Матричный метод решения систем дифференциальных уравнений

Турактуу коэффициенттүү сызыктуу бир тектүү дифференциалдык теңдемелер системасын матрицалык ыкма менен чыгаруу

Бизге

(1)

кыскача формада

теңдемелер системасы берилсин, мында ( ) коэффициенттери турактуу.

Көпчүлүк учурда мындай турактуу коэффициенттүү сызыктуу бир тектүү дифференциалдык теңдемелер системасы өзүнөн жогорурак тартиптеги бир теңдемеге келтирилет жана алынган теңдеме да сызыктуу турактуу коэффициенттүү болот. Мындай системаларды чыгаруунун Эйлердин ыкмасы, Лапластын өзгөртүп түзүү ыкмасы сыяктуу бир нече эффективдүү ыкмалары бар.

1. бир тектүү системасын интегралдоонун матрицалык ыкмасына токтололу. Бул системаны төмөндөгүдөй кылып матрицалык формада жазып алалы:

(2)

мында

,

өлчөмүндөгү турактуу чыныгы коэффициенттери менен матрица.

Сызыктуу алгебранын кээ бир түшүнүктөрүнө токтоло кетели.

Эгерде барабардыгы аткарылса, анда вектору А матрицасынын өздүк вектору деп аталат. (I- бирдик вектор ) мүнөздөөчү теңдемесинин тамыры болгон, g өздүк векторуна туура келген саны А матрицасынын өздүк мааниси деп аталат.

- А матрицасынын өздүк маанилери ар түрдүү деп болжолдойлу. Бул учурда өздүк векторлору бири-биринен сызыктуу көз каранды эмес жана А матрицасын диагоналдык түргө алып келүүчү өлчөмүндөгү Т матрицасы табылат, б.а.

(3)

А матрицасынын өздүк векторлорунун координаталары Т матрицасынын мамычалары болот. Төмөндөгүдөй белгилөөлөрдү киргизебиз: көптүгүндө аныкталган, элементтери t аргументинен (t) болгон өлчөмүндөгү матрица болсун дейли. көптүгүндө бардык (t) элементтери үзгүлтүксүз болгон матрицасы көптүгүндө үзгүлтүксүз деп аталат. көптүгүндө бардык (t) элементтери дифференцирленүүчү болсо, матрицасы көптүгүндө дифференцирленүүчү болору белгилүү. матрицасынын туундусунун элементтери матрицасынын тиешелүү элементтерини туундулары болот.

Мейли өлчөмүндөгү матрица жана - вектор-мамыча берилсин. Матрицалардын алгебрасынын эрежелеринин негизинде формуласы орун алат.

Жекече учурда, эгерде В- турактуу матрица болсо, анда =0 болгондуктан

Теорема. Эгерде А матрицасынын өздүк маанилери ар түрдүү болушса, анда (1) системасынын жалпы чыгарылышы төмөндөгүдөй түрдө болот:

(4)

Мында - А матрицасынын өздүк векторлору, эрктүү турактуу сандар.

Далилдөө. (5) формуласы менен аныкталуучу жаңы белгисиз вектор-мамычаны киргизебиз. (5) формуласын (1) системасына алып барып коюп, төмөндөгү системаны алабыз:

барабардыгынын эки жагын ге көбөйтүп, экендигин эске алуу менен системасы алынат же

(6)

n көз каранды эмес, оңой интегралдануучу тендемелер cистемасын алдык:

, ,…,

мында эрктүү турактуу сандар.

n өлчөмдүү бирдик вектор-мамычаларды

, ,…,

киргизүү менен жогоруда алынган чыгарылышты төмөндөгүчө жазып алууга болот:

(7)

(5) системасын жана Т матрицасынын мамычалары, А матрицасынын өздүк векторлору болгондуктан, анда , мында А матрицасынын k- өздүк вектору. Ушул себептүү (7) чыгарылышын (5) системасына коюп, (4) формуласын алабыз:

.

Жалпылап айтканда, (1) дифференциалдык теңдемелер системасынын А матрицасынын өздүк маанилери ар түрдүү болгон учурда бул системанын жалпы чыгарылышын алуу үчүн төмөндөгү кадамдарды жасайбыз:

алгебралык теңдемесинин тамырлары катары матрицанын өздүк маанилерин табабыз;

- А матрицасынын бардык өздүк векторлорун табабыз;

формуласы боюнча (1) теңдемелер системасынын жалпы чыгарылышын ачып жазабыз.

Мисал. системасын матрицалык ыкма менен чыгаруу.

А матрицасын жазып алабыз:

1. Мүнөздөгүч теңдемесин түзөбүз:

=0 же

.

Мүнөздөгүч теңдеменин тамырлары:

1. жана өздүк векторлорун аныктайбыз.

өздүк мааниси үчүн төмөндөгүдөй система алынат:

Мындан жана экендиги келип чыгат.

Ушул сыяктуу өздүк мааниси үчүн төмөндөгүдөй система алынат:

Мындан жана экендигин алабыз.

(10) формуласын пайдаланып, дифференциалдык теңдемелер системасынын жалпы чыгарылышын жазып алабыз:

же

x(t)=

y(t)=

Мүнөздөгүч теңдеменин тамырлары чыныгы жана комплекстүү сандар болушу мүмкүн. Жогорудагы чыгарган мисалыбызда тамырлары ар түрдүү чыныгы болгон учурун көрдүк.

(1) системасынын коэффициенттерин чыныгы деп болжолдогонубуздан, анын мүнөздөгүч теңдемеси чыныгы коэффициенттерге гана ээ болот. Ушул себептүү комплекстүү тамырлары менен катар мүнөздөгүч теңдеме менен комплекстүү түйүндөш тамырына ээ болот.

комплекстүү болгон учурда (1) системасынын чыгарылышы да комплекстүү болот. Чыныгы бөлүгү жана жалган бөлүгү (1) системасынын чыгарылыштары болушат. өздүк мааниси үчүн эки чыгарылыштын түгөйү туура келе тургандай өздүк мааниси үчүн жана ошол эле чыныгы чыгарылыштардын түгөйү туура келет. Демек, жана комплекстүү түйүндөш түгөй өздүк маанилери үчүн (1) системасынын чыныгы чыгарылыштарынын түгөйү туура келет.

Мейли чыныгы өздүк маанилер, комплекстүү өздүк маанилер болсун. Анда (1) системасынын каалагандай чыныгы чыгарылышы төмөнкү түрдө болот:
+

мында эрктүү турактуулар.

Мисал. системасын матрицалык ыкма менен чыгаруу.

1. Мүнөздөгүч теңдемесин түзөбүз:

=0 же

.

Мүнөздөгүч теңдеменин тамырлары:

1. жана өздүк векторлорун аныктайбыз.

(10) формуласын пайдаланып, дифференциалдык теңдемелер системасынын жалпы чыгарылышын жазып алабыз:

,

Мында , - эрктүү комплекстүү турактуулар

Системанын чыныгы чыгарылыштарын табабыз.

Колдонуу менен төмөндөгүнү алабыз:

+i

Мындан, системанын каалагандай чыныгы чыгарылышы төмөндөгүдөй түрдө болот:

x(t)=

y(t)=

, - эрктүү чыныгы сандар.

Турактуу коэффициенттүү бир тектүү эмес системалар үчүн матрицалардын сызыктуу касиеттеринин жана тиешелүү бир тектүү системанын жалпы чыгарылышы жана бир тектүү эмес системанын жекече чыгарылышы аныктамаларынын негизинде далилденүүчү теорема орун алат.

Төмөнкү мисалда экинчи тартиптеги сызыктуу бир тектүү эмес дифференциалдык системанын жалпы чыгарылышын тургузууда, ага туура келүүчү бир тектүү системанын жалпы чыгарылышын матрицалык ыкма менен аныктап, бир тектүү эмес системанын бир жекече чыгарылышын Лагранждын ыкмасы менен жүргүзөлү.

Мисал.  Төмөнкү Коши маселесин чыгаруу

,

Бир тектүү эмес системага туура келүүчү бир тектүү системанын мүнөздөгүч теңдемеси:

=0

же

.

Мүнөздөгүч теңдеменин тамырлары:

1. жана өздүк векторлорун аныктайбыз.

өздүк мааниси үчүн төмөндөгүдөй система алынат:

Мындан жана экендиги келип чыгат.

Ушул сыяктуу өздүк мааниси үчүн төмөндөгүдөй система алынат:

Мындан экендигин алабыз.

(10) формуласын пайдаланып, бир тектүү дифференциалдык теңдемелер чыгарылыштарынын фундаменталдык системасын

жана жалпы чыгарылышын жазып алабыз:

=

=

 Жалпы чыгарылыштагы , турактууларын , белгисиз функциялар менен алмаштырабыз. Сызыктуу бир тектүү эмес системасынын бир жекече чыгарылышын аныкталбаган коэффициенттер ыкмасына ылайык төмөндөгүдөй турдө издейбиз:

Алгач экинчи тартиптеги сызыктуу бир тектүү эмес системасынын үчүн

белгисиз функциялардын туундуларына карата теңдемеси чыгарылат.

Берилген система үчүн көрсөтүлгөн система төмөндөгүдөй болот:

Бул системанын аныктагычы нөлөн айырмалуу болгон вронскианы системанын белгисиздерин Крамердин формулалары менен табууга мүмкүнчүлүк берет.

,  .

Алынган дифференциалдык теңдемелерди интегралдап тендеменин оң бөлүктөрүнүн , баштапкы функцияларын бөлүп алуу изделүүчү функцияларды табабыз:

Мындан, сызыктуу бир тектүү эмес дифференциалдык теңдемелер системасынын жекече чыгарылышы

Жыйынтыгында, сызыктуу бир тектүү эмес дифференциалдык теңдемелер системасынын жалпы чыгарылышы төмөнкүчө жазылат:

Баштапкы шарттарды пайдаланып, , турактууларын аныктоо үчүн системаны алабыз:

Мындан,

Коши маселесинин чыгарылышы төмөндөгү жекече чыгарылыш болот:

2.2 Турактуу коэффициенттүү сызыктуу бир тектүү дифференциалдык теңдемелер системасын матрицалык ыкма менен чыгаруу

Бизге

(1)

кыскача формада

теңдемелер системасы берилсин, мында ( ) коэффициенттери турактуу.

Көпчүлүк учурда мындай турактуу коэффициенттүү сызыктуу бир тектүү дифференциалдык теңдемелер системасы өзүнөн жогорурак тартиптеги бир теңдемеге келтирилет жана алынган теңдеме да сызыктуу турактуу коэффициенттүү болот. Мындай системаларды чыгаруунун Эйлердин ыкмасы, Лапластын өзгөртүп түзүү ыкмасы сыяктуу бир нече эффективдүү ыкмалары бар.

1. бир тектүү системасын интегралдоонун матрицалык ыкмасына токтололу. Бул системаны төмөндөгүдөй кылып матрицалык формада жазып алалы:

(2)

мында

,

өлчөмүндөгү турактуу чыныгы коэффициенттери менен матрица.

Сызыктуу алгебранын кээ бир түшүнүктөрүнө токтоло кетели.

Эгерде барабардыгы аткарылса, анда вектору А матрицасынын өздүк вектору деп аталат. (I- бирдик вектор ) мүнөздөөчү теңдемесинин тамыры болгон, g өздүк векторуна туура келген саны А матрицасынын өздүк мааниси деп аталат.

- А матрицасынын өздүк маанилери ар түрдүү деп болжолдойлу. Бул учурда өздүк векторлору бири-биринен сызыктуу көз каранды эмес жана А матрицасын диагоналдык түргө алып келүүчү өлчөмүндөгү Т матрицасы табылат, б.а.

(3)

А матрицасынын өздүк векторлорунун координаталары Т матрицасынын мамычалары болот. Төмөндөгүдөй белгилөөлөрдү киргизебиз: көптүгүндө аныкталган, элементтери t аргументинен (t) болгон өлчөмүндөгү матрица болсун дейли. көптүгүндө бардык (t) элементтери үзгүлтүксүз болгон матрицасы көптүгүндө үзгүлтүксүз деп аталат. көптүгүндө бардык (t) элементтери дифференцирленүүчү болсо, матрицасы көптүгүндө дифференцирленүүчү болору белгилүү. матрицасынын туундусунун элементтери матрицасынын тиешелүү элементтерини туундулары болот.

Мейли өлчөмүндөгү матрица жана - вектор-мамыча берилсин. Матрицалардын алгебрасынын эрежелеринин негизинде формуласы орун алат.

Жекече учурда, эгерде В- турактуу матрица болсо, анда =0 болгондуктан

Теорема. Эгерде А матрицасынын өздүк маанилери ар түрдүү болушса, анда (1) системасынын жалпы чыгарылышы төмөндөгүдөй түрдө болот:

(4)

Мында - А матрицасынын өздүк векторлору, эрктүү турактуу сандар.

Далилдөө. (5) формуласы менен аныкталуучу жаңы белгисиз вектор-мамычаны киргизебиз. (5) формуласын (1) системасына алып барып коюп, төмөндөгү системаны алабыз:

барабардыгынын эки жагын ге көбөйтүп, экендигин эске алуу менен системасы алынат же

(6)

n көз каранды эмес, оңой интегралдануучу тендемелер cистемасын алдык:

, ,…,

мында эрктүү турактуу сандар.

n өлчөмдүү бирдик вектор-мамычаларды

, ,…,

киргизүү менен жогоруда алынган чыгарылышты төмөндөгүчө жазып алууга болот:

(7)

(5) системасын жана Т матрицасынын мамычалары, А матрицасынын өздүк векторлору болгондуктан, анда , мында А матрицасынын k- өздүк вектору. Ушул себептүү (7) чыгарылышын (5) системасына коюп, (4) формуласын алабыз:

.

Жалпылап айтканда, (1) дифференциалдык теңдемелер системасынын А матрицасынын өздүк маанилери ар түрдүү болгон учурда бул системанын жалпы чыгарылышын алуу үчүн төмөндөгү кадамдарды жасайбыз:

алгебралык теңдемесинин тамырлары катары матрицанын өздүк маанилерин табабыз;

- А матрицасынын бардык өздүк векторлорун табабыз;

формуласы боюнча (1) теңдемелер системасынын жалпы чыгарылышын ачып жазабыз.

Мисал. системасын матрицалык ыкма менен чыгаруу.

А матрицасын жазып алабыз:

1. Мүнөздөгүч теңдемесин түзөбүз:

=0 же

.

Мүнөздөгүч теңдеменин тамырлары:

1. жана өздүк векторлорун аныктайбыз.

өздүк мааниси үчүн төмөндөгүдөй система алынат:

Мындан жана экендиги келип чыгат.

Ушул сыяктуу өздүк мааниси үчүн төмөндөгүдөй система алынат:

Мындан жана экендигин алабыз.

(10) формуласын пайдаланып, дифференциалдык теңдемелер системасынын жалпы чыгарылышын жазып алабыз:

же

x(t)=

y(t)=

Мүнөздөгүч теңдеменин тамырлары чыныгы жана комплекстүү сандар болушу мүмкүн. Жогорудагы чыгарган мисалыбызда тамырлары ар түрдүү чыныгы болгон учурун көрдүк.

(1) системасынын коэффициенттерин чыныгы деп болжолдогонубуздан, анын мүнөздөгүч теңдемеси чыныгы коэффициенттерге гана ээ болот. Ушул себептүү комплекстүү тамырлары менен катар мүнөздөгүч теңдеме менен комплекстүү түйүндөш тамырына ээ болот.

комплекстүү болгон учурда (1) системасынын чыгарылышы да комплекстүү болот. Чыныгы бөлүгү жана жалган бөлүгү (1) системасынын чыгарылыштары болушат. өздүк мааниси үчүн эки чыгарылыштын түгөйү туура келе тургандай өздүк мааниси үчүн жана ошол эле чыныгы чыгарылыштардын түгөйү туура келет. Демек, жана комплекстүү түйүндөш түгөй өздүк маанилери үчүн (1) системасынын чыныгы чыгарылыштарынын түгөйү туура келет.

Мейли чыныгы өздүк маанилер, комплекстүү өздүк маанилер болсун. Анда (1) системасынын каалагандай чыныгы чыгарылышы төмөнкү түрдө болот:
+

мында эрктүү турактуулар.

Мисал. системасын матрицалык ыкма менен чыгаруу.

1. Мүнөздөгүч теңдемесин түзөбүз:

=0 же

.

Мүнөздөгүч теңдеменин тамырлары:

1. жана өздүк векторлорун аныктайбыз.

(10) формуласын пайдаланып, дифференциалдык теңдемелер системасынын жалпы чыгарылышын жазып алабыз:

,

Мында , - эрктүү комплекстүү турактуулар

Системанын чыныгы чыгарылыштарын табабыз.

Колдонуу менен төмөндөгүнү алабыз:

+i

Мындан, системанын каалагандай чыныгы чыгарылышы төмөндөгүдөй түрдө болот:

x(t)=

y(t)=

, - эрктүү чыныгы сандар.

Турактуу коэффициенттүү бир тектүү эмес системалар үчүн матрицалардын сызыктуу касиеттеринин жана тиешелүү бир тектүү системанын жалпы чыгарылышы жана бир тектүү эмес системанын жекече чыгарылышы аныктамаларынын негизинде далилденүүчү теорема орун алат.

Төмөнкү мисалда экинчи тартиптеги сызыктуу бир тектүү эмес дифференциалдык системанын жалпы чыгарылышын тургузууда, ага туура келүүчү бир тектүү системанын жалпы чыгарылышын матрицалык ыкма менен аныктап, бир тектүү эмес системанын бир жекече чыгарылышын Лагранждын ыкмасы менен жүргүзөлү.

Мисал.  Төмөнкү Коши маселесин чыгаруу

,

Бир тектүү эмес системага туура келүүчү бир тектүү системанын мүнөздөгүч теңдемеси:

=0

же

.

Мүнөздөгүч теңдеменин тамырлары:

1. жана өздүк векторлорун аныктайбыз.

өздүк мааниси үчүн төмөндөгүдөй система алынат:

Мындан жана экендиги келип чыгат.

Ушул сыяктуу өздүк мааниси үчүн төмөндөгүдөй система алынат:

Мындан экендигин алабыз.

(10) формуласын пайдаланып, бир тектүү дифференциалдык теңдемелер чыгарылыштарынын фундаменталдык системасын

жана жалпы чыгарылышын жазып алабыз:

=

=

 Жалпы чыгарылыштагы , турактууларын , белгисиз функциялар менен алмаштырабыз. Сызыктуу бир тектүү эмес системасынын бир жекече чыгарылышын аныкталбаган коэффициенттер ыкмасына ылайык төмөндөгүдөй турдө издейбиз:

Алгач экинчи тартиптеги сызыктуу бир тектүү эмес системасынын үчүн

белгисиз функциялардын туундуларына карата теңдемеси чыгарылат.

Берилген система үчүн көрсөтүлгөн система төмөндөгүдөй болот:

Бул системанын аныктагычы нөлөн айырмалуу болгон вронскианы системанын белгисиздерин Крамердин формулалары менен табууга мүмкүнчүлүк берет.

,  .

Алынган дифференциалдык теңдемелерди интегралдап тендеменин оң бөлүктөрүнүн , баштапкы функцияларын бөлүп алуу изделүүчү функцияларды табабыз:

Мындан, сызыктуу бир тектүү эмес дифференциалдык теңдемелер системасынын жекече чыгарылышы

Жыйынтыгында, сызыктуу бир тектүү эмес дифференциалдык теңдемелер системасынын жалпы чыгарылышы төмөнкүчө жазылат:

Баштапкы шарттарды пайдаланып, , турактууларын аныктоо үчүн системаны алабыз:

Мындан,

Коши маселесинин чыгарылышы төмөндөгү жекече чыгарылыш болот: