Олимпиадные задания по математике 9-11 классы

1. Сколько двузначных натуральных чисел обладает тем свойством, что сумма их цифр является квадратом целого числа?

2. Один восьмиклассник утверждает, что сможет разрезать любой квадрат на десять меньших квадратов (среди которых могут быть одинаковые). Не ошибается ли он?

3. Известно, что и . Найдите значение .

4. Делится ли число на 7?

5. Известно, что для вещественных чисел справедливо равенство . Докажите, что .

6. Мальчик пробегает каждый день либо , либо километров, где и - натуральные числа, . Мальчик может пробежать ровно 100 километров за 9 или 11 дней, но не может за 10 дней. Найдите все возможные значения и .

Районный этап Республиканской олимпиады школьников по математике 2012-2013 учебного года

9 класс

Второй тур

Каждая задача оценивается в 7 баллов

Время работы: 150 минут

1. Докажите, что если для целых число делится на 25, то и делятся на 5.

2. Вчера на игровой площадке мальчиков было в полтора раза больше, чем девочек. Сегодня число мальчиков есть квадрат числа девочек, причем мальчиков стало на 6 человек, а девочек – на 7 человек меньше, чем вчера. Сколько детей на игровой площадке было вчера?

3. Докажите, что для всех натуральных справедливо тождество . Здесь .

Районный этап Республиканской олимпиады школьников по математике 2012-2013 учебного года

10 класс

Второй тур

Каждая задача оценивается в 7 баллов

Время работы: 150 минут

1. Длины сторон и диагоналей прямоугольника – натуральные числа. Докажите, что его площадь делится на 12.

2. Внутри квадрата со стороной 10 отметили 6 различных точек, все попарные расстояния между которыми – целые числа. Докажите, что среди этих расстояний найдутся равные.

3. Решите уравнение в вещественных числах.

Районный этап Республиканской олимпиады школьников по математике 2012-2013 учебного года

11 класс

Второй тур

Каждая задача оценивается в 7 баллов

Время работы: 150 минут

1. Сколько шестизначных натуральных чисел, кратных 3, десятичная запись которых содержит только цифры ?

2. Решите в неотрицательных целых числах уравнение .

3. Длины сторон треугольника удовлетворяют соотношению . Найдите средний по величине угол треугольника.