Метод Гаусса и матричный метод решения систем решения линейных уравнений

Занятие 9. Тема «Метод Гаусса и матричный метод решения систем линейных уравнений»

План лекции:

1. Метод Гаусса

2. Матричный метод

3. Самостоятельная работа для студентов

Метод Гаусса

Метод Гаусса прекрасно подходит для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Он обладает рядом преимуществ по сравнению с другими методами:

• Во-первых, нет необходимости предварительно исследовать систему уравнений на совместность;

• Во-вторых, методом Гаусса позволяет решить совместные и неопределенные системы, когда ранги основной матрицы и расширенной матрицы меньше числа переменных в системе.

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений состоит из двух этапов, называемых прямым и обратным ходом.

Прямой ход метода Гаусса заключается в том, что с помощью элементарных преобразований над расширенной матрицей система приводится к «ступенчатому» виду.

Обратный ход метода Гаусса состоит в том, что, из полученной ступенчатой матрицы нужно перейти к новой системе (ступенчатой), из которой, начиная с последнего уравнения, вычисляются неизвестные.

Пример 1.  Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Прямой ход.  Приведём расширенную матрицу системы к ступенчатому виду

Обратный ход.  Первый столбец умножается на первую переменную, второй столбец умножается на вторую переменную, третий столбец – на третью переменную в каждой строке. И каждую строку приравниваем на элемент из четвертого столбца. Таким образом, мы привели полученную ступенчатую расширенную матрицу к новой системе уравнений, которая также является ступенчатой:

Начиная с последнего уравнения полученной ступенчатой системы уравнений, последовательно найдём значения неизвестных: х₃=2, подставляем х₃ во второе уравнение и находим х₂=5. Затем найденные х₂ и х₃ подставляем в первое уравнение и находим х₁=1. 

Итак, ответ записываем следующим образом (1; 5;2)

Матричный метод

Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:

Рассмотрим матрицу системы   и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов  . Тогда систему можно записать в матричном виде:

или короче A∙X=B.

Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A| ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом Х=А^-1В.

Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных. 

Итак, чтобы решить систему линейных уравнений матричным методом, нужно найти для основной матрицы системы обратную ей матрицу и умножить её на столбец свободных членов.

Пример. Решить систему линейных уравнений матричным методом:

Вычислим определитель матрицы А:

Теперь находим обратную матрицу как  :

Самостоятельная работа для студентов

1. Переписать лекцию и прислать фото СЕГОДНЯ

2. Пользуясь этим теоретическим материалом решить систему линейных уравнений двумя методами – методом Гаусса и матричным методом.

1. Фото лекции прислать до субботы. Методом Гаусса прислать в виде фото личным сообщением выполненное задание до воскресенья, а матричный метод до понедельника.