Методическая разработка урока алгебры и начал анализа в 10 классе «Однородные тригонометрические уравнения»

Разработка учителя математики МКОУ «Ободинская СОШ» Хабибовой Патимат Магомедовны

Урок по алгебре и началам анализа в 10 классе на тему: «Однородные тригонометрические уравнения»

Цель урока:

- ввести понятие однородных тригонометрических уравнений I и II степени;

- сформулировать и отработать алгоритм решения однородных тригонометрических уравнений I и II степени;

- научить учащихся решать однородные тригонометрических уравнений I и II степени;

- развивать умение выявлять закономерности, обобщать;

- стимулировать интерес к предмету, развивать чувство солидарности и здорового соперничества.

Тип урока: урок формирования новых знаний.

Форма проведения: работа в группах.

Оборудование: компьютер, мультимедийная установка.

Ход урока:

1. Организационный момент.

Приветствие учащихся, мобилизация внимания.

На уроке рейтинговая система оценки знаний (учитель поясняет систему оценки знаний, заполнение оценочного листа независимым экспертом, выбранным учителем из числа учащихся).

1. Актуализация опорных знаний.

Домашняя работа проверяется и оценивается независимым экспертом и консультантами до урока и заполняется оценочный лист.

Учитель подводит итог выполнения домашнего задания.

Учитель: Мы продолжаем изучение темы «Тригонометрические уравнения». Сегодня на уроке мы познакомимся с вами с ещё одним видом тригонометрических уравнений и методами их решения и поэтому повторим изученное. Все виды тригонометрических уравнений при решении сводятся к решению простейших тригонометрических уравнений.

Проверяется индивидуальное домашнее задание, выполняемое в группах. Защита презентации «Решения простейших тригонометрических уравнений»

(Оценивается работа группы независимым экспертом)

1. Мотивация обучения.

Учитель: нам предстоит работа по разгадыванию кроссворда. Разгадав его, мы узнаем название нового вида уравнений, которые научимся решать сегодня на уроке.

Вопросы спроецированы на доску. Учащиеся отгадывают, независимый эксперт заносит в оценочный лист баллы отвечающим учащимся.

Разгадав кроссворд, ребята прочитают слово «однородные».

1. Усвоение новых знаний. Учитель: тема урока «Однородные тригонометрические ура

Запишем тему урока в тетрадь. Однородные тригонометрические уравнения бывают первой и второй степени.

Запишем определение однородного уравнения первой степени. Я на примере показываю решение такого вида уравнения, вы составляете алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения первой степени.

Уравнение вида аsinx + bcosx = 0 называют однородным тригонометрическим уравнение первой степени.

Рассмотрим решение уравнения, когда коэффициенты а и в отличны от 0.

Пример:

sinx + √3cosx = 0

разделив обе части уравнения почленно на cosx, получим

tgx + √3 = 0, tgx = - √3, х = arctg (-√3) + πn, n є Z, x = π / 3 + πn, n є Z

Ответ: π / 3 + πn, n є Z

Внимание! Делить на 0 можно лишь в том случае, если это выражение нигде не обращается в 0. Анализируем. Если косинус равен 0, то получается и синус будет равен 0, учитывая что коэффициенты отличны от 0, но мы знаем, что синус и косинус обращаются в нуль в различных точках. Поэтому эту операцию производить можно при решении такого вида уравнения.

Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения первой степени:

• Деление обеих частей уравнения на cosx, cosx ≠ 0

Уравнение вида аsin mx + bcos mx = 0 тоже называют однородным тригонометрическим уравнение первой степени и решат также деление обеих частей уравнения на косинус mх.

Уравнение вида a sin²x + b sinx cosx + c cos²x = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.

Пример:

sin²x +2sinx cosx – 3cos²x = 0

коэффициент а отличен от 0 и поэтому как и предыдущем уравнении соsх не равен0 и поэтому можно воспользоваться способом деления обеих частей уравнения на соs²х.

Получим

tg²x + 2tgx – 3 = 0

решаем путём введения новой переменной

пусть tgx = а , тогда получаем уравнение, а² + 2а – 3 = 0, Д = 4- 4 (-3) = 16

а₁ = 1 а₂ = -3

возвращаемся к замене: tgx = 1 или tgx = -3

х = π/ 4 + πn или х = arctg (-3) + πn, n є Z, х = - arctg 3 + πn, n є Z

Ответ: π / 4 + πn ; - arctg 3 + πn, n є Z.

Если коэффициент а = 0, то уравнение примет вид 2sinx cosx – 3cos²x = 0 решаем способом вынесения общего множителя cosx за скобки

Если коэффициент с = 0, то уравнение примет вид sin²x +2sinx cosx = 0

решаем способом вынесения общего множителя sinx за скобки .

Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения первой

степени:

1. Посмотреть, есть ли в уравнении член asin² x.

2. Если член asin² x в уравнении содержится (т.е. а ≠ 0), то уравнение решается делением обеих частей уравнения на cos²x и последующим введение новой переменной.

3. Если член asin² x в уравнении не содержится (т.е. а = 0), то уравнение решается методом разложения на множители: за скобки выносят cosx.

Однородные уравнения вида a sin²m x + b sin mx cos mx + c cos²mx = 0 решаются таким же способом.

Физкультминутка.

1. Формирование навыков решения однородных тригонометрических уравнений.

Решение примеров:

1)sinx – 3cosx = 0 делим обе части уравнения на cosx ≠ 0, получаем:

tgx - 3 = 0, tgx = 3, х = arctg 3 + πn, n є Z

Ответ: arctg 3 + πn, n є Z

2) sin²x + sinxcosx – 2cos²x = 0

разделим обе части уравнения на cos²x, получим: tg²x + tgx – 2 = 0

решаем путём введения новой переменной

пусть tgx = а , тогда получаем уравнение а² + а – 2 = 0; Д = 9, а₁ = 1 а₂ = -2

возвращаемся к замене: tgx = 1 или tgx = -2

х = π / 4 + πn или х = arctg (-2) + πn, n є Z, х = - arctg 2 + πn, n є Z.

Ответ: π/ 4 + πn ; - arctg 2 + πn, n є Z

1. Самостоятельная работа

Решите уравнения.

1. 2 cosx - √2 = 0

2. tg2x +1 = 0

3. 2cos²x – 3cosx +1 = 0

4. 3 sin²x + sinx cosx - 2 cos²x = 0

По окончанию самостоятельной работы меняются работами и взаимопроверка. Решение самостоятельной работы

1. 2 cosx - √2 = 0

2 cosx = √2,сosx = √2 /2

х = ±arccos √2 / 2 + 2πn, n є Z

x = π / 4 + 2πn , n є Z.

1. tg2x +1 = 0, tg2x = -1, 2x = arctg (-1) + πn, n є Z , 2x = π / 4 + πn , n є Z

x = π/ 8 + πn/2 , n є Z.

1. 2cos²x – 3cosx +1 = 0, cosx = a, тогда 2а² – 3а +1 = 0, Д= 1, а₁ = 1, а₂ = 1\2

возвращаемся к замене

cosx = 1 или cosx = 1/2

х = 2πn, n є Z или х = ± х = ±arccos 1 /2 + 2πn, n є Z, x = ±π /3 + 2πn , n є Z.

4. 3 sin²x + sinx cosx - 2 cos²x = 0

Делим на cos²x ≠ 0, 3tg²x + tgx – 2 = 0, tgx = z, 3z² + z – 2 = 0, D = 25

z₁ = -1 или z₂ = 2/3

tgx = -1 или tgx = 2/3

Ответ: x = - π /4 + πn , n є Z или x = arctg 2/3 + πn , n є Z .

Физкультминутка для глаз:

Спал цветок

(Закрыть глаза, расслабится, помассировать веки, слегка надавливая на них по часовой стрелке и против нее.)

И вдруг проснулся,

(Поморгать глазами.)

Больше спать не захотел,

(Руки поднять вверх (вдох). Посмотреть на руки.)

Встрепенулся, потянулся,

(Руки согнуты, в стороны (выдох).)

Взвился вверх и полетел.

(Потрясти кистями, посмотреть вправо-влево.)

1. Подведение итогов урока

1. С каким видом тригонометрических уравнений мы познакомились на уроке?

2. Алгоритм решения тригонометрических уравнений первой и второй степени?

1. Задание на дом.