Методическая разработка лабораторной работы "Методы оценки погрешностей"

Практическая работа №1.

Методы оценки погрешностей

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: развитие навыков нахождения предельных абсолютных и предельных относительных погрешностей.

ВРЕМЯ ВЫПОЛНЕНИЯ:90 минут.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ:

Пример 1. Определить какое равенство точнее =0,818 или =4,24

Решение:

1. Находим значение данных выражений с большим числом десятичных знаков:

а = =0,81818… а =4,2426…

1. Затем вычисляем предельные абсолютные погрешности, округляя их с избытком:

∆ а =|0,81818-0,818|≤ 0.00019 ∆а =|4.2426-4.24|≤ 0.0027

1. Предельные относительные погрешности составляют

δ = = =0,00024=0,024% δ = = =0,00064=0,064%

4. Так как δа1 , то равенство =0,818 является более точным

Пример 2. Округлить сомнительные цифры числа, оставив верные знаки:

А) в узком смысле 72,353(±0,026);

В) в широком смысле 2,3544, если δ=0,2%.

Решение:

А) Пусть 72,353(±0,026)= а. Согласно условию, предельная абсолютная погрешность ∆ а=0,026. В узком смысле это необходимо сравнить с 0,05(т.к. после запятой только один нуль). Сравнивая, получаем: 0,026 =72,4

Далее находим ∆ (округленное): ∆ =| а -а|=|72.4-72.353|=0.047

Затем определяем предельную абсолютную погрешность числа а

∆ а =∆ +∆ =0,026+0,047=0,073

Полученная погрешность больше 0,05; значит, нужно уменьшить число цифр в приближенном в числе до двух:

а =72; ∆ =|а -а|=|72-72.353|=0.353;

∆а = ∆а+∆ =0,026+0,353=0,379.

Полученное число (0,379) сравниваем с 0,5(т.к. после запятой нет нулей). Получаем, что ∆а

Б) Пусть a= 2,3544;   тогда   .

По определению погрешности

α_а=0,00471

α_а=0,00471

α_а=0,00471α_а=0,004710,001.

Это означает, что верными в широком смысле являются три цифры (2, 3, 5). По правилам округления найдем приближенное значение числа, сохранив десятичные доли.

а₁ ≈2,35; α_а=0,0044+0,00471=0,00911

Значит, и в округленном числе 2,35 все три цифры верны в широком смысле.

Пример 3. Вычислить и определить погрешности результата

Х= , где m=28.3(±0,02),n=7,45(±0,01),k=0,678(±0,003)

Решение: для начала необходимо определить m ,n и . Получаем:

m =(28,3) =800,9; n =(7,45) =413,5; =1,8234;

Далее определяем Х без учета абсолютных погрешностей: Х= =402,200

Теперь определяем предельные относительные погрешности для m, n и k:

δ =0,02/28,3=0,00071; δ =0,01/7,45=0,00134; δ =0,003/0,678=0,00442

Получив эти данные, определим погрешность результата:

δ =2 δ +3 δ +0,5 δ , где 2 δ т.к по условию дано m , 3 δ т.к. по условию дано n , 0,5 δ т.к. по условию дано k

Таким образом, δ =2 δ +3 δ +0,5 δ =2*0,00071+3*0,00135+0,5*0,00443=

=0,00142+0,00405+0,00222=0,00769=0,77%

В заключении определим предельную абсолютную погрешность результата:

∆ =Х* δ =402,200*0,0077=3,096994.

Ответ: Х=402,200(±3,097); δ =0,77%

Пример 4. Вычислить и определить погрешности результата:

N= , где n=3,0567(±0,0001), m=5,72(±0,02)

Решение:

Для начала находим

n-1 =2,0567(±0,0001) (2,0567 получается из 3,0567-1),

m+n=5,72(±0,02)+3,0567(±0,0001)=8,7767(±0,0201),

m-n=5,72(±0,02)-3,0567(±0,0001)=2,6633(±0,0201) (погрешности складываются)

Далее определяем N без учета абсолютных погрешностей:

N= = =2,545≈2,55;

Теперь определим предельные относительные погрешности для (n-1),(m+n) и (m-n) .

δ =0,0001/2,0567=0,000049;

δ =1,0201/8,7767=0,0023;

δ =0,0201/2,6633=0,0075, откуда определим погрешность результата:

δ = δ + δ + 2δ ,здесь 2δ т.к. по условию дано (m-n)

δ = δ + δ +2δ =0,000049+0,0023+2*0,0075=0,0173=1,74%

В заключении определим предельную абсолютную погрешность результата:

∆ = N* δ =2,55*0,0173=0,044

Ответ: N ≈2,55(±0,044); δ =1,74%

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ И ФОРМА ОТЧЕТНОСТИ:

Задание 1. Определить какое равенство точнее.

1 вариант. =0,463 и =6,63;

2 вариант. =0,235 и =3,24;

3 вариант. =0,857 и =2,19.

Задание 2. Округлить сомнительные цифры числа, оставив верные знаки:

1 вариант. а) в узком смысле 23,543(±0,016)

б) в широком смысле 2,8546; δ=0,3%.

2 вариант. а) в узком смысле 5,436(±0,0028)

б) в широком смысле 7,521; δ=0,12%.

3 вариант. а) в узком смысле 2,45431(±0,0003)

б) в широком смысле 4,571; δ=0,16%.

Задание 3. Вычислить и определить погрешности результата

1 вариант.

а) X= , a=228,6(±0,06),b=86,4(±0,02),c=68,7(±0,5).

Б) X= , m=4,22(±0,004), a=13,5(±0,02), b=3,7(±0,02), c=34,5(±0,02), d=23,725(±0,005).

2 вариант.

а) X= , a=3,845(±0,04),b=16,2(±0,05),c=10,8(±0,1).

Б) X= , a=2,754(±0,001), b=11,7(±0,04), m=0,56(±0,005), c=10,536(±0,002), d=6,32(±0,008).

3 вариант.

a) X= , a=3,456(±0,002),b=0,642(±0,0005), c=7,12(±0,004).

Б) X= , a=23,16(±0,02), b=8,23(±0,005), c=145,5(±0,08), d=28,6(±0,1), m=0,28(±0,006).

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

1. Что называется абсолютной и относительной погрешностью приближенного числа?

2. Что называется значащей цифрой числа?

3. Что называется верными знаками числа?

4. Сформулировать правила оценки предельных погрешностей при выполнении операций над приближенными числами.