Презентация на тему : "Системы счисления"

Презентация на тему: « Системы Счисления »

Содержание

• Определение что такое цифра, число, система счисления.
• Непозиционные системы счисления.
• Позиционные системы счисления.

Определение что такое цифра, число, система счисления.

Цифры — система   знаков  для записи конкретных значений  чисел . Цифрами называют только такие знаки, которые сами в отдельности описывают определённые числа (так например, знаки « − », « , » хоть и используются для записи чисел, но цифрами не являются). Слово «цифра» без уточнения обычно означает один из следующих десяти знаков:  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9  

Число́  — основное понятие  математики [1] , используемое для   количественной  характеристики, сравнения,  нумерации   объектов  и их частей. Письменными знаками для обозначения чисел служат  цифры , а также  символы  математических  операций . Возникнув ещё в  первобытном обществе  из потребностей  счёта , понятие числа с развитием науки значительно расширилось.

• Систе́ма счисле́ния  ( англ.   numeral system  или  system of numeration ) —  символический  метод записи  чисел , представление чисел с помощью  письменных знаков .
• Система счисления:
• даёт представления множества чисел ( целых  и/или  вещественных );
• даёт каждому числу уникальное представление (или, по крайней мере, стандартное представление);
• отражает  алгебраическую  и  арифметическую  структуру чисел.

Непозиционные системы счисления.

• В непозиционных системах счисления величина, которую обозначает цифра, не зависит от положения в числе. При этом система может накладывать ограничения на положение цифр, например, чтобы они были расположены в порядке убывания.

Единичная система счисления

• Уна́рная систе́ма счисле́ния (единичная  система счисления )  — не-позиционная (не-поместная), положительная  суммарная  целочисленная  система счисления  с основанием равным  1 .
• Может рассматриваться и как вырожденная позиционная (поместная) положительная целочисленная  системасчисления  с основанием равным  1 .
• В качестве единственной  «цифры»  используется зарубка или чёрточка (|).
• Особенностью такой системы является то, что если приписать к числу одну «цифру» (единицу), то числоувеличивается лишь на эту единицу. (Для сравнения: если в обычной  десятичной системе счисления  к натуральному числу приписать справа 1, число увеличивается сразу в 10 раз — и плюс 1).
• Поэтому такая система записи чисел обычно применяется там, где идёт последовательное увеличениеподсчитываемой величины, например: при счёте числа дней, количества одинаковых событий и т. п.
• Вероятно, подобная система является древнейшей системой счисления в истории человечества, для примераможно привести  Московский математический папирус , датируемый приблизительно 1850 до н. э.

Древнеегипетская система счисления

• Египетская система счисления  —  непозиционная система счисления , которая употреблялась в  Древнем Египте  вплоть до начала  X века  н.э. В этой системе  цифрами являлись  иероглифические  символы; они обозначали числа 1, 10, 100 и т. д. до миллиона.

Славянская система счисления

• Кирилли́ческая систе́ма счисле́ния ,  цифи́рь  —  система счисления   Древней Руси , основанная на  алфавитной записи чисел  с использованием  кириллицы  или  глаголицы .
• В основных чертах схожа с  греческой системой счисления .
• Использовалась в России до начала XVIII века, когда была заменена на систему счисления, основанную на  арабских цифрах .
• В настоящее время используется в книгах на  церковнославянском языке .
• Большинство букв древнерусского алфавита имели числовое соответствие. Так, буква « Аз » означала « один », « Веди » — « два »… Некоторые буквы числовых соответствий не имели. Числа писались и произносились слева направо, за исключением чисел от 11 до 19 

Индийская система счисления

• Научные достижения  индийской математики  широки и многообразны. Уже в древние времена учёные Индии на своём, во многом оригинальном пути развития достигли высокого уровня математических знаний. В I тысячелетии н. э. индийские учёные подняли  античную математику  на новую, более высокую ступень. Они изобрели привычную нам  десятичную позиционную систему  записи чисел, предложили символы для 10 цифр (которые, с некоторыми изменениями, используются повсеместно в наши дни), заложили основы десятичной арифметики,  комбинаторики , разнообразных численных методов, в том числе тригонометрических расчётов.

Греческая система счисления

• Греческая система счисления , также известная как  ионийская  или  новогреческая  — непозиционная система счисления, в которой, в качестве символов для счёта, употребляют греческие буквы, а также дополнительные символы, такие как ς ( стигма ), Ϙ ( копа ) и Ϡ ( сампи ).
• Эта система пришла на смену аттической( чердаке ), или старогреческой, системе, которая господствовала в Греции в III веке до н.э..
• Необходимость сохранять порядок букв ради сохранения их числовых значений привела к относительно ранней (4 век до н.э.) стабилизации греческого алфавита.
• Пример
• Данные символы позволяют записать числа лишь от  1  до  999 , например:
• 45 — με
• 632 — χλβ
• 970 — Ϡο
• Греческая система нумерации была основана на их алфавите.Греческий алфавит пришел от Финикийцев около 900 до н.э., когда финикийцы изобрели алфавит, в нем содержалось около 600 символов. Эти символы занимали слишком много места, поэтому алфавит в конечном счете сократился до 22 символов.
• Греки позаимствовали некоторые символы из этого алфавита, и добавили свои, новые символы. Греки были первыми людьми, имеющие отдельные символы или буквы, для представления гласных звуков. Наше собственное слово «алфавит» происходит от первых двух букв, или цифр из греческого алфавита - ". Бета" "альфа" и Использование буквы их алфавита позволило им использовать эти символы в более сжатую версию своей старой системы, называемой чердаке. Система чердаке была похожа на другие формы системы нумерации той эпохи. Она была основана на символах выстроенных в ряд и заняла много места, при письме. Это было бы не так плохо, за исключением того, что Греки в то время по-прежнему писали а каменных табличках, и символы алфавита позволяли им высекать значения на монетах в меньшем, более сокращенном варианте.

Римская система счисления

• Римская система счисления  - непозиционная система счисления, в которой для записи чисел используются буквы латинского алфавита:
• 1 - I, 5 - V, 10 - X, 50 - L, 100 - C, 500 - D и 1000 - M.
• Для правильной записи больших чисел римскими цифрами необходимо  сначала записать число тысяч, затем сотен, затем десятков и, наконец, единиц . Натуральные числа записываются при помощи повторения этих цифр. При этом,  если большая цифра стоит перед меньшей, то они добавляются  ( принцип сложения ), если же  меньшая – перед большей, то меньшая вычитается из большей  ( принцип вычитания ). Последнее правило применяется только во избежание четырехкратного повторения одной цифры. Например, I, Х, С ставятся соответственно перед Х, С, М для обозначения 9, 90, 900 или перед V, L, D для обозначения 4, 40, 400. Например, VI = 5 + 1 = 6, IV = 5 - 1 = 4 (вместо IIII); XIX = 10 + 10 – 1 = 19 (вместо XVIIII), XL = 50 - 10 = 40 (вместо XXXX).
• В настоящее время римская система счисления не применяется, за некоторыми исключениями:
• Обозначения веков (XV век и т.д.), годов н. э. (MCMLXXVII т. д.) и месяцев при указании дат (например, 1. V.1975).
• Обозначение порядковых числительных.
• Обозначение производных небольших порядков, больших трёх: y IV , y V  и т.д.
• Обозначение валентности химических элементов.

Позиционные системы счисления.

• В позиционных системах счисления один и тот же  числовой   знак  ( цифра ) в записи числа имеет различные значения в зависимости от того места ( разряда ), где он расположен. Изобретение позиционной нумерации, основанной на поместном значении цифр, приписывается  шумерам  и  вавилонянам ; развита была такая нумерация индусами и имела неоценимые последствия в истории человеческой цивилизации. К числу таких систем относится современная  десятичная система счисления , возникновение которой связано со счётом на пальцах. В средневековой Европе она появилась через итальянских купцов, в свою очередь заимствовавших её у арабов.

Двоичная система счисления

• В двоичной системе счисления используются всего две цифры 0 и 1. Другими словами, двойка является основанием двоичной системы счисления. (Аналогично у десятичной системы основание 10.)
• Чтобы научиться понимать числа в двоичной системе счисления, сначала рассмотрим, как формируются числа в привычной для нас десятичной системе счисления.
• В десятичной системе счисления мы располагаем десятью знаками-цифрами (от 0 до 9). Когда счет достигает 9, то вводится новый разряд (десятки), а единицы обнуляются и счет начинается снова. После 19 разряд десятков увеличивается на 1, а единицы снова обнуляются. И так далее. Когда десятки доходят до 9, то потом появляется третий разряд – сотни.
• Двоичная система счисления аналогична десятичной за исключением того, что в формировании числа участвуют всего лишь две знака-цифры: 0 и 1. Как только разряд достигает своего предела (т.е. единицы), появляется новый разряд, а старый обнуляется.
• Попробуем считать в двоичной системе: 0 – это ноль 1 – это один (и это предел разряда) 10 – это два 11 – это три (и это снова предел) 100 – это четыре 101 – пять 110 – шесть 111 – семь и т.д.

Восьмеричная система счисления

• Восьмери́чная систе́ма счисле́ния  —  позиционная  целочисленная  система счисления  с основанием  8 . Для представления чисел в ней используются цифры от  0  до  7 .
• Восьмеричная система чаще всего используется в областях, связанных с цифровыми устройствами. Характеризуется лёгким переводом восьмеричных чисел в  двоичные  и обратно, путём замены восьмеричных чисел на триплеты двоичных. Широко использовалась в программировании и компьютерной документации, однако позднее была почти полностью вытеснена  шестнадцатеричной .
• Восьмеричная система применяется при выставлении прав доступа к файлам и прав исполнения для участников в  Linux -системах [1] [2] .

Десятичная система счисления

• ДЕСЯТИЧНАЯ  СИСТЕМА  СЧИСЛЕНИЯ, способ записи чисел, при котором один и тот же знак (цифра) издесяти: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 имеет различные значения в зависимости от того места, где он расположен. Десять единиц 1-го разряда (места, занимаемого в числе) образуют единицу следующего разряда -  число  10, десять единиц 2-го разряда образуют единицу 3-го разряда -  число  100 и т.д. Например, 362=3Ч100+6Ч10+2. Для обозначения больших чисел употребляется (с 14 в.) слово "миллион" (1000000) и его степени (с 15 в.):биллион (миллиард) 106?2 триллион 106?3 квадриллион 106?4 квинтиллион 106?5 секстиллион 106?6септиллион 106?7 окталлион 106?8 нонниллион 106?9 С 17 в. во Франции и некоторых других странахбиллионом стали называть  число  109, триллионом 1012, квадриллионом 1015 и т.д. Однако вВеликобритании, Германии и некоторых других странах прежнее  значение  слов сохранилось.

Шестнадцатеричная система счисления

• Шестнадцатеричная система счисления, так же как и восьмеричная, широко используется в компьютерной науке из-за легкости перевода в нее двоичных чисел. При шестнадцатеричной записи числа получаются более компактными.
• В шестнадцатеричной системе счисления используются цифры от 0 до 9 и шесть первых латинских букв – A (10), B (11), C (12), D (13), E (14), F (15).
• При переводе двоичного числа в шестнадцатеричное, первое разбивается на группы по четыре разряда, начиная с конца. В случае, если количество разрядов не делится нацело, то первая четверка дописывается нулями впереди. Каждой четверке соответствует цифра шестнадцатеричной системе счисления