Методическая разработка по теме «Линейная функция. Линейные уравнения и неравенства с параметрами».

Методическая разработка по теме

«Линейная функция. Линейные уравнения и неравенства с параметрами».

Линейная функция и линейное уравнение – одна из основных тем школьного курса математики. Введение понятий «параметр, решение задача с параметрами» в этой теме следует начинать с пропедевтики: повторения понятий постоянной и переменной величин и выделении из множества переменных параметров.

В курсе алгебры учащиеся изучают понятия, оперирующие с двумя видами величин – постоянными и переменными. Переменные величины, в свою очередь, можно условно разделить на приоритетные – аргументы, искомые и остальные – параметры. Данное разделение можно представить в виде следующей схемы:

Определение. Параметром называется независимая переменная величина, входящая в условие задачи или появляющаяся в процессе ее решения, «управляющая» решением задачи.

Таким образом, имеем:

1. Все входящие в данное уравнение или неравенство переменные равноправны и каждая из них может быть объявлена неизвестной (аргументом).

2. Все оставшиеся переменные объявляются параметрами, которым присваиваются по умолчанию некоторые числовые значения, входящие в область определения данного аналитического выражения.

3. Объявление тех или иных переменных аргументами или параметрами определяется условиями поставленной задачи или методами, пригодными для ее анализа и решения.

Р еализация представленного разделения может отрабатываться в системе упражнений, подобных следующему:

Упражнение 1.

Укажите постоянные и переменные величины, входящие в уравнения:

1) 6)

1. 7)

2. 8)

3. 9)

4. 10)

Упражнение 2.

Даны уравнения, линейные относительно переменной . Укажите уравнения, содержащие и не содержащие параметры.

1. 6)

2. 7)

3. 8)

4. 9)

5. 10)

Пример 1.

1) Найдите все значения параметра , при которых уравнение является линейным.

2) Будет ли это уравнение линейным относительно переменной ?

Решение. 1) Выбрав переменную в качестве параметра, мы тем самым оставили переменную в качестве неизвестной. Уравнение будет линейным относительно переменной , если коэффициент при второй степени переменной будет равен 0. Следовательно, параметр должен быть равен 0. Ответ: 0.

1. _{Так как наибольшая степень переменной} равна 1, то уравнение является линейным относительно переменной при всех действительных значениях параметра _.

Определение. Значение параметра называется допустимым, если для него существует хотя бы одно значение переменной _, при одновременной подстановке которых в уравнение левая часть уравнения определена, т.е. имеет смысл.

Рассмотрим достаточно подробно решение следующих задач:

Задача 1. Решите уравнение при всех значениях параметра .

Решение. Дано простейшее уравнение относительно переменной с параметром . Решить его – это значит:

1. Указать, при каких допустимых значениях параметра уравнение имеет решения, и найти вид этих решений в зависимости от значений параметра .

2. Указать, при каких допустимых значениях параметра уравнение не имеет решений.

Согласно общей схеме анализа решения линейного уравнения, получим:

1. Уравнение имеет смысл при любых значениях параметра.

2. Если , то уравнение имеет единственное решение .

1. Если , то равенство невозможно ни при каких значениях переменной , следовательно, уравнение решений не имеет.

Ответ: При решением уравнения является число . При уравнение решений не имеет.

Задача 2. Решите уравнение

Решение. ; ; .

1. Если , т.е. , то уравнение имеет единственное решение

2. Если , то уравнение обращается в равенство , которому удовлетворяет любое действительное значение переменной .

Ответ: Если , то . Если , то решением является любое действительное число.

Задача 3. При каком значении параметра уравнение не имеет решения?

Решение. Так как переменная определена как параметр, то имеем уравнение относительно переменной : . Так как правая часть уравнения отлична от нуля, то уравнение не будет иметь решений, если коэффициент при будет равен нулю. Это возможно лишь при .

Ответ: .

Задача 4. При каком значении параметра уравнение обращается в тождество?

Решение. Запишем уравнение в виде . Так как правая часть уравнения равна 0, то уравнение обратится в тождество, если коэффициент при неизвестной также будет равен 0. А это возможно, если .

Ответ: .

Задача 5. Решите уравнение .

Решение. ; .

Так как правая часть уравнения отлична от нуля, то уравнение либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.

1. Если , то - единственное решение.

2. Если , то уравнение решений не имеет.

Ответ: Если , . Если , уравнение решений не имеет.

Задача 6. Найдите значение переменной , которое не может быть решением уравнения ни при одном значении параметра .

Решение. ; . Данное уравнение можно рассматривать как линейное уравнение относительно переменной и параметром . Уравнение не будет иметь решение, если , т.е. при .

Ответ: 0.

Упражнение 3. Решите уравнения.

1. 3.

2. 4.

Ответы:

1. Если , то ; если , уравнение решений не имеет.

2. Если , то ; если , - любое действительное число.

3. Если , то ; если , - любое действительное число.

4. Если , то ; если , уравнение решений не имеет.

Упражнение 4. Решите уравнения.

Ответы: 1) Если , то . Если , - любое действительное число. Если , уравнение решений не имеет.

2) Если , то . Если , то - любое действительное число. Если , то уравнение решений не имеет.

3) При уравнение не определено. Если , то . Если , то - любое действительное число. Если , то уравнение решений не имеет.

4) Если , - любое действительное число, то .

Если , , то -любое действительное число.

Если , , то уравнение решений не имеет.

Задача 7 Найдите все значения параметра , при которых уравнение имеет бесконечно много решений.

Решение. Преобразуем данное уравнение следующим образом:

;

; .

Если , то при всех таких значениях параметра уравнение будет иметь единственное решение, и поэтому такие значения параметра нас не интересуют.

Пусть ; ; .

Значение параметра будет удовлетворять условию задачи, если при его подстановке обе части уравнения будут одновременно равны нулю.

1. Если , то

2. Если , то

Следовательно, искомое значение параметра .

Ответ: .

Задача 8. Решите уравнение при всех значениях параметров и , таких, что .

Решение. По условию, , поэтому

; ; .

Ответ: для любых значений параметров решением уравнения является число, равное 1.

Задача 9. Найдите все значения параметра , при каждом из которых решение уравнения больше 2.

Решение. ; .

Если , то уравнение решений не имеет, при всех других значениях параметра уравнение будет иметь корень, задаваемых формулой . Таким образом, искомые значения параметра будут являться решением неравенства

; ; .

Ответ: .

Упражнение 5. Найдите значение переменной , которое не может быть решением уравнения ни при одном значении параметра.

1. 3.

2. 4.

Ответы: 1) 0; 2) -4; 3) 0; 4) 1.

Упражнение 6.

1. Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение не имеет решений.

Ответ: 2.

1. Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение не имеет решений.

Ответ: -1.

1. Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение не имеет решений.

Ответ: 0.

1. Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение обращается в тождество.

Ответ: 1.

1. Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение не имеет решений.

Ответ: -1.

Решение линейных неравенств.

Задача 10 . Решите неравенство .

Решение. ; ; .

1. Если , то неравенство примет вид и его решением будет являться любое значение переменной .

2. Если , то ,

3. Если , то , .

Ответ: При решением является любое значение . При . При .

Задача 11. Решите неравенство .

Решение. . Умножим обе части неравенства на 6:

; ;

1. Если , то неравенство приобретает вид ; , из чего следует, что решением не может являться ни одно значение переменной . Таким образом, при неравенство решений не имеет.

2. Если , то , .

3. Если , то , .

Ответ: При неравенство не имеет решений.. При . При .

Задача 12. Решите неравенство .

Решение. Заметим, что в данном случае параметр может принимать только значения, отличные от нуля. При данное неравенство не имеет смысла.

; ; ; ; ; .

Типичная ошибка в данном случае – умножение на обеих частей неравенства, так как параметр может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Вспомним определение параметра как «управляющей переменной», что особенно наглядно проявляется при решении неравенств.

1. Если , то неравенство имеет вид , и его решением не может служить ни одно значение переменной _.

2. Если , т.е. когда , получим, что .

3. Если , т.е. , то .

Ответ: При неравенство решений не имеет. При .

При или

Задача 13. Решите неравенство .

Решение. Из условия следует, что параметр может принимать любые значения, кроме . Преобразуем неравенство следующим образом:

; ; ; ; .

Умножение обеих частей неравенства на приведет к ошибке в решении.

1. Если , то неравенство имеет вид и обращается в верное числовое неравенство при любом значении переменной .

2. Если , т.е. если , неравенство .

3. Если или , получим, что и .

Ответ: При решением неравенства является любое значение переменной . При . При .

Системы линейных уравнений с двумя переменными.

Определение. Системой двух линейных уравнений с двумя переменными называется система вида , где , , , , - действительные числа, причем и .

Определение. Решением системы двух линейных уравнений с двумя переменными называется упорядоченная пара значений этих переменных, обращающая в верное числовое равенство каждое уравнение системы.

Пусть пара чисел - решение данной системы. Подставляя эти значения в уравнения системы, получим верные числовые равенства: . Числовое равенство не изменится, если обе его части одновременно умножить на любое, отличное от нуля число или к обеим частям прибавить равные числа

_{Исключая} из первого уравнения, мы приводим систему равенств к виду , из которого следует, что пара чисел является решением системы . Исключая , получим , откуда следует, что та же пара чисел - решение системы . Очевидно, что если - решение одной из получившихся систем, то эта же пара чисел - решение исходной системы. Заметим, что коэффициент при остающейся переменной одинаков. Таким образом, мы приходим к методу Крамера или методу определителей решения систем линейных уравнений.

_{Определение. Определителем системы линейных уравнений называется число, равное} и записываемое в виде .

При этом правые части уравнений, содержащих одну оставшуюся переменную, также можно записать в виде определителей:

; .

Метод Крамера является наиболее удобным для исследования систем линейных уравнений.

1. Если , то система имеет единственное решение .

Эти формулы носят название формул Крамера.

Геометрический смысл единственности решения состоит в том, что прямые, задаваемые уравнениями системы, пересекаются в одной точке.

1. . Если при этом , то система решений не имеет. Геометрически это означает, что прямые, задаваемые уравнениями системы, параллельны.

2. Если ,то система имеет бесконечное множество решений вида

.

В этом случае оба уравнения системы задают на плоскости одну прямую, координаты точек которой и являются решениями данной системы.

Если коэффициенты системы , , , не равны нулю, то условие .

Если при этом и ,то ;

.

Задача 14. Решите систему уравнений .

Решение.

; ; .

. Ответ:

Задача 15. Найдите все значения параметра , при каждом из которых система уравнений имеет единственное решение.

Решение. Найдем определитель системы. .

Искомые значения параметра задаются неравенством .

.

Ответ : При система имеет единственное решение.

Задача 16. Найдите все значения параметра , при каждом из которых система уравнений не имеет решений.

Решение. Найдем определители системы: ; ; .

Система не имеет решения в том случае, если определитель системы равен нулю, а хотя бы один из частных определителей системы отличен от нуля.

Искомые значения параметра задаются системой

Корни уравнения . Подставим полученные значения в систему ; . Таким образом, при система не имеет решений.

Ответ: -4.

Задача 17. Найдите все значения параметра , при каждом из которых система уравнений имеет бесконечно много решений.

Решение. ; ; .

Так как система должна иметь бесконечное множество решений, то искомые значения параметров задаются системой

Ответ: 3.

Упражнение 7. Найдите все значения параметра, при каждом из которых система уравнений не имеет решений.

1) 2)

3) 4)

Ответы: 1) -4; 2) ; 3) -1; 4) -2

Упражнение 8. Найдите все значения параметра, при каждом из которых система уравнений имеет бесконечное множество решений.

1) 2)

3) 4)

Ответы: 1) 2; 2) 5; 3) -3; 4) 3.

Упражнение 9. Найдите все значения параметра, при каждом из которых система уравнений имеет единственное решение.

1) 2)

3) 4)

Ответы: 1) ; 2) ;

3) ; 4) .

14