Методическая разработка урока "Цилиндр. Понятие. Площадь поверхности цилиндра."

Дисциплина/МДК: МАТЕМАТИКА

Тема учебного занятия: “Цилиндр. Понятие. Площадь поверхности цилиндра”

Задачи занятия:

1. Формирование умений задавать вопросы и строить цепочку логических рассуждений, выводов.

2. Формирование навыков работы с текстом, с новыми понятиями.

3. Знакомство с понятием цилиндра;

4. Формирование навыков доказательства теорем стереометрии.

Цели занятия:

Образовательные: Ввести понятия цилиндрической поверхности, цилиндра и его элементов, ознакомить с примерами практического применения цилиндра в практической деятельности, в том числе в производственной практике,

Закрепить знания обучающихся при решении задач,

Воспитательные: воспитать ответственное отношение к учебе, трудолюбие, целеустремленность; объективно оценивать свои знания, осуществлять самоконтроль взаимоконтроль.

Развивающие: Развивать пространственное мышление обучающихся, умения анализировать и систематизировать материал, делать выводы, умение применять полученных в различных ситуациях, в том числе в практической деятельности.

В результате проведения занятия у обучающихся формируется следующие компетенции:

Освоенные умения:

• соотносить плоские геометрические фигуры и трехмерные объекты с их описаниями, чертежами, изображениями;

• различать и анализировать взаимное расположение фигур;

• изображать геометрические фигуры и тела, выполнять чертеж по условию задачи;

Усвоенные знания:

• решать геометрические задачи, опираясь на изученные свойства планиметрических и стереометрических фигур и отношений между ними, применяя алгебраический и тригонометрический аппарат;

• проводить доказательные рассуждения при решении задач, доказывать основные теоремы курса;

• вычислять линейные элементы и углы в пространственных конфигурациях, объемы и площади поверхностей пространственных тел и их простейших комбинаций;

• строить сечения многогранников и изображать сечения тел вращения;

• использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для исследования (моделирования) несложных практических ситуаций на основе изученных формул и свойств фигур для вычисления длин, площадей и объемов реальных объектов при решении практических задач, используя при необходимости справочники и вычислительные устройства.

Тип занятия: урок изучения нового материала с применением ИT (информационных технологий).

Вид занятия:

комбинированный урок.

Методы обучения:

информационно-развивающий (объяснение, беседа);

наглядно-иллюстративный (демонстрация слайдов);

репродуктивный (решение задач);

проблемный (постановка проблемного вопроса, эвристическая беседа).

Межпредметные связи: черчение, история

Комплексно-методическое обеспечение:

модели геометрических фигур; плакат; компьютер, проектор, экран, карточки-задания.

Информационная база занятия:

1. Организационный момент

2. Актуализация знаний учащихся

3. Изучение нового материала

4. Закрепление материала

5. Рефлексия и самооценка

6. Постановка домашнего задания

Технологическая карта урока

ХОД ЗАНЯТИЯ:

I. Организационный момент

II.Актуализация знаний обучающихся

Эпиграфом к сегодняшнему уроку служат слова великого русского писателя и поэта А.С. Пушкина «Вдохновение нужно

в геометрии не меньше, чем в поэзии»

Устная работа. Название темы сегодняшней темы урока узнаем, после повторения многогранников. Перед вами находится кроссворд. Вам предстоит ответить на следующие вопросы.

1 . Треугольная пирамида. (Тетраэдр)

2. Что является основанием правильной четырехугольной призмы? (Квадрат)

3. Отрезок, соединяющий две вершины призмы,

не принадлежащие одной грани. (Диагональ)

4. Многогранник, состоящий из двух равных оснований

и отрезков, соединяющих соответствующие

точки оснований. (Призма)

5. Основанием параллелепипеда является ….(параллелограмм)

6. Многогранник, который состоит из многоугольника, вершины, отрезков, соединяющих вершину с точками многоугольника. (Пирамида)

7 . Назовите фигуру:

( Трапеция)

Итак, в выделенной части кроссворда набрали оределенный набор букв. Эти буквы нужно расположить в определенный порядок, чтобы ответить на вопрос: Какая тема нашего урока?

Это слово Цилиндр. Итак, тема нашего урока: « Цилиндр»

I II. Изучение нового материала

С этим геометрическим телом человек знаком давно. Этому способствовали виды стволов деревьев, из которых со временем начали изготавливать балки для строительства жилищ, мостов и других сооружений. Ещё 3–4 тысячи лет назад люди научились украшать храмы и дворцы высокими колоннами, для чего из каменных глыб вытёсывали это. Древний термин названия этого происходит от греческого слова “килиндро” – вращаю, катаю. “Килиндрос” – свиток, валик. Евклид, указывая на способ образования этого, говорит, что если прямоугольник, вращающийся около одной из сторон, снова вернётся в то же самое положение, из которого он начал двигаться, то описанная фигура и будет этим геометрическим телом.

Как вы думаете, о чём идёт речь?

(Учащиеся предлагают варианты ответов)

Вот и поговорим сегодня о геометрическом теле, о цилиндре.

На сегодняшнем уроке вы узнаете, что такое цилиндр, из каких элементов состоит цилиндр, свои знания закрепите при решении задач и при выполнении математического диктанта.

Открыли тетради, записали тему нашего урока.

Рассмотрим рисунок цилиндра, изображённый в учебнике на странице 120, составим перечень новых понятий и покажем на рисунке в тетради.

Попробуем сформулировать определение цилиндра.

Цилиндр – это…

Как может быть образован цилиндр?

Какие сечения могут быть образованы секущей плоскостью при пересечении цилиндра? (Готовые рисунки можно рассмотреть в учебнике.)

Отдельно в цилиндре выделяют боковую поверхность и основания. Чтобы более наглядно представить боковую поверхность, возьмём лежащий на столе лист бумаги и свернём в виде свитка. Теперь вернём лист в первоначальное положение. Какую геометрическую фигуру вы получили? Этот прямоугольник называют развёрткой боковой поверхности цилиндра.

Как вы думаете, чему равна площадь боковой поверхности?

Предлагаю доказать теорему о площади боковой поверхности цилиндра.

(Учащиеся приводят доказательство, основываясь на том, что за площадь боковой поверхности цилиндра принимают площадь его развёртки, т.е. прямоугольника, и приходят к формуле: S= 2 rh). Вывод и доказательство учащиеся записывают в тетрадь.

Кроме площади боковой поверхности у цилиндра вычисляют и площадь полной поверхности. Чем образована полная поверхность цилиндра? По какой формуле можно вычислить её площадь?

S= 2 rh +2 r².

Цилиндр - от латинского слова cylindrus(цилиндрус), «валик», «каток» .

В полиграфии цилиндр является основным элементом печатных машин, принтеров, плоттеров.

К роме этого, цилиндры применяются при создании документов, при работе с диаграммами, в переплетном деле.

В форме цилиндра изготовлен оригинальный календарь из категории антистрессов, трансформируется во множество фигур, позволяет размещение большого количества рекламной информации

Ц илиндр может быть получен путем вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон. (слайд)

Цилиндр– это тело вращения, которое состоит из двух кругов, совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов.

– Какая фигура лежит в основаниях цилиндра? (круги)

Круги называются основаниями цилиндра.

–Что можете сказать про основания цилиндра?

Основания цилиндра равны и лежат в параллельных плоскостях.

Отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов называются образующими цилиндра.
AB, CD – образующие цилиндра

– Сколько образующих имеет цилиндр?

– Как расположены образующие?

Радиус цилиндра – это радиус его основания.(OA)
Высота цилиндра – расстояние между плоскостями оснований. (ОО₁)
Ось цилиндра – прямая, проходящая через центры оснований.

Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований.

СЕЧЕНИЯ ЦИЛИНДРА

Теорема Плоскость, параллельная плоскости основания цилиндра, пересекает его боковую поверхность по окружности, равной окружности основания.

Сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной его оси – круг (слайд).

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной

его оси есть прямоугольник (слайд).

Осевое сечение

цилиндра –сечение цилиндра плоскостью,проходящей через ось цилиндра (слайд).

Равносторонний цилиндр, если осевым сечением является квадрат

IV Закрепление материала

Преподаватель: Ребята, возникла проблема, моему знакомому мальчику для выступления на сцене необходимо изготовить из бумаги шляпу в виде кругового цилиндра. Как ему помочь?

(Студенты предлагают свои идеи решения проблемы).

1. Необходимо измерить охват головы (это длина окружности основания цилиндра).

Пусть L =30 см.

1. Вычислить радиус окружности по формуле: L = R.

R = L/ .

R = 30/ ~ 4,7 см ~ 5 см

1. Развёртка цилиндра это прямоугольник, являющийся боковой поверхностью цилиндра и два круга, являющиеся основаниями цилиндра. Нам необходимо построить прямоугольник и один круг.

Стороны прямоугольника это длина окружности (L = 30 см) и произвольная высота (высота цилиндра). Пусть высота Н = 20 см.

1. Определим сколько бумаги нам необходимо. Для этого вычислим площадь прямоугольника и площадь круга. Затем их сложим.

Sпр. = L *Н = 30*20 = 600см²; Sкр = R ² = 3.14*5² ~ 79см² . Площадь необходимой бумаги: 600+79 = 679 см². Разделим на высоту цилиндра. Получим длину рулона бумаги шириной 20 см. 679/20 = 33,95 см. Итак рулон бумаги 33,95см на 20 см.

1. Осталось вырезать прямоугольник со сторонами 20см на 30 см и круг радиусом 8 см(учесть напуски для склеивания бумаги).

Преподаватель: Попробуйте записать формулу которая получается в результате нахождения объёма необходимой бумаги, но теперь учтите оба основания цилиндра. (Обучающиеся работают самостоятельно).

Приходят к выводу: S = RН + 2 R ²= 2 R(Н+ R).

Преподаватель: Сформулируйте на математическом языке, что вычисляют по данной формуле.

Ответ: Площадь поверхности цилиндра.

Преподаватель: Вы сами вывели формулу для вычисления площади поверхности цилиндра. Запишите эту формулу в тетрадь. Sп.п.ц. = RН + 2 R ²= 2 R(Н+ R).

Рассмотрим применение данного материала при решении практических задач.

Страница 123 учебника, № 539, № 522, № 526.

(Комментарии учащимися каждой задачи у доски и оформление в тетради).

Вопрос. – Осевые сечения двух цилиндров равны. Равны ли высоты этих цилиндров?

(нет) (слайд).

Задача №1 Учебник стр. 92

Радиус основания цилиндра 2 м, высота 3 м. Найдите диагональ осевого сечения.

Задача №2

В ысота цилиндра 7 см, радиус основания 4 см.

Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

Задачи для устного решения.

Задача №1.

Дано: d = 8 м

Найти: Sкруга

Sкруга = πR²

Ответ: 8π м²

Задача №2.

Дано: ОА= 8,

Найти: l

l=2πR

Ответ:16π

Задача №3.

Дано: ABCD –прямоугольник,

CD=3, AC=5

Найти: SABCD

Ответ: 12

А

Преподаватель: Как вычислить площадь боковой поверхности цилиндра?

Ответ: Sб.п.ц. = RН

Преподаватель:

-Давайте решим следующие задачи на доске.

Задача 1. 

Радиус основания цилиндра равен 17, высота равна 5. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на π.

Решение:

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле , где H– высота цилиндра, R– радиус.

Тогда =150π

Следовательно,

Ответ: 150.  

Задача 2.

Площадь осевого сечения цилиндра равна 23. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на π.

.

Решение:

Площадь осевого сечения цилиндра есть (где H– высота цилиндра, R– радиус). Поэтому

23=

Площадь боковой поверхности цилиндра равна ,

Подставляя в последнюю формулу значение , получаем

Тогда

Ответ: 23.

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП:

V. Рефлексия и самооценка

- Подведение общих итогов занятия

Преподаватель: Сегодня на занятии вы научились/попробавили/узнали……

Рефлексия.

А теперь вернемся к тому, с чем познакомились в течение этого урока. Какие моменты урока вам запомнились больше всего, что показалось трудным, какой этап урока показался самым успешным?

Оцените свою активность на уроке по 10 балльной шкале.

(Отметку каждый учащийся ставит в тетради).

Сегодня на уроке я узнал ….

Теперь я могу …

Было интересно…

У меня возникли затруднения при …

Знания, полученные сегодня на уроке, пригодятся…

Составление синквейна (на выполнение задания дается 2–3 мин).

Цилиндр

Знакомо, но много неизвестно
Построить, найти, вычислить
В свои силы надо верить
Интересно!

- Оценка результатов работы обучающихся

Преподаватель: По итогам занятия вы получили следующие оценки.

VI. Домашнее задание

- Задание на дом

Преподаватель: Запишите домашнее задание:

• выучить определения, теорему;

• № 523;

• составить практическую задачу по данной теме.

• Изготовить модель цилиндра.

Литература

1. Башмаков М.И.Учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования. — 9-е изд., стер. — М.: Академия, 2014. — 256 с.

2. Погорелов А.В. Учебник для 10-11 классов.    Издательство»Просвещение» , М. 2014

3. «Поурочные планы. Геометрия 11»  Т.Л. Афанасьева.Л.А. Тапилина Издательство «Учитель». г.Волгоград . 2005г.

4. Г. Глейзер. История математики в школе. 9-10 классы.

5. Пособие для учителя. «Теорема Эйлера» о многогранниках. О правильных многогранниках. 1983 г.

6. Детская энциклопедия. Том № 2, 1965 г. Леонард Эйлер.

7. Энциклопедия для детей. Том № 11, 1998 год. Многогранники.

8. М. Веннинджер. Модели многогранников. Перевод с английского. 1974 г.

9. А. Погорелов. Геометрия. 10-11 класс. 2004 г.

10. Ю. Киселев. Геометрия. 11 класс. 2008 г. Историческая справка.

11. Геометрия 10-11 классы Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов. 2012г.

ИНТЕРНЕТ-РЕСУРСЫ

1. http://ru.wikipedia.org/wiki

2. http://festival.1september.ru

3. http://www.exponenta.ru/ 

4. http://school-collection.edu.ru

КРОССВОРД

1. Треугольная пирамида.

2. Что является основанием правильной четырехугольной призмы?

3. Отрезок, соединяющий две вершины призмы,

не принадлежащие одной грани.

4. Многогранник, состоящий из двух равных оснований

и отрезков, соединяющих соответствующие

точки оснований.

5. Основанием параллелепипеда является ….

6. Многогранник, который состоит из многоугольника, вершины, отрезков, соединяющих вершину с точками многоугольника.

7 . Назовите фигуру:

КРОССВОРД

1. Треугольная пирамида.

2. Что является основанием правильной четырехугольной призмы?

3. Отрезок, соединяющий две вершины призмы,

не принадлежащие одной грани.

4. Многогранник, состоящий из двух равных оснований

и отрезков, соединяющих соответствующие

точки оснований.

5. Основанием параллелепипеда является ….

6. Многогранник, который

состоит из многоугольника, вершины, отрезков,

соединяющих вершину с точками многоугольника.

7. Назовите фигуру:

Ответы:

1.тетраэдр 2.квадрат 3.диагональ 4.призма 5.параллелограмм 6.пирамида 7.трапеция