Олимпиадные задания по математике 10-11 класс

Задания школьной олимпиады по математике для 10 класса

2016 – 2017 учебный год

1. Докажите, что при любом натуральном п делится на 3.

2. В трапеции ABCD длина основания AD равна , а длина основания BC равна. Угол A = 15°, D = 30°. Найдите длину боковой стороны AB.

3. Какое наибольшее число натуральных слагаемых можно разложить число 96 так, чтобы все слагаемые были больше 1 и попарно взаимно просты?

4. Три подруги были в белом, красном и голубом платьях. Их туфли были так же трех цветов. Только у Тамары цвета платья и туфель совпадали. Валя была в белых туфлях. Ни платье, ни туфли Лиды не были красными. Определите цвет платья и туфель каждой из подруг.

5. Решить в целых числах систему уравнений

ху + z = 94,

х + уz = 95.

Задания школьной олимпиады по математике для 11 класса

2016 – 2017 учебный год

1. По дороге едут велосипедисты: на запад – Вася и Петя с равными между собой скоростями, а на восток – Коля и Миша с равными между собой скоростями. Вася встретился с Мишей в 12.00, Петя с Мишей – в 15.00, Вася с Колей – в 14.00. Когда встретились, Петя с Колей?

2. В мешке лежат 26 синих и красных шаров. Среди любых 18 шаров есть хотя бы один синий, а среди любых 10 шаров есть хотя бы один красный. Сколько красных шаров в мешке?

3. Морская вода содержит 5 процентов соли по массе. Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составила 1,5 процентов.

4. Решите уравнение tgx ctgx ꞊ sin5x

5. В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S SA/AB = 2. Проведены высота AD треугольника SAB и медиана BM треугольника ABC. Найдите отношение MD/BD.

10 класс

Решения

1. Решение.

, т.к. первое слагаемое – это произведение трех последовательных натуральных чисел, т.е. оно кратно 3, а второе слагаемое содержит множитель 3, значит и вся сумма кратна 3.

1. Решение.

Проведем BK параллельно CD. Заметим KD || BC, KB || DC, следовательно, KBCD параллелограмм и KD = BC =. AD – секущая параллельных прямых BK и CD, следовательно AKB =ADC = 30°.

Далее найдем длину отрезка AK = AD – KD = . Боковую сторону AB теперь можно найти по теореме синусов для треугольника ABK: . При этом ABK = 180° – AKB – BKA = 180° – 30°– 15° = 135°.

И sin 135° = . Теперь можно найти AB, она получается равной 1.

Ответ: 1.

1. Ответ: на семь слагаемых.

Решение. Приведём пример разбиения числа 96 на семь слагаемых:

9 6 = 2 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 41.

Если слагаемых больше, то среди них не менее восьми нечётных (если их семь, то сумма нечётна). Заменим каждое из них на наименьший простой сомножитель. При этом сумма не увеличится, и все слагаемые будут различны. Но сумма восьми наименьших нечётных простых чисел равна 98.

1. Решение.

Ответ: у Тамары были красные туфли и платье, у Вали – белые туфли и голубое платье, у Лиды – белое платье и голубые туфли.

1. Ответ: х = 95, у = 0, z = 94 или х = 31, у = 2, z = 32.

Решение. Вычтя из второго уравнения первое, получим (х - z)(1 - у) = 1.

По условию, х, у, z целые, тогда возможны два случая:

1) х– z = 1, 1 – у = 1, т. е. у = 0. Подставив значение у в систему, получим: z =94, x=95.

2) х –z = -1, 1 – у = - 1, т. е. z = х +1, у = 2. Подставим найденные значения у и z в первое уравнение, получим 2х + х +1 = 94, х = 31. Отсюда z = 32 .

11 класс

Решение

1. Ответ. в 17.00.

Решение. Расстояние между Мишей и Колей и их скорости не меняются, а скорости Васи и Пети равны. Вася встретил Колю через 2 часа после Миши, значит, Петя встретят Колю тоже через 2 часа после Миши, т. е. в 17.00.

1. Ответ. 17.

Решение. Так как из 18 шаров найдется хотя бы один синий, то красных не более 17, а из любых 10 шаров найдется хотя бы один красный, то есть синих не более 9. Так как всех шаров 26, то синих – 9, а красных – 17.

1. Ответ. 70 кг

Решение. 5 процентов от 30 кг - = 1,5 кг соли в 30кг морской воды,

Х л добавили, стало (х+30)л. Х+30-100 процентов, 1,5 -1,5 процентов, тогда х=70

1. Ответ: , k꞊1+5t, t.

Решение. tgx ctgx ꞊ sin5x

, k, n

Найдем теперь такие k, при которых ꞊. Это уравнение перепишем в виде 5n-4k꞊1.Частное решение последнего уравнения

n0꞊1, k0꞊1,тогда k꞊1+5t, t. Итак, k, t

1. Ответ:

Решение. Обозначим длину отрезка AB за 1, тогда SA=2. Найдём прежде всего длины отрезков BD и SD. Пусть BD=x. Тогда, применяя теорему Пифагора к треугольникам ABD и ASD, получаем AD²=1–x² = 4 – (2–x)², BD=x=1/2. Далее в треугольнике BMD BM꞊и, для того чтобы воспользоваться теоремой косинусов, достаточно найти косинус угла MBD. Но из прямоугольного треугольника SBM получаем: cos SBM ꞊

DM ² ꞊꞊, DM ꞊