∙ y = = 18 (км) проехал связной.

4.

Возможны варианты

Ответ: (x; y; z); (95; 0; 94); (31; 2; 32).

5. Достаточно рассмотреть случай для x ≥ 0; y ≥ 0, так как выражение симметрично относительно x, y:

x² + y² – 10x – 4y ≤ 0;

x² – 10x + 25 + y² – 4y + 4 – 29 ≤ 0;

(x – 5)² + (y – 2)² ≤ 29 – окружность с центром в точке (5; 2) и радиусом . S_фигуры = 58π + 80.

6.  AK = 40°;  AKG = 120°  ADG = 60;

∆ADG – равносторонний.

S = 48;

a = AD = 8;

AO = R – окружности, описанной около ∆ADG;

R = = 8.

Ответ: 8.

Вариант 6

1. Вычислить, не пользуясь таблицами и микрокалькулятором,

tg 1° ∙ tg 2° ∙ tg 3° ∙ ... ∙ tg 89°.

2. Решить уравнение: = 3x.

3. Найдите два трехзначных числа, сумма которых кратна 504, а частное кратно 6.

4. Непрерывная четная функция y = f (x) определена на всей числовой прямой. Для всех неотрицательных значений x значение f (x) совпадает со значением функции g (x) = x² – 6x + 5. Найдите произведение корней уравнения f (x) = –3.

5. 30 стульев стоят в ряд. Время от времени к ряду подходит человек и садится на один из свободных стульев, при этом один из его соседей, если таковые есть, встает и уходит. Какое максимальное число стульев может быть занято, если в начале они все были пустыми?

6. Найти наименьшее значение параметра с, при котором система имеет одно решение.

1. tg 1° ∙ tg 2° ∙ tg 3° ∙ ... ∙ tg 87° ∙ tg 88° ∙ tg 89° =

= tg 1° ∙ tg 2° ∙ ... ∙ tg (90 – 2)° ∙ tg (90 – 1)° =

= tg 1° ∙ tg 2° ∙ ... ∙ ctg 2° ∙ ctg 1° = 1.

Использовать тождество tg  ∙ ctg  = 1.

2. Умножим обе части уравнения на сопряженное выражение:

; тогда получим

6x = 3x ∙ (), откуда с учетом того,
что x ≥ 0, получаем корни уравнения x₁ = 0; x₂ = 4.

3. Пусть a и b – искомые трехзначные числа, тогда

где f и k – целые числа, но так как числа a и b – трехзначные, то k = 1 – единственное значение, удовлетворяющее условию задачи.

Возможные значения f: 2, 3, 4, 5… 13 при f = 2; b = 144; a = 864, дальнейшие значения f рассматривать не имеет смысла.

Ответ: 144; 864.

4. g (x) = x² – 6x + 5.

Корни уравнения x² – 6x + 5 = –3: x₁ = 4; x₂ = 2, учитывая четность
функции y = f (x), корни уравнения f (x) = –3: x₁ = 4; x₂ = 2; x₃ = –4;
x₄ = –2, то есть произведение корней x₁ ∙ x₂ ∙ x₃ ∙ x₄ = 4 ∙ 2 ∙ (–4) ∙ (–2) = 64.

Возможен графический способ решения.

5. 15 стульев.

6. c = .

Вариант 7

1. Найдите значение выражения , если

= 3.

2. Постройте график функции y = 4 sin x ∙ | cos x |.

3. Сумма третьего и четырнадцатого членов арифметической прогрессии равна наибольшему значению трехчлена –2x² + 4x – 16. Найдите сумму шестнадцати первых членов этой прогрессии.

4. Составьте формулу, с помощью которой выражался бы n-й член последовательности вида 0; 2; 2; 4; 4; 6; 6; ...

5. В сосуде имеется три крана. Через первый и второй краны вода вливается, через третий выливается. Один первый кран может наполнить сосуд за 10 часов, а один второй – за 15 часов. При совместном действии всех трех кранов из полного сосуда выливается вся вода за 30 часов. Сосуд был полон, когда открыли первый и третий краны. Через 1 час после их открытия первый кран был закрыт, но открыт второй, а еще через 1 час закрыли третий кран и вновь открыли первый.

Определите, через сколько часов после закрытия третьего крана два первых наполнят сосуд.

6. Разность катетов прямоугольного треугольника равна биссектрисе прямого угла. Вычислите отношение этих катетов.

1. x² + y (x + 7y) = 3 (xy + 2y²), откуда (x – y)² = 0, то есть x = y. Тогда = –3.

2. y = 4sin x ∙ | cos x | =

3. S₁₆ = –112.

4. a_n = n + .

5. 6 часов.

6. Пусть катеты прямоугольного ∆ABC равны a и b. Через вершину В проведем прямую, параллельную биссектрисе СЕ и пересекающую продолжение катета АС в точке D.

∆ABD и ∆ACE подобны, значит, , или CE = , но по условию = b – a (b a), отсюда находим b² – ab– a² = 0; , но 0, поэтому .

Вариант 8

1. Найти в градусах угол , под которым окружность x² + y² = 32 видна из точки А (8; 0).

2. Сто человек ответили на вопрос: «Будет ли новый президент лучше прежнего?» Из них a человек считают, что будет лучше, b – что будет такой же и c – что будет хуже. Других ответов не было. Социологи построили два показателя «оптимизма» опрошенных: m = a + ; n = a – c. Оказалось, что m = 40. Чему в таком случае равно n?

3. Через точку М на диаметре окружности проводится секущая CD под углом 45° к диаметру. Докажите, что число | CM | ² + | DM | ² не зависит от положения точки М на диаметре.

4. Решить неравенство: ≥ 0.

5. Решить уравнение: 3 ∙ cos x – cos 3x = 2 (x² +) + π ∙ .

6. Возраст одного человека в 1990 году был равен произведению цифр года его рождения. В каком году он родился, если известно, что ему меньше 90 лет?

1. 90°.

2. Учитывая, что c = 100 – a – b, получаем:

n = a – (100 – a – b) = 2a + b – 100 = 2– 100 = 2m – 100.

значит, n = 2 ∙ 40 – 100 = –20.

3. Для доказательства: постройте точку D′, симметричную точке D относительно диаметра.

4. (2; 4)  {0}  {6}.

5. Использовать метод оценки для функций

f (x) = 3cos x – cos 3x; g (x) = 2 ∙ (x² + ) + π.

наибольшее значение функции f равно наименьшему значению функции g (x) в двух точках: x₁ = ; x₂ = . можно использовать графическую иллюстрацию решения.

6. 1918 год.

Вариант 9

1. Дан угол в 19°. Построить с помощью циркуля и линейки угол в 1°.

2. Найдите три числа, если куб первого числа на 2 больше их произведения. Куб второго числа на 3 меньше их произведения, а куб третьего числа на 3 больше их произведения.

3. Решить неравенство: .

4. Четырехугольник АВСD вписан в окружность. Продолжение стороны AB за точку B пересекается с продолжением стороны CD в точке E.

Найти угол ADE, если CD = 2EB; AB : EC = 7 : 2, косинус угла AED равен .

5. Доказать тождество: 2 (sin⁶ x + cos⁶ x) – 3 (sin⁴ x + cos⁴ x) + 1 = 0.

6. При каких значениях параметра а уравнение | x² – 5x + 4 | = ax имеет ровно три корня?

1. Необходимо воспользоваться тем, что 19° ∙ 19 = 361°.

2. Пусть x, y, z – данные числа, тогда

(xyz)³ = (xyz + 2) ∙ (xyz – 3) ∙ (xyz + 3).

Пусть xyz = t;

t³ = (t + 2) ∙ (t – 3) ∙ (t + 3)  2t² – 9t – 18 = 0. t₁ = 6; t₂ = , значит, xyz = 6 или xyz = , откуда необходимо рассмотреть решение двух систем уравнений:

x₁ = 2; y₁ = ; z₁ = ;

x₂ = ; y₂ = –; z₂ = .

3. (–∞; –2)  (0; 10)  (18; +∞).

4. По свойству секущей и касательной имеем BE ∙ (AB + BE) =
= EC ∙ (DC + EC). Пусть  BE = x, AB = 7y, DC = 2x, EC = 2y; подставляя в предыдущее равенство, получим, что x = y.

Из ∆BCE по теореме косинусов BC = ; ADE = CBE, поэтому из ∆BEC CBE = π – arccos; ADE = CBE.

5. 2 (sin²x + cos²x) ∙ (sin⁴x – sin²x cos²x + cos⁴x) – 3 (sin⁴x + cos⁴x) + 1 =
= –sin⁴x – 2sin²x cos²x – cos⁴x + 1 = –(sin²x + cos²x)² + 1 = 0.

6. При a = 1 можно использовать графическую иллюстрацию аналитического решения.

Вариант 10

1. Найти значение выражения x³ – 3x при x = .

2. Найти все решения уравнения , удовлетворяющие условию ctg x

3. Вычислить arccos (cos 10).

4. Составить уравнение окружности наименьшего радиуса, внутри которой помещается множество точек, заданной на координатной плоскости условием: | 3x – y – 1 | + | 3x – 6 |

5. Хорда окружности удалена от центра на расстояние h. В каждый из сегментов, стягиваемых хордой, вписан квадрат так, что две соседние вершины квадрата лежат на дуге, две другие – на хорде. Чему равна разность сторон этих квадратов?

6. В компании из шести человек один правдолюб, то есть всегда говорит правду; двое – дипломаты, то есть могут говорить правду или ложь; а остальные – лжецы, то есть всегда лгут. Чтобы узнать, кто из них есть кто, каждого спросили, кто он есть. Первый сказал, что правдолюб, второй – что он дипломат, третий – что он лжец, четвертый – что он не правдолюб, пятый – что он не дипломат, а шестой – что он не лжец.

Кто из них есть кто?

Вариант 10

1. Найти значение выражения x³ – 3x при x = .

2. Найти все решения уравнения , удовлетворяющие условию ctg x

3. Вычислить arccos (cos 10).

4. Составить уравнение окружности наименьшего радиуса, внутри которой помещается множество точек, заданной на координатной плоскости условием: | 3x – y – 1 | + | 3x – 6 |

5. Хорда окружности удалена от центра на расстояние h. В каждый из сегментов, стягиваемых хордой, вписан квадрат так, что две соседние вершины квадрата лежат на дуге, две другие – на хорде. Чему равна разность сторон этих квадратов?

6. В компании из шести человек один правдолюб, то есть всегда говорит правду; двое – дипломаты, то есть могут говорить правду или ложь; а остальные – лжецы, то есть всегда лгут. Чтобы узнать, кто из них есть кто, каждого спросили, кто он есть. Первый сказал, что правдолюб, второй – что он дипломат, третий – что он лжец, четвертый – что он не правдолюб, пятый – что он не дипломат, а шестой – что он не лжец.

Кто из них есть кто?

1. 2.

2. ;

(2 ∙ (3 + ) + 1 – 2)^{2sin x} = 7^–1;

7^{2sin x} = 7^–1;

sin x = , с учетом условия ctg x x = + 2πk, k  Z.

3. arccos (cos 10) = arccos (cos (4π – 10)) = 4π – 10, так как
(4π – 10)  [0; π].

4. Рассмотрим четыре случая:

1) 3)

2) 4)

Множество точек, заданных полученными условиями, представляют собой параллелограмм ABCD, O – точка пересечения диагоналей. AC – большая диагональ, OC = R – радиус: (x – 2)² + (y – 5)² = (необходима графическая иллюстрация решения).

5. 1,6h.

6. Первый, второй, шестой – лжецы; третий, четвертый – дипломаты; пятый – правдолюб.