Методическая разработка Контрольные вопросы по темам учебника Геометрия 9 класс Л. С. Атанасян

9 класс Тема 2 Метод координат Геометрия

1.Сформулируйте и докажите лемму о коллинеарных векторах (если векторы и коллинеарны и

≠ 0 , то существует такое число k )

2.Что значит разложить вектор по двум данным векторам? (если вектор = х , где х и у некоторые числа , то говорят , что вектор разложен по векторам и , числа х и у называют коэффициентами разложения)

3.Сформулируйте теорему о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам ( на плоскости любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, при чём коэффициенты разложения определяются единственным образом)

4.Объясните , как вводится прямоугольная система координат

5.Что такое координатные векторы (векторы и называются координатными векторами)

6.Что такое координаты вектора ( коэффициенты разложения вектора по координатным векторам называются координатами вектора в данной системе координат)

7.Как связаны между собой координаты равных векторов ( координаты равных векторов соответственно равны).

8.Сформулируйте и докажите правила нахождения координат суммы и разности векторов:

1. каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

2. каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.

9. Сформулируйте и докажите правила нахождения координат произведения вектора на число по заданным координатам вектора ( каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число).

10.Как выразить координаты вектора через координаты его начала и конца (каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала)

11.Вычисление координат середины отрезка по координатам его концов ( каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов) .

12.Вычисление длины вектора по его координатам ( = ).

13.Вычисление расстояния между двумя точками по их координатам ( d = ).

14.Какое уравнение называется уравнением данной линии ( уравнение с двумя переменными х и у

называется уравнением линии ℓ, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки линии ℓ и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии)

15.Выведите уравнение окружности данного радиуса с центром в данной точке в прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r с центром в точке С ( ) имеет вид:

=

16. Уравнение окружности радиуса r с центром в начале координат имеет вид: =

17.Выведите уравнение данной прямой в прямоугольной системе координат (ax + by + c = 0 – уравнение прямой в прямоугольной системе координат является уравнением первой степени).

18. Что такое угловой коэффициент прямой ( если в уравнении прямой коэффициент b отличен от нуля , то уравнение прямой можно записать так : y = kx+d, k = , d = . Число k называется угловым коэффициентом прямой)

19.Когда две прямые параллельны ( если две прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты , то эти прямые параллельны)

20.Напишите уравнение прямых, проходящих через данную точку М₀ ( х₀; у₀ ) и параллельных осям координат ( х = х₀ , у = у₀).

21.Напишите уравнение осей координат ( ось Ох имеет уравнение у = 0, а ось Оу – уравнение х = 0)

22. Взаимное расположение двух окружностей с радиусами r и R и расстоянием d между их центрами :

1. Если центры окружностей совпадают , т.е. d = 0, r R , то окружности называются концентрическими, и окружность радиуса r лежит внутри круга радиуса R .

2. – одна окружность лежит внутри другой 3. – одна окружность лежит вне другой 4. – окружности касаются изнутри 5. - окружности касаются извне 6. – окружности пересекаются в двух точках

‍

9 класс Тема 3 Векторы Геометрия

1.Дайте определение вектора (отрезок , для которого указано , какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом , называется направленным отрезком или вектором).

2.Какой вектор называется нулевым ( если начало вектора совпадает с его концом , то такой вектор называется нулевым)

3. Чему равна длина нулевого вектора (длина нулевого вектора считается равной нулю: 0).

4.Что называется длиной ненулевого вектора ( длиной или модулем ненулевого вектора называется длина отрезка АВ . длина вектора (вектора ) обозначается так: ( )).

5.Какие векторы называются коллинеарными ( ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой , либо на параллельных прямых; нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору)

6. Изобразите на рисунке сонаправленные векторы и и противоположно направленные векторы и . ( - обозначение сонаправленных векторов, ( ) - противоположно направленные вектора

7.Дайте определение равных векторов ( векторы называется равными, если они сонаправлены и их длины равны).

8.Объясните, какой вектор называется суммой двух векторов. В чём заключается правило треугольника сложения двух векторов ( сумма векторов и обозначается так: + Правило треугольника можно сформулировать следующим образом: если А, В и С – произвольные точки , то + = )

9.Правило сложения с нулевым вектором ( для любого вектора справедливо равенство + = )

10. Законы сложения векторов: для любых векторов , и справедливы равенства :

1. + = + - переместительный закон

2.( + ) + = + ( – сочетательный закон.

11. В чём заключается правило параллелограмма сложения двух неколлинеарных векторов 12. Какой вектор называется разностью двух векторов (разностью векторов и называется такой вектор, сумма которого с вектором равна вектору , разность векторов и обозначается так: - ).

13.Какой вектор называется противоположный данному( вектор называется противоположный вектору , если векторы и имеют равные длины и противоположно направлены.

14. Сформулируйте и докажите теорему о разности векторов (для любых векторов и справедливо равенство:. - = +(- )).

15.Какой вектор называется произведением данного вектора на данное число ( произведением ненулевого вектора на число k называется такой вектор , длина которого равна причём векторы и сонаправлены при k и противоположно направлены при k . Произведение нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор).

16. Чему равно произведение k ,если : k = 0 (произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор)

17.Могут ли векторы и k , быть неколлинеарными (для любого числа k и любого вектора и k коллинеарны).

18. Сформулируйте основные свойства умножение вектора на число( для любых чисел k, m и любых векторов , справедливы равенства:

1.( k m) = k (m ) – сочетательный закон

2. ( k + m ) = k + m – первый распределительный закон

3. k ( + ) = k + k - второй распределительный закон

19. Какой отрезок называется средней линией трапеции (средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон)

20.Сформулируйте и докажите теорему о средней линии трапеции (средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме)

9 класс Тема 4 Соотношения между сторонами и углами треугольника. Геометрия Скалярное произведение векторов

1.Начертите оси координат и постройте единичную полуокружность.

2.Объясните , что такое синус косинус угла из промежутка (для любого угла из промежутка синусом называется ордината у точки М , а косинусом угла - абсциссе х точки М, 0 ) , .

3. Что называется тангенсом угла ? Для какого значения тангенс не определён и почему? (тангенсом угла ( ) называется отношение , т.е. . При не определён , поскольку Cos 90 =0 и в формуле знаменатель обращается в нуль. Используя формулы , находим: = 0 ).

4. Что называется котангенсом угла ? Для какого значения котангенс не определён и почему? ( котангенсом угла ( ) называется отношение , т.е. . При и не определён. Исходя из формул = 0).

5. Докажите основное тригонометрическое тождество ( )

6. Напишите формулы приведения:

при , Cos ( .

при

7 .Сформулируйте и докажите теорему о площади треугольника( вычисление площади треугольника по двум сторонам и углу между ними)-

площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними absin C

8.Сформулируйте и докажите теорему синусов( стороны треугольника пропорциональны синусам противоположных углов = Замечание к теореме синусов ( =

9 . Сформулируйте и докажите теорему косинусов ( квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними) -

10.Что означают слова « решение треугольника» ? Сформулируйте трт основные задачи на решение треугольников и объясните, как они решаются.( решением треугольника называется нахождение всех его шести элементов ( т.е. трёх сторон, трёх углов) по каким – нибудьтрём данным элементам, определяющим треугольник).

Задача 1:решение треугольника по двум сторонам и углу между ними.

Задача 2:решение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам.

Задача 3:решение треугольника по трём сторонам.

11. Объясните , как определить высоту предмета, основание которого недоступно.

12. Объясните , как измерить расстояние до недоступной точки.

13Объясните, что означают слова « угол между векторами и равен ( векторы и не являются сонаправленными и отложены от произвольной точки , тогда градусную меру этого угла обозначим буквой и будем говорить« угол между векторами и равен ). Если векторы и сонаправлены , в частности один из них или оба нулевые, то угол между векторами и равен 0 .)

14. Как обозначается угол между векторами (угол между векторами и обозначается так

15. Какие два вектора называются перпендикулярными ( два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 )

16. Что такое скалярное произведение двух векторов(скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними - = )).

17. В каком случае скалярное произведение ненулевых векторов: а) равно0 - тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. б) больше 0 - тогда и только тогда, когда угол между векторами меньше 90 в) меньше 0 -тогда и только тогда, когда угол между векторами больше 90 .

18. Выведите формулу , выражающую скалярное произведение векторов через их координаты ( в прямоугольной системе координат скалярное произведение векторов и выражается формулой = )

19. Запишите условие перпендикулярности двух ненулевых векторов с координатами и (ненулевые векторы перпендикулярны тогда и только тогда , когда .)

20 . Выведите формулу, выражающую косинус угла между ненулевыми векторами через из координаты (косинус угла между ненулевыми векторами и выражается формулой cos = ), или cos = )

21. Сформулируйте и докажите утверждения о свойствах скалярного произведения векторов ( для любых векторов , и любого числа k справедливы соотношения:

1. при

2. = - переместительный закон

3. ( + ) c ⃗ = + – распределительный закон

4.( k =k ( ) – сочетательный закон ).

9 класс Тема 5 Длина окружности и площадь круга. Геометрия

1.Какой многоугольник называется правильным? Приведите примеры правильных многоугольников

( правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.)

2.Выведите формулу для вычисления угла правильного n-угольника. ( = )

3.Сформулируйте и докажите теорему об окружности , описанной около правильного

многоугольника. (около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну)

4. Сформулируйте и докажите теорему об окружности , вписанной в правильный

многоугольник.(в любой правильный многоугольник можно вписать окружность , и притом только одну. Следствие1.окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах.

Следствие 2. Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник . )

5.Выведите формулу для вычисления площади правильного многоугольника через его периметр и радиус вписанной окружности. ( )

6. Выведите формулу для вычисления стороны правильного n-угольника и радиуса вписанной в него окружность через радиус описанной окружности. ( =2RSin ; r =R Cos ).

7.Как выражаются стороны правильного треугольника , квадрата и правильного шестиугольника через радиус описанной окружности? ( =2R sin60 =2R =R ; =2R sin45 =2R =R ; = =2R sin30 =2R =R; )

8.Выведите формулу для вычисления длины окружности. )

9.Объяснити , какое число обозначается буквой и чему равно его приближённое значение. ( )

10. Выведите формулу для вычисления длины дуги окружности.( )

11. Выведите формулу для вычисления площади круга( S = ).

12.Что такое круговой сектор? Выведите формулу для вычисления площади кругового сектора. (Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга). Дуга, которая ограничивает сектор, называется дугой сектора. .

13.Что такое круговой сегмент? Объясните, как можно вычислить его площадь. (Круговым сегментом или просто сегментом называется часть круга, ограниченная дугой окружности и хордой, соединяющей концы этой дуги . Если градусная мера дуги меньше 180 , то площадь сегмента можно найти, вычитая из площади сектора площадь равнобедренного треугольника, сторонами которого являются два радиуса и хорда сегмента.)

9 класс Тема 6 Движения. Геометрия

1. Объясните, что такое отображение плоскости на себя. ( Каждой точке плоскости сопоставляется ( ставится в соответствие) какая- то точка этой же плоскости, причём любая точка плоскости оказывается сопоставленной некоторой точке)

2.Какое отображение плоскости называется : а) осевой симметрией; б) центральной симметрией?

а)( осевая симметрия – это отображение плоскости на себя, которое сохраняет расстояние между точками)б) (центра́льной симметри́ей относительно точки О, называют преобразование плоскости переводящее точку X в такую точку X′, что О — середина отрезка XX′.)

3.Докажите , что осевая симметрия является отображением плоскости на себя. ( с. 287)

4.Что такое движение ( перемещение) плоскости? (движение плоскости - это отображение плоскости на себя , сохраняющее расстояние)

5.Докажите, что осевая симметрия является движением (с.288)

6. Является ли центральная симметрия движением? (центральная симметрия плоскости также является движением)

7.Докажите, что при движении отрезок отображается на отрезок. ( с. 289)

8. Докажите, что при движении треугольник отображается на равный ему треугольник. ( с.290)

9. Объясните, что такое наложение.( наложение - это отображение плоскости на себя)

10.Докажите, что при наложении различные точки отображаются в различные точки.( с. 291)

11. Докажите, что наложение является движением плоскости.( с.291)

12. Докажите, что любое движение является наложением. ( с. 292)

13.Верно ли утверждение, что при движении любая фигура отображается на равную ей фигуру?( да )

14.Какое отображение плоскости называется параллельным переносом на данный вектор? (параллельным переносом на вектор называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в такую точку , что вектор равен вектору )

15. Докажите, что параллельный перенос является движением ( с.294)

16. Какое отображение плоскости называется поворотом? ( поворотом плоскости вокруг точки О на угол называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в такую точку , что ОМ = О и угол МО равен )

17. Докажите, что поворот является движением. ( с.295)

9 класс Тема 7 Начальные сведения из стереометрии. Геометрия

Об аксиомах планиметрии

1.Объясните, что такое многогранник; что такое грани, рёбра, вершины и диагонали многогранника. Приведите примеры многогранников.(с.300-303)

2. Объясните, как построить многогранник, называемый n-угольной призмой; что такое основания, боковые грани, боковые рёбра и высота призмы.(с.303)

3. Какая призма называется : а) прямой ; б) правильной?( а) если все боковые рёбра призмы перпендикулярны к плоскостям её оснований , то призма называется прямой. б)прямая призма , основаниями которой являются правильные многоугольники, называется правильной.)

4. Объясните, что такое параллелепипед; какие многоугольники являются гранями: а) параллелепипеда; б)прямого параллелепипеда; в) прямоугольного параллелепипеда. ( четырёхугольная призма, основаниями которой являются параллелограммы, называется параллелепипедом. а)параллелограммы; б)прямоугольники; в)прямоугольники.

5. Докажите, что четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.(с,305)

6. Объясните, как измеряются объёмы тел; что показывает число. выражающее объём тела при выбранной единице измерения объёмов( с, 306-307)

7.Сформулируйте основное свойство объёмов.( 1. Равные тела имеют равные объёмы; 2.(Если тело составлено из нескольких тел, то его объём равен сумме объёмов этих тел).

8. Объясните, в чём заключается принцип Кавальери. (С.307-308)

9.Что такое измерения прямоугольного параллелепипеда? Докажите, что квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.( длина, ширина и высота; с.309)

10. Докажите, что объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений. ( с.309-310) V = abc

11. Какой формулой выражается объём призмы? (объём призмы равен произведению площади основания на высоту)

12. Объясните, как построить многогранник, называемый n-угольной пирамидой; что такое основания, боковые грани, вершина, боковые рёбра и высота пирамиды.( c.311-312)

13. Объясните, какая пирамида называется правильной; что такое апофема правильной пирамиды. ( пирамида называется правильной , если её основание –правильный многоугольник, высота боковой грани правильной пирамиды , проведённая из её вершины, называется апофемой)

14. Какой формулой выражается объём пирамиды?( объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту)

15. Объясните, какое тело называется цилиндром; что такое ось, высота, основания, радиус, боковая поверхность, образующие цилиндра? (с. 319) ( цилиндр – это тело, ограниченное двумя равными кругами и цилиндрической поверхностью)

16. Какой формулой выражается объём цилиндра?

17. Объясните, как получается и что представляет собой развёртка боковой поверхности цилиндра? ( с.319-320)

18 Какой формулой выражается площадь боковой поверхности цилиндра? -площадь боковой поверхности цилиндра равна площади её развёртки.)

19. Объясните. какое тело называется конусом; что такое ось, высота, основания, боковая поверхность, образующие конуса. (конус - это тело , ограниченное кругом и конической поверхностью) с.320-321

20. Какой формулой выражается объём конуса? ( площадь конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту)

21. Объясните, как получается и что представляет собой развёртка боковой поверхности конуса?(с.321)

22. Какой формулой выражается площадь боковой поверхности конуса? (площадь боковой поверхности конуса с образующей и радиусом основания r выражается формулой : )

23.Что называется сферой и что такое её центр, радиус и диаметр?( сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки, данная точка называется центром сферы , данное расстояние - радиусом сферы. Отрезок , соединяющий две точки сферы и проходящий через её центр, называется диаметром сферы)

24.Какое тело называется шаром и что такое его центр, радиус и диаметр? ( тело , ограниченное сферой , называется шаром , -центр , радиус и диаметр сферы называется также центром, радиусом и диаметром шара)

25. Какой формулой выражается объём шара?

26 . Какой формулой выражается площадь сферы? S =4