Методическая разработка урока в 8 классе по алгебре "Квадратные уравнения. Выбор оптимального решения"

Класс

Тема

УМК

8

Квадратные уравнения. Выбор оптимального решения

«Алгебра: 8 класс» под ред. Г.В. Дорофеева

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

1. Актуализация опорных знаний учащихся

-Здравствуйте! Знаменитый итальянский учёный, художник, гений Эпохи Возрождения Леонардо Да Винчи когда-то писал: «Наибольшую радость человеческому телу даёт солнечный свет, наибольшую радость человеческому духу – ясность математической истины». Я призываю вас, уважаемые ученики, доставить радость вашей душе, ещё раз погрузившись в теорию квадратных уравнений.

- Здравствуйте!

-Сформулируйте, пожалуйста, определение квадратного уравнения

-Сформулируйте определение корня квадратного уравнения

-Что значит – решить квадратное уравнение?

-Как известно, первый коэффициент а не обращается в 0 по определению. -Могут ли коэффициенты в, с принимать значение 0?

-Как в этом случае называются квадратные уравнения?

-Если ни один из коэффициентов – в, с не обращаются в 0?

-Сколько случаев неполных квадратных уравнений мы различаем? Какие это случаи?

-Мы с вами уже знаем, как решать неполное квадратное уравнение в каждом случае, сегодня мы ещё к этому вернёмся.

-Среди всех квадратных уравнений, какие мы ещё уравнения различаем по значению коэффициента а?

- Квадратным уравнением называется уравнение вида ах²+ bх + с = 0, где коэффициенты а, в, с - действительные числа, а ≠ 0.

- Корнем квадратного уравнения ах² + вх + с = 0 называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен ах² + вх + с обращается в нуль.

- Решить квадратное уравнение — значит найти все его

корни или установить, что корней нет.

- Да, могут.

- Неполные квадратные уравнения.

- Это полные квадратные уравнения.

- Их три: первый – в=с=0, второй – в≠0, с=0, третий – в=0, с≠0.

- Приведённые (когда первый коэффициент равен 1) и неприведённые (все остальные случаи).

-Уважаемые дети, не секрет, что теория уравнений и неравенств занимает в школьном курсе математики достойное ведущее место. Это связано с тем, что большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений и неравенств. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических иррациональных и т.д. уравнений и неравенств. Многие практические задачи решаются с их помощью. Необходимость решать уравнения не только первой степени, но и второй – квадратные ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков, с земляными работами фортификации, с развитием такой науки, как астрономия. Актуально это и сейчас. Приведите примеры, которые вы знаете, где необходимо знание решений квадратных уравнений.

При необходимости добавление учителя: в сопромате, в машиностроении, архитектуре, в программах для записи видео, звука, векторной и растровой графики.

-Таким образом, без решения квадратных уравнений немыслимо проектирование сложной электроники, механики, техники. Конечно, сейчас разработаны программы по решению квадратных уравнений, применяя которые в один клик можно получить корни. Но прежде чем поехать на автомобиле, человек должен научиться ходить. Так и здесь: мы должны уметь решать квадратные уравнения, причём, не просто решать, а решать как можно быстрее, в нашем случае рациональнее. Давайте вспомним, какие способы решения квадратных уравнений нам известны?

-Необходимо заметить, что некоторые из этих способов в каждом конкретном случае имеют преимущество над другими – во времени и в степени сложности. Предлагаю вашему вниманию квадратное уравнение _+3х+2=0. Решите его всевозможными способами, из перечисленных выше. Можно выйти к доске.

-Уважаемые ученики, какой способ наиболее прост, на ваш взгляд? Почему?

2. Мотивация;

Да, конечно. Можно поехать от Москвы до Санкт-Петербурга на велосипеде, на Сапсане, а раньше ходили пешком или ездили на телеге, запряжённой лошадью. Каждый из способов путешествия имеет свои прелести, но что касается времени, затраченного на преодоление пути, то, несомненно, быстрее на Сапсане. С этим трудно поспорить. Но представьте, что есть способ, который приводит к нахождению корней этого уравнения ещё быстрее. С этим способом и с некоторыми ещё вы сможете сейчас познакомиться, работая в группах. Вашему вниманию будет представлена информация. Ваша задача: ознакомиться с представленной информацией, решить квадратные уравнения, определив для каждого наиболее оптимальный способ вычисления корней, используя полученную информацию.

3. Знакомство с различными нетрадиционными способами решения квадратных уравнений (в группах);

-Уважаемые дети, ответьте мне на вопрос: какой способ из тех, с которыми вы ознакомились, приводит к определению корней ещё быстрее, чем теорема, обратная теореме Виета?

1. Групповая работа по отбору способа решения квадратных уравнений и решению квадратных уравнений; коллективное обсуждение;

-Следующее задание каждой группе – решить предложенные квадратные уравнения, подбирая наиболее удобный способ решения:

1. _;

2. _- 5_- 2=0;

3. _- 2_- 1=0;

4. _

5. _+5_- 1=0;

6. _

7. _+115=0

8. _- 3_- 1=0;

9. 2_+5_ + 3=0;

10. _;

11. 5_

12. 18_-90_+108=0;

13. -_+1)_-1=0;

14. 345_

Учитель оказывает необходимую помощь группам, отдельным учащимся, испытывающим затруднения.

- Итак, уважаемые ученики, давайте с вами обсудим полученные результаты, а затем подведём итог нашему уроку.

-Оцените свою работу и степень вашей включенности в общий результат группы. Поставьте себе оценку. Дайте оценку работе товарищей.

1. Рефлексия, итог урока;

-Итак, сегодня мы с вами познакомились с новыми способами решения квадратных уравнений. Имеют ли они практическое значение? Если да, то какие из них именно?

-Получаем ли мы, применяя эти способы, выигрыш во времени? В степени сложности?

-Почувствовали ли вы удовольствие от того, что новые знания помогли вам проще решить предложенные квадратные уравнения?

Да, действительно, с далёких времён люди совершали попытку найти способы решения квадратных уравнений. Немалый труд к созданию теории решения уравнений приложили такие учёные, как немецкий математик Михаэль Штифель, итальянский математик Джероламо Кардано, французские математики Рене Декарт и Франсуа Виет, английский математик Исаак Ньютон и многие другие. Вот интересный факт. С понятием «Золотого сечения» тесно связано квадратное уравнение

_. О других интересных фактах и о многом другом, связанным с решением квадратных уравнений, можно ознакомиться в математических книгах и журналах, найти на просторах Интернета.

Откройте, пожалуйста, дневники и запишите задание на дом. В качестве домашнего задания предлагаю сконструировать 7 квадратных уравнений на применение различных способов решения и записать на карточке. На следующем уроке вы обменяетесь и порешаете созданные вами уравнения в парах. По желанию вы можете подготовить сообщения об интересных фактах, связанных с теорией квадратного уравнения.

-Урок окончен. Спасибо за урок!

- При расчётах взлёта и посадки самолёта;

- при расчётах тормозного пути автомобиля;

- при вычислении мощности ракеты для вывода на орбиту космического корабля и просадки на Землю;

- при расчётах траектории движения различных физических тел – от элементарных частиц до звёзд;

В экономических дисциплинах;

- С помощью разложения на множители;

- Выделением квадрата двучлена;

- По формуле через дискриминант;

- По второй формуле через дискриминант, делённый на 4 (когда второй коэффициент – чётное число);

-Подбором, с помощью теоремы, обратной теореме Виета (когда квадратное уравнение приведённое);

-Случаи решения неполных квадратных уравнений.

Учащиеся решают и демонстрируют решение на доске:

1) По формуле через дискриминант:

D=_-4ас=9-8=1, D0, _=_; _= - 1.

2)Способом разложения на множители:

_+3х+2=_+2х+х+2=х(х+2)+(х+2)=(х+2)(х+1).

(х+2) (х+1) =0,

х+2=0 или х+1=0,

_= - 1.

3)Выделением квадрата двучлена:

_+3х+2=_+2∙х∙_+_+2=_-_+2=_-_;

_-_=0,

_= _;

_=_ или _=_

_=_ | _=_{ }

_= -2.

4) Подбором, с помощью теоремы, обратной теореме Виета:

Если приведённое квадратное уравнение имеет корни, то _

Значит, это числа -2 и -1. Итак, _= - 1.

-Это четвёртый способ: подбором, по теореме, обратной теореме Виета. Решение занимает меньше всего времени. Легко подобрать два целых числа, которые в произведении дают 2, а в сумме -3.

Учащиеся в группах знакомятся с другими способами решения квадратных уравнений из источников, которые заранее приготовлены учителем. Среди них: решение уравнений методом переброски первого коэффициента, решение квадратных уравнений специального вида (когда сумма всех коэффициентов равна 0, когда сумма первого коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту), геометрический способ решения квадратных уравнений (для всех групп); графический способ, решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки, с помощью номограммы (для групп детей, интересующихся математикой).

- В уравнении _+3х+2=0 сумма первого коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту, (1+2=3), значит, один из корней равен числу -1, а второй корень находится по формуле -_ = -2

В группах учащимися проводится решение заданных квадратных уравнений. Предварительно учащимися в группе обсуждается наиболее оптимальный способ решения, проводится корректировка решения. Учащиеся могут обращаться друг к другу за помощью, а также проконсультироваться у учителя.

- Уравнение 1. Корни: -4; -1. Решается как уравнение специального вида: когда сумма первого коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту. Значит, один из корней равен числу -1, а второй корень находится по формуле -_.

- Уравнение 2. Корни:-_;1. Решается как уравнение специального вида: когда сумма всех коэффициентов равна 0. Значит, один из корней равен числу 1, а второй корень находится по формуле _.

- Уравнение 3. Корни:-_; _. Решается методом переброски первого коэффициента, в процессе решения видоизменённого квадратного уравнения применяется теорема, обратная теореме Виета, затем найденные корни делятся на первый коэффициент.

- Уравнение 4. Корней нет. Неполное квадратное уравнение (случай, когда в=0, с≠0). Решается переносом в правую часть уравнения коэффициента с, изменяя его знак на противоположный, и делением обеих частей на коэффициент а. В итоге квадрат переменной оказывается равным отрицательному числу, чего быть не может.

- Уравнение 5. Корни:- _; _. Решается методом переброски первого коэффициента, в процессе решения видоизменённого квадратного уравнения применяется теорема, обратная теореме Виета, затем найденные корни делятся на первый коэффициент.

- Уравнение 6. Корни: 0;5. Неполное квадратное уравнение (случай, когда в≠0, с=0). Решается вынесением общего множителя за скобки и применяется условие равенства произведения множителей нулю.

- Уравнение 7. Корни:-1; -_ . Решается как уравнение специального вида: когда сумма первого коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту. Значит, один из корней равен числу -1, а второй корень находится по формуле -_.

- Уравнение 8. Корни:-_; 1. Решается как уравнение специального вида: когда сумма всех коэффициентов равна 0. Значит, один из корней равен числу 1, а второй корень находится по формуле _.

- Уравнение 9. Корни: -1,5; -1. Решается как уравнение специального вида: когда сумма первого коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту. Значит, один из корней равен числу -1, а второй корень находится по формуле -_.

- Уравнение 10. Корни: 2-3_; 2+3_. Решается по второй формуле через дискриминант, делённый на 4 (когда второй коэффициент – чётное число);

- Уравнение11. Корни: -_; _. Неполное квадратное уравнение (случай, когда в=0, с≠0). Решается переносом в правую часть уравнения коэффициента с с противоположным знаком и делением обеих частей на коэффициент а. В итоге квадрат переменной оказывается равным положительному числу, значит уравнение имеет два противоположных действительных корня.

- Уравнение12. Корни: 2; 3. Решается делением обеих частей уравнения на 18, так как все коэффициенты кратны 18, а затем корни находятся подбором, с использованием теоремы, обратной теореме Виета.

- Уравнение13. Корни: _.; 1. Решается как уравнение специального вида: когда сумма всех коэффициентов равна 0. Значит, один из корней равен числу 1, а второй корень находится по формуле _.

- Уравнение 14.Корни:-_; 1. . Решается как уравнение специального вида: когда сумма всех коэффициентов равна 0. Значит, один из корней равен числу 1, а второй корень находится по формуле _.

Учащиеся дают оценку деятельности по её результатам (самооценивание, оценивание результатов деятельности товарищей по группе).

- Да, это метод переброски коэффициента, решение уравнений специального вида.

- Они действительно, помогают быстрее, чем традиционные способы, определять корни. Быстрее и проще.

Предполагаемый ответ: Да.

Учащиеся записывают домашнее задание на дом.

-Спасибо. До свидания.