Метод интервалов для непрерывных функций

Дата 01.04.2020

Тема урока: МЕТОД ИНТЕРВАЛОВ ДЛЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ.

Цели: обобщить и систематизировать знания учащихся о методе интервалов, рассмотреть применение метода интервалов для непрерывных функций.

Ход урока

1. АКТУАЛИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ

Прежде чем перейдем к изучению новой темы, давайте поработаем устно и немного подготовимся к ЕГЭ.

1. ИЗУЧЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА

Метод интервалов для нас не является новой темой. Мы его неоднократно применяли при решении квадратных неравенств. Сегодня рассмотрим применение метода интервалов к непрерывным функциям. Данный метод рассматривают при решении неравенств вида , где – многочлены. При этом знаки неравенств могут быть и нестрогие. Но в этом случае для дробно-рациональных неравенств нули знаменателя всегда будут исключаться из решения.

Обратите внимание, что правая часть любого из этих неравенств – число 0. Если это не задано по условию, то необходимо всё перенести в левую часть. Далее левую часть неравенства разложить на множители (если она не приведена к этому виду изначально) и найти нули каждого множителя. Необходимо помнить правило: произведение множителей равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Суть этого метода рассмотрим на конкретном примере. Откройте тетради и запишите число и тему урока. А далее вместе со мной решаем примеры с записью в тетрадь.

ПРИМЕР 1. Решим неравенство .

Данное неравенство изначально задано в виде произведения многочленов, а его правая часть – число 0. Значит нам остается найти нули каждого множителя, приравняв по отдельности скобки к нулю.

1. Рассмотрим уравнение и найдем его корни. Оно не имеет решений и на всем промежутке изменения квадратный трехчлен имеет положительный знак, т.е. .

2. Рассмотрим уравнение . Его корнем является число 3, при этом кратность этого корня 4. Вспомните, на что влияет четная и нечетная кратность корня.

3. Рассмотрим уравнение . Его корнем является число -1, кратность которого 3.

4. Рассмотрим уравнение . Его корень – число 5, кратности 1.

Т.е. нулями являются всего три числа: -1; 3; 5. Их необходимо нанести на числовую прямую. Точки будут не закрашены, ведь знак неравенства строгий.

А далее необходимо определить знаки исходного неравенства на каждом интервале.

1. Рассмотрим интервал (-∞; -1). Выберем из этого интервала число -2 и подставим в неравенство . Получим знаки (+)(+)(-)(-)=+. Отметим знак «+» на числовой прямой.

1. Рассмотрим интервал (-1; 3). Выберем из этого интервала число 0 и подставим в неравенство . Получим знаки (+)(+)(+)(-)=-. Отметим знак «-» на числовой прямой.

1. Рассмотрим интервал (3; 5). Выберем из этого интервала число 4 и подставим в неравенство . Получим знаки (+)(+)(+)(-)=-. Отметим знак «-» на числовой прямой.

1. Рассмотрим интервал (5; +∞). Выберем из этого интервала число 6 и подставим в неравенство . Получим знаки (+)(+)(+)(+)=+. Отметим знак «+» на числовой прямой.

Запишем ответ к неравенству. Нам необходимо больше нуля, значит знаки «+».

Ответ: .

Обратите внимание. Знаки не всегда чередуются. И на чередование знаков влияет кратность корня. Если корень нечетной кратности, то знаки слева и справа от него будут чередоваться. А если корень четной кратности, то чередование не происходит, знаки слева и справа от корня будут одинаковые. Так вышло с х=3, т.к. его кратность равна 4.

ПРИМЕР 2. Решим неравенство .

Правая часть – число 0, но левая не задана в виде произведения (на самом деле это не столь важно, ведь мы сможем найти отдельно нули числителя и знаменателя). Вспомним, что дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

1. Приравняем числитель к нулю и решим уравнение.

.

1. Рассмотрим знаменатель и найдем его нуль, который необходимо исключить из числовой прямой.

.

Нанесем нули числителя и нуль знаменателя на числовую прямую. Само неравенство перепишем в виде .

Снова определим знаки исходного неравенства на каждом интервале.

1. Рассмотрим интервал (-∞; 1). Выберем из этого интервала число 0 и подставим в неравенство . Получим знаки . Отметим знак «+» на числовой прямой.

1. Рассмотрим интервал (1; 2). Выберем из этого интервала число 1,5 и подставим в неравенство . Получим знаки . Отметим знак «-» на числовой прямой.

1. Рассмотрим интервал (2; 3). Выберем из этого интервала число 2,5 и подставим в неравенство . Получим знаки . Отметим знак «+» на числовой прямой.

1. Рассмотрим интервал (3; +∞). Выберем из этого интервала число 5 и подставим в неравенство . Получим знаки . Отметим знак «-» на числовой прямой.

Запишем ответ к неравенству. Нам необходимо меньше нуля, значит знаки «-».

Ответ: .

1. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Открываем учебники на странице 313 и вместе выполним №12.20(а)

№12.20(а). Решите неравенство: .

В неравенстве встретилась функция . Она определена и непрерывна на множестве . Т.е. множество, на котором мы будем находить решение заданного неравенства, имеет вид M=[-3; 3]. При этом числа -3 и 3 являются корнями.

Рассмотрим . Откуда х=0 или х=4. Но х=4 не принадлежит множеству М, поэтому его на числовую прямую не наносим. Отметим на прямой числа -3; 0; 3.

Определим знаки исходного неравенства на каждом интервале.

1. Рассмотрим промежуток [-3; 0]. Выберем из этого интервала число -1 и подставим в неравенство . Получим знаки (+)(+)=+. Отметим знак «+» на числовой прямой.

1. Рассмотрим промежуток [0; 3]. Выберем из этого интервала число 2 и подставим в неравенство . Получим знаки (-)(+)=-. Отметим знак «-» на числовой прямой.

Запишем ответ к неравенству. Нам необходимо меньше или равное нуля, значит знаки «-» и сами корни, т.к. в них выполняется равенство нулю.

Ответ: .

Теперь самостоятельно выполните №12.20(в).

1. Подведение итогов урока. Рефлексия

Домашнее задание:

№12.18(а, б) – обязательно для всех;

№12.21(а, б) – для тех, кто претендует на 4 и 5.