Механическая и кинетическая энергия

Энергия -

• - скалярная физическая величина,

характеризующая способность тела совершать работу.

Так как в механике изучается движение тел и их взаимодействие, то

МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ

ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ

КИНЕТИЧЕСКАЯ

энергия движения

энергия взаимодействия

СУЩЕСТВУЕТ ДВА ВИДА МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ: КИНЕТИЧЕСКАЯ И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ, КОТОРЫЕ МОГУТ ПРЕВРАЩАТЬСЯ ДРУГ В ДРУГА.

Потенциальная энергия – это энергия которой обладают предметы в состоянии покоя.

Кинетическая энергия – это энергия тела приобретенная при движении.

Кинетическая энергия

• - энергия, которой обладает тело вследствие своего движения (характеризует движущееся тело).

• В выбранной системе отсчета: - если тело не двигается - если тело двигается, то

Кинетическая энергия

Определим кинетическую энергию тела, движущегося со скоростью υ

Так как энергия – это работа, которую совершает тело при переходе из данного состояния в нулевое.

Следовательно,

это работа, которую нужно совершить, чтобы перевести тело из нулевого состояния ( υ 0 =0 ) в данное ( υ ≠ 0 ).

υ 0 =0

υ

Определим эту работу :

Чтобы тело изменило скорость к нему необходимо приложить силу F ,

при этом оно начнет двигаться равноускоренно,

приобретет скорость υ .

и пройдя путь S ,

При этом сила F совершит работу:

υ 0 =0

υ

F

S

Преобразуем это выражение :

Согласно II закону Ньютона:

Путь при равноускоренном движении :

Так как ускорение при равноускоренном движении

, подставим вместо ускорения его значение

υ 0 =0

υ

F

S

Преобразуем это выражение :

Согласно II закону Ньютона:

Путь при равноускоренном движении :

Так как ускорение при равноускоренном движении

, подставим вместо ускорения его значение

υ 0 =0

υ

F

S

Энергия - это работа, которую нужно совершить, чтобы перевести тело из нулевого состояния ( υ 0 =0 ) в данное ( υ ≠ 0 ).

Кинетическая энергия движущегося тела равна половине произведения массы тела на квадрат его скорости.

υ

υ 0 =0

F

S

Потенциальная энергия поднятого над Землей тела

- энергия взаимодействия тела с Землей. Потенциальная энергия является относительной величиной, т. к. зависит от выбора нулевого уровня (где).

Потенциальная энергия

Определим потенциальную энергию взаимодействия тела с Землей на высоте h .

Выберем уровень Земли за нулевой h 0 .

Нулевой уровень энергии – уровень, на котором энергия считается равной нулю.

h

h 0

Энергия - это работа которую, нужно совершить, чтобы перевести тело из нулевого состояния ( h 0 =0 ) в данное ( h ).

Для равномерного подъема тела на высоту h к нему необходимо приложить силу F ,

равную силе тяжести F Т

h

F

Под действием силы F тело начнет двигаться вверх, и пройдет путь h .

h 0

F Т

Энергия - это работа, которую нужно совершить, чтобы перевести тело из нулевого состояния ( h 0 =0 ) в данное ( h ).

Для равномерного подъема тела на высоту h к нему необходимо приложить силу F ,

равную силе тяжести F Т

h

F

Под действием силы F тело начнет двигаться вверх, и пройдет путь h .

F Т

Энергия - это работа, которую нужно совершить, чтобы перевести тело из нулевого состояния ( h 0 =0 ) в данное ( h ).

Определим работу силы F :

F

Так как

, а путь

F Т

h

Тогда работа

Отсюда потенциальная энергия:

Энергия - это работа, которую нужно совершить, чтобы перевести тело из нулевого состояния ( h 0 =0 ) в данное ( h ).

Потенциальная энергия взаимодействия тела с Землей равна произведению массы тела, ускорения свободного падения и высоты, на которой оно находится.

F

F Т

h

Итак :

МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ

ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ

КИНЕТИЧЕСКАЯ

энергия движения

энергия взаимодействия

Превращение потенциальной энергии в кинетическую.

ПОДБРАСЫВАЯ ВВЕРХ МЯЧ, МЫ СООБЩАЕМ ЕМУ ЭНЕРГИЮ ДВИЖЕНИЯ – КИНЕТИЧЕСКУЮ ЭНЕРГИЮ.

ПОДНЯВШИСЬ, МЯЧ ОСТАНАВЛИВАЕТСЯ, А ЗАТЕМ НАЧИНАЕТ ПАДАТЬ. В МОМЕНТ ОСТАНОВКИ (В ВЕРХНЕЙ ТОЧКЕ) ВСЯ КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ПОЛНОСТЬЮ ПРЕВРАЩАЕТСЯ В ПОТЕНЦИАЛЬНУЮ.

ПРИ ДВИЖЕНИИ ТЕЛА ВНИЗ ПРОИСХОДИТ ОБРАТНЫЙ ПРОЦЕСС.

Итак, при возрастании кинетической энергии тела потенциальная энергия взаимодействия уменьшается.

υ

υ

υ

=0

=0

h

h

υ

υ

И наоборот, при уменьшении кинетической энергии тела потенциальная энергия взаимодействия увеличивается.

υ

υ

υ

=0

=0

h

h

υ

υ

Потенциальное поле сил.

потенциальные - силы зависят только от положения тела в пространстве

консервативными

зависит неконсервативными

Консервативными системами

Диссипативными

Потенциальное поле

Приращение полной энергии системы тел, между которыми действуют только консервативные силы, равно работе внешних сил, приложенных к телам системы.

Если система замкнута, то А=0, тогда Δ Е полн =0, Е полн = const

Полная механическая энергия замкнутой системы тел, между которыми действуют только консервативные силы, остается постоянной

Неконсерватевные силы рассматриваются как внешние (трение)

Общий закон

0 Е р F ·Δ s = mV 2 2 /2- mV 1 2 /2, причем F ·Δ s = А Е кин 0 (V 2 0 m0) Е кин = mV 2 /2 + const Е полн = mV 2 /2 +mgh = Е кин + Е р V =0 Е кин = 0 const = 0 " width="640"

Энергия.

кинетическая энергия

потенциальная энергия

Δs= V ср ·Δt= [( V 1 + V 2 )/2]·Δt

Δt=2Δs/( V 1 + V 2 ).

А=ΔЕр = m·g (h 1 –h 2 )

F·Δt = mV 2 – mV 1 = m ( V 2 -V 1 )

Е р = m·g h + const

F·2 Δ s = m(V 2 -V 1 )·(V 2 +V 1 )=m(V 2 2 -V 1 2 )

Е р 0 Е р

F ·Δ s = mV 2 2 /2- mV 1 2 /2, причем F ·Δ s = А

Е кин 0

(V 2 0 m0)

Е кин = mV 2 /2 + const

Е полн = mV 2 /2 +mgh = Е кин + Е р

V =0 Е кин = 0 const = 0

Связь между потенциальной энергией и силой

Каждой точке потенциального поля соответствует с одной стороны некоторое значение вектора силы F , действующей на тело, с другой стороны – некоторое значение Ер . Найдем, есть ли связь между этими величинами.

F

Ер

Fs

Ер+ Δ Ер

Δ S

Условия равновесия механической системы

В замкнутой системе полная энергия остается постоянной, поэтому кинетическая энергия Ек может возрастать только за счет уменьшения потенциальной энергии Ер . Если система находится в таком состоянии, что скорость всех тел равна нулю, а Ер имеет минимальное значение, то без воздействия извне тела системы не могут придти в движение, т.е. система будет находиться в равновесии

Т.о. для замкнутой системы равновесной может быть только такая конфигурация тел, которая соответствует минимуму потенциальной энергии.

иначе Ек будет меньше нуля, что невозможно

Е=Ек+Ер

Ек

Ер

х 0 – точка устойчивого равновесия . Здесь потенциальная энергия частицы минимальна.

0  

Точка х 0 '  соответствует положению  неустойчивого равновесия ,  так как при смещении частицы из положения  х 0 '  появляется сила, стремящаяся удалить ее от этого положения.

Деформация.

деформация сдвига

деформация растяжения

деформация всестороннего сжатия.

Деформацией – называют смещение частиц тела относительно друг друга, а также изменение среднего расстояния между частицами тела.

Диаграмма растяжения твердого тела.

область упругих деформаций

Е стали

Е рез

область пластических деформаций

Е - модуль Юнга - величина механического напряжения σ, при которой ε =1 или Δ l = l , т.е. тело удлиняется в два раза.

= 0

Момент силы

Моментом силы N относительно точки О называется векторное произведение ради ус- вектора направленного из точки О в точку приложения силы :

Величина вектора определяется, как и для любого векторного произведения, выражением :

где  –  угол между векторами и

Направление момента силы

Направление вектора N определяется также в соответствии с определением векторного произведения, то есть по правилу правого буравчика :

расположив рукоятку буравчика (штопора) вдоль направления первого вектора в произведении (в данном случае вдоль r ) вращаем ее по кратчайшему направлению до совмещения с направлением второго вектора ( F ) . Куда при этом будет поступательно двигаться правый буравчик (штопор) , туда и направляем вектор .

Момент силы относительно оси

Пусть, векторы r и F лежат в плоскости доски . Тогда вектор N  к поверхности доски и направлен за не е , то есть входит в доску , что изображено знаком  . Длина l перпендикуляра из точки на прямую вдоль действия силы называется плечом силы относительно точки

Проекция вектора N на некоторую ось z, проходящую через точку О, относительно которой определен N , называется моментом силы относительно этой оси:

Момент импульса

Для МТ, моментом импульса относительно точки О называется вектор

L=[r K] = [r,mV]

Моментом импульса МТ относительно оси называется проекция вектора L на эту ось:

L Z =[r K] Z

L системы материальных точек относительно какой-либо точки (или оси) называется сумма моментов импульсов относительно этой точки (или оси) всех материальных точек системы :

Закон изменения и сохранения момент а импульса

• Производная по времени момента импульса системы (относительно какой-либо точки или оси) равна сумме моментов (относительно той же точки или оси) всех внешних сил, действующих на точки системы .

Это и есть закон изменения момента импульса или уравнение моментов. В каждый N i внеш входит произведение трех величин r i , F i внеш и sin  I . Если одна из них =0 то данный член вклада не дает. Один из возможных вариантов, е сли все F i внеш =0 т.е. система замкнута , то d L/ dt = 0 и L = const

• З акон сохранения момента импульса : если сумма м омент ов внешних сил равна нулю, то момент импульс а системы не изменяется с течением времени (верно как относительно точки, так и оси) .

Применимость закона сохранения момент а импульса

Закон сохранения момента импульса мож ет работать и для незамкнутых систем в следующих случаях:

1) Если сумма моментов внешних сил равна нулю.

2) Если все внешние силы направлены вдоль одной оси, то их моменты относительно любой оси, имеющей то же направление, равны нулю. Поэтому сохраняется момент импульса системы относительно таких осей (ось z на рис.)

3) Если все внешние силы являются центральными с общим центром, то моменты этих сил относительно центра О равны нулю (  =0 и sin  =0 ) . Поэтому сохраняется момент импульса системы относительно этого центра О.

О

Применимость закона сохранения момент а импульса

4) Если все внешние силы направлены по прямым, проходящим через некоторую ось Y, то момент импульса системы относительно этой оси будет постоянным (  = 18 0 и sin  =0) .

Y

Y

Закон сохранения момента импульса обусловлен изотроп ностью пространства, что означает одинаковость свойств пространства по всем направлениям.

Абсолютно твердое тело

Под твердым телом будем подразумевать абсолютно твердое тело , в котором расстояния между любыми двумя точками неизменны. Твердое тело можно представить как совокупность большого количества очень малых масс , которые можно считать МТ . Теорема о движении центра масс твердого тела:

центр масс твердого тела движется так, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе тела, и к которой приложены все внешние силы, действующие на тело .

Т.е. раньше мы говорили о МТ и о систем МТ и ее центре масс теперь еще и об абсолютно твердом теле.

Момент инерции МТ относительно оси вращения

L’

Величина угловой скорости

O’

Изменение угловой скорости со временем определяется вектором углового ускорения

L

При вращении по окружности момент импульса МТ L относительно точки О : и направления векторов L и  не совпадают если точка О не в центре окружности. Если движение идет по окружности и точка О ’ в центре окружности то направления векторов L ’ и  совпадают.

Скалярная величина называется моментом инерции материальной точки относительно оси вращения .

Момент инерции твердого тела

Твердое тело можно представить как систему МТ , удерживаемых внутренними силами на неизменных расстояниях друг от друга и по аналогии с МТ записать:

Пусть момент импульса i -й частицы , r i — радиус окружности, по которой движется МТ относительно оси вращения тела. Направление L i относительно оси вращения всех точек тела одинаковое, так как в каждый момент времени направление и величина угловых скоростей всех точек одинаковы (тело твердое) .

Величина называется моментом инерции твердого тела относительно данной оси. Направление векторов L и  совпадают только в случае симметричного тела .

Момент инерции полого цилиндра

Найдем момент инерции полого цилиндра относительно его оси симметрии ОО .

где m — масса цилиндра .

Итак, момент инерции полого цилиндра прямо не зависит от высоты этого цилиндра (косвенно естественно зависит так как чем больше высота тем больше площадь и масса). Точно также выглядит и выражение для момента инерции обруча.

Момент инерции сложных тел

Для полного определения момента инерции более сложных тел выражение следует уточнить, устремив элемент к нулю и найдя соответствующий предел:

Как известно, такой предел называется интегралом:

Интегрирование производится по всему объему тела V . Если плотность тела  постоянна, то  можно вынести из под знака интегрирования.

Момент инерции сплошного цилиндра

Момент инерции сплошного однородного цилиндра относительно оси симметрии ОО можно найти разбив его на цилиндры радиуса r и толщиной dr . Так как объем одного слоя равен dV=2 π rhdr то

h

dr

r

R

0

2

2

масса цилиндра m

• - плотность, dr и h – толщина и высота цилиндра . А у полого цилиндра было mR 2 .

Чем удаленнее масса от центра тем больше I .

Моменты инерции I С некоторых однородных твердых тел относительно оси, проходящей через центр инерции

Теорема Штейнера

Зная момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, момент инерции относительно произвольной оси вычисляют по теореме Штейнера:

момент инерции относительно произвольной оси I равен сумме момента инерции I c относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями d .

Вывод теоремы Штейнера

I

I 0

r j

m j

ц.и.

r i

R 0

m i

R i

d

I 0

d 2

0

Т.к. направлены во все стороны относительно центра инерции они взаимно компенсируются, если тело симметричное. В случае несимметричного тела взаимно компенсируются произведения

I=I 0 + md 2

Вычислим по теореме Штейнера момент инерции диска на нити

I=I 0 + md 2

L

d = (L+R)

I 0 = 1/2 mR 2

I = 1/2mR 2 + m (L+R) 2

R

m

Если L=0 ( ось проходит через край диска )

I = 1/2mR 2 + m R 2 = 3 /2mR 2

Уравнение моментов для материальной точки

Как уже говорилось момент импульса МТ , двигающейся по окружности :

Производная по времени равна:

В соответствии с законом изменения момента импульса для МТ получаем:

Момент инерции в природе

Самолеты убирают шасси во время полета, а, например, пчелы, напротив, вытягивают вперед задние лапки для того, чтобы лететь устойчиво с большей скоростью.

При максимальной скорости в 7.25 метров в секунду пчелы теряют вращательную устойчивость. Это говорит о том, что скорость пчелы ограничивает не сила мускулов или амплитуда машущих крыльев, а наклон тела и умение балансировать в неустойчивом положении. Т.е. до определенной скорости пчелы умеют управлять своим моментом инерции и изменять момент импульса так, чтобы обеспечить условия равновесия (нулевую сумму моментов внешних сил).

Уравнение моментов

Заменив в выражении для кинетической энергии

массу на момент инерции I , а скорость v на угловую скорость  получим кинетическую энергию вращающегося вокруг неподвижной оси тела или просто подставив v=  R :

Подставим момент импульса тела

Это закон изменения момента импульса твердого тела или основной закон динамики для вращения твердого тела вокруг неподвижной оси . Как и в случае с МТ можно сопоставить все величины для поступательного и вращательного движения.

Механика поступательного и вращательно движения относительно неподвижной оси

Все выражения для МТ и для твердого тела внешне очень похожи. 2-й закон Ньютона:

Аналогами также являются: координата х - угол  , линейная скорость v - угловая скорость  , линейное ускорение a - угловое ускорение  , масса m - момент инерции I , сила F - момент силы N , импульс р - момент импульса L , кинетическая энергия mv 2 /2 - кинетическая энергия I  2 /2 , работа dA = F s ds - работа dA = N  d  мощность P=F v v - P=N  