Методическая разработка "Арифметическая прогрессия. Формула n-го члена"

Название этапа урока

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Оборудование

1. Организационный этап

Приветствие учащихся, проверка готовности к уроку, положительный настрой, призыв на весь урок:

«Кто ничего не замечает,

Тот ничего не изучает,

Кто ничего не изучает,

Тот вечно хнычет и скучает»

Внимательно слушают

1. Сообщение темы

Сегодня мы с вами рассмотрим более подробно прогрессии. Запишите тему в тетради: «Арифметическая прогрессия. Формула n-го члена»

1. Актуализация знаний

Давайте попробуем устно решить задание:

1) Последовательность задана формулой

Найти

2) Назовите пять первых членов последовательности ( ), если:

а)

б)

3) Привести пример последовательности, заданной:

1. формулой n-го члена;

2. рекуррентной формулой;

найти пять первых членов этой последовательности.

Опрос выборочных учащихся по каждому неизвестному

Отвечают на поставленные вопросы

Записывают правила в тетради, делают выводы

Слайд

Слайд

1. Введение нового материала

А теперь решим несколько задач:

1)Павел Павлович выиграл в лотерею. В первый месяц он истратил 100 купюр, а каждый следующий месяц он тратил на 50 купюр больше, чем предыдущий. Сколько купюр он истратил за второй месяц? за третий месяц? за восьмой месяц? за десятый месяц?

Как получается второй член последовательности? третий? восьмой? десятый? (прибавлением к предыдущему члену числа 50).

2) Ювелир изготовил в январе 100 изделий, а каждый следующий месяц изготавливал на 15 изделий больше, чем в предыдущий. Сколько изделий изготовил ювелир в феврале? в марте? в августе? в декабре?

Как получается второй член последовательности? третий? восьмой? двенадцатый? (прибавлением к предыдущему члену числа 15).

3) Тело в первую секунду движения прошло 30 м, а за каждую следующую секунду – на 3 м меньше, чем за предыдущую. Какое расстояние прошло тело за 2-ую, 3-ю, 8-ую, 10-ую секунду?

Как получается второй член последовательности? третий? восьмой? десятый? (прибавлением к предыдущему члену числа (-3)).

Молодцы! Какие внимательные!

Выписанные последовательности называются арифметическими прогрессиями.

Каким образом образовывались члены данных последовательностей? (к предыдущему прибавляли одно и тоже число). Какая последовательность называется арифметической прогрессией?

Давайте зададим последовательности, представленные в задаче рекуррентным способом.

Таким образом, ( )- арифметическая прогрессия, если для любого натурального n выполняется условие , где d- некоторое число, называемое разность арифметической прогрессии.

Как найти разность арифметической прогрессии?

Итак, давайте запишем определение арифметической прогрессии.

Определение: Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же постоянным для данной последовательности числом, называемым разностью прогрессии.

Чтобы задать арифметическую прогрессию ( ) требуется указать . Давайте приведем примеры.

Но рекуррентное задание последовательности не очень удобно, поэтому необходимо получить формулу n-го члена арифметической прогрессии.

Как вы думаете почему не очень удобно?

Вывод формулы n-го члена арифметической прогрессии

Пусть дана арифметическая прогрессия ( ), и пусть n=1, 2, 3,…получаем последовательно:

и т. д.

можно доказать, что для всех n справедлива формула

(2)

Доказательство. Напишем (n-1) равенств

…………..

Сложив их почленно, получим

После привидения подобных слагаемый получим формулу (2).

1. Найдите разность арифметической прогрессии:

1. В арифметической прогрессии ( ) известны Найдите

2. Почему последовательность называется арифметической?

3. На слайде представлены размеры одежды, что вы можете сказать про них? (слайд 11).

Приведите, еще примеры их жизни, где последовательность чисел – арифметическая прогрессия.

Последовательность домов на улице - четная и нечетная сторона. Последовательность квартир в подъезде.

Найдите среднее арифметическое чисел 2 и 10:

Запишем в порядке возрастания эти числа 2; 6;10

Образует ли данная тройка арифметическую прогрессию?

Найдите четвертый, пятый, шестой члены этой последовательности.

Проверим, выполняется ли данная закономерность для любой тройки чисел этой последовательности?

Сформулируйте свойство членов арифметической прогрессии.

(3)

Сформулируем обратное утверждение.

Если некоторая последовательность такова, что любой ее член начиная со второго, является средним арифметическим последующего и предыдущего, то эта последовательность – арифметическая прогрессия.

Записывают в тетрадь решение задачи

Записывают ответы, а именно последовательность 100к., 150к. 200к., 250к., 300к. и т. д

Отвечают с места, пишут индивидуально.

Записывают последовательность 100, 115, 130, 145 т. д

Записывают последовательность 30, 27, 24, 21 и т. д

Дают определение арифметической прогрессии.

Самостоятельно, в тетрадях, записываю формулы для каждой задачи, заданные рекуррентным способом.

Для первой задачи

Для второй задачи

Для третьей задачи

Отвечают на поставленный вопрос

Приводят свои примеры

Да

Получили: 2; 6; 10; 14; 18; 22

Да

Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим последующего и предыдущих членов.

Слайд

Слайд

Слайд

Слайд

Слайд

Слайд

Слайд

Слайд

Слайд

1. Решение задач на закрепление

Теперь воспользуемся учебником, решим задачи для закрепления материала.

Номера 575-577, 580, 582, 594, 597(а)

Пользуются учебником, вызываются несколько человек к доске.

1. Итоги урока. Рефлексия

Отметьте «+», если согласны, и «-» в противном случае.

Рефлексивный тест:

1.Я узнал(а) много нового.

2. Мне это пригодится в дальнейшем.

3. На уроке было над чем подумать.

4. На все возникшие у меня в ходе урока вопросы, я получил(а) ответы.

5. На уроке я поработал(а) добросовестно и цели урока достиг(ла).

Заполняют рефлексивную карту, выданную учителем.

Слайд

1. Домашнее задание

Наш урок подошел к концу.

Запишите домашнее задание в дневники: параграф 9, пункт 25, номера 578, 579, 581, 585, 590. Всем большое спасибо за урок! До свидания!

Записывают ДЗ в дневник

Слайд