Методическая разработка по геометрии по теме: "Свойства равнобедренного треугольника" для 7 класса

Свойства равнобедренного треугольника

Учитель математики МБОУ СОШ №49

Осипова Анна Игоревна

Треугольник называется равнобедренным , если две его стороны равны.

А

В

С

АВ , АС – боковые стороны ∆ АВС .

ВС – основание ∆ АВС .

Точка А – вершина ∆ АВС ,

точки В , С – вершины при основании.

∠ В , ∠ С – углы при основании.

∠ А – угол при вершине,

Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним .

А

С

В

Любой равносторонний треугольник является равнобедренным.

Теорема. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

А

Доказательство.

∆ АВС – равнобедренный, АВ = АС .

AF – биссектриса ∆ АВС .

(по первому признаку),

∆ АВF = ∆ АСF

С

В

AF – общая сторона,

F

AВ = АС ,

∠ ВAF = ∠ СAF .

Следовательно, ∠ В = ∠ С .

Теорема доказана.

Теорема. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

А

Доказательство.

∆ АВС – равнобедренный, АВ = АС .

AF – биссектриса ∆ АВС .

∆ АВF = ∆ АСF

(по первому признаку),

AF – общая сторона,

С

В

AВ = АС ,

∠ ВAF = ∠ СAF .

F

ВF = СF ,

AF – медиана ∆ АВС .

AF – высота ∆ АВС .

∠ AFВ = ∠ АFС ,

Теорема доказана.

Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой.

Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой.

Задача. АВСD – квадрат. Точка Е – середина стороны СD . Докажите, что треугольник ВЕА является равнобедренным.

С

В

Доказательство.

Рассмотрим ∆ ВСЕ = ∆ АDE.

ВC = AD ,

CE = DE ,

∠ ВCE = ∠ ADE .

Е

Значит, ∆ ВСЕ = ∆ АDE

(по первому признаку) .

D

Следовательно, ЕВ = EА

А

Значит, ∆ ВЕА – равнобедренный.

Задача. В равнобедренном треугольнике АВС , где АВ равняется ВС , периметр равен 20 см, а основание больше боковой стороны на 2 см. Найдите стороны треугольника.

В

Решение.

АВ = ВС = см,

тогда АС = (+ 2)см.

Получаем + +(+ 2)= 20,

3+ 2 = 20,

= 18 : 3,

3= 20  2,

3= 18,

= 6.

Тогда АВ = ВС = 6 см,

С

А

АС = 6 + 2 = 8 (см).

Ответ: 6 см, 6 см, 8 см.