Методические рекомендации для студентов по теме «Решение показательных уравнений»

ГАПОУ ПО ПКАС

отделение строительства

Методические рекомендации

для студентов

по теме «Решение показательных уравнений»

Баннова О.В.

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1. Уравнение-это равенство, содержащее неизвестную величину, значение которой нужно найти.

2. Корень уравнения – это значение неизвестной величины, при котором равенство не теряет смысла.

3. Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

4. Функция, заданная формулой у = а^х (где а 0, а≠ 1), называется показательной функцией с основанием а.

D (y) = R (область определения – множество всех действительных чисел).

E (y) = R₊ (область значений – все положительные числа).

при а 1, функция возрастает при 0

Определение 1. Показательными уравнениями называются уравнения, содержащие неизвестную величину в показателе степени.

К таким относятся, например, уравнения , и другие.

При решении показательных уравнений необходимо помнить, что решение любого показательного уравнения сводится к решению “простейших” показательных уравнений, то есть уравнений вида:

1. a^f(x)=a^g(x) или 2. a^f(x)=b.

Определение 2. Простейшим показательным уравнением называется уравнение вида: a ^x= b.

Рассмотрим основные способы решения показательных уравнений на частных примерах.

Способ 1. Приведение обеих частей к общему основанию, применяя свойства степеней.

Примеры:

1. 9^x = ;

3^2x = 3^-3;

x = - .

Ответ: х =- .

1. ;

;

; x = 3

Ответ: x = 3.

1. ; ; х= Ответ: х=

1. ()^x ∙ ()^x = .

По свойству степени: (^x = ;

(^x = ()³ ; х= 3.

Ответ: х= 3.

1. = ()^4-5x;

= ()^-4+5x;

x² = - 4+5x;

x²-5x+4 = 0; x₁ =4; x₂ =1.

Ответ: x₁ = 4; x₂ = 1.

Ответ:

. После преобразований получим:

. Откуда .

: x=10

Способ 2. Вынесение общего множителя за скобку.

Примеры:

1. 6^x+1+356^x-1 = 71;

6^x-1(6²+35) =71;

6^x-1 = 1;

6^x-1= 6⁰;

x = 1.

Ответ: x = 1.

1. 7∙ -

∙(7-5) =

∙ 2 =

=

= ; = -3. Ответ: x = -3.

1. 2^x+5 ∙2^x+1+7 ∙2^x+2 = 312.
   Вынося в левой части уравнения за скобки 2^x, получим

2^x ∙(1+5 ∙2¹+7 ∙2²) = 312;
2^x ∙39 = 312;

2^x = 8;

2^x = 2³;

х = 3.
Ответ: х = 3.

1. 3^x-2 ∙3^x-2 = 63.
   3^x-2 ∙(3²-2) = 63;
   3^x-2 ∙7 = 63;
   3^x-2 = 9;
   3^x-2 = 3²;
   x-2 = 2; x = 4.
   Ответ: x = 4.

2. +

Наименьшим показателем степени является х-1; поэтому вынесем за скобки :

(+

(+

х - 1= 1;

х = 2. Ответ: x = 2.

Способ 3. Приведение показательного уравнения к квадратному.

1. 7^2x-8 ∙7^x+7 =0
   Данное уравнение имеет вид A ∙ a^2x+B ∙ a^x+C=0.

Пусть = у, тогда 7^2x =у² и для определения y получим квадратное уравнение: y²-8y+7 =0;
y₁ =7; y₂ =1.
Имеем:
1) 7^x =7; 7^x =7¹; x =1; 2) 7^x =1; 7^x =7⁰; x =0;
Ответ: x₁ =1; x₂ =0.

1. 5∙5^2x-6 ∙5^x+1 =0

Пусть: = у, тогда 5у² - 6у + 1у = 0:

D=16; у₁= , у₂= 1.

Так как у₁=, то = , х= -1;

у₂= 1, то = 1 , х= 0;

Ответ: x₁ = -1; x₂ =0.

1. 2^2+x-2^2-x =15;
   2² ∙ 2^x-2² ∙ 2^-x =15;
   Получили уравнение вида A ∙ a^x+ B ∙ a^-x+ C=0.

Используя подстановку 2^x = y и 2^-x, переходим к уравнению 4y- = 15 или 4y²-15y-4 = 0. Находим корни: y₁ = 4; y₂ = - .
1) 2^x = 4; 2^x = 2²; x = 2;
2)2^x = -- - корней нет, так как 2^x0, xR.
Ответ: x = 2.

1. 4^x+6^x =2 ∙ 3^2x.
   2^2x+2^x ∙ 3^x-2 ∙ 3^2x =0.

Разделим обе части последнего уравнения почленно на 3^2x:
Тогда + -2 = 0;

()^2x+()^x-2 = 0.
Пусть ()^x = y, тогда ()^2x = y²; y²+y-2 = 0;
y₁ = 1; y₂ = - 2.
1) ()^x = 1; ()^x = ()⁰; x = 0.
2) ()^x = - 2 - корней нет.
Ответ: x = 0

1. =0.

Первый член уравнения можно представить в виде .

Тогда исходное уравнение принимает вид -= 0;

Обозначим: = с, тогда

с₁=3, с₂ = 1.

Второй корень смысла не имеет, так как показательная функция всегда положительна. Итак,

Ответ: x = 1.

Задачи ЕГЭ:

x = - 7

Ответ: x = - 7

Решение:

Сделаем замену: , при этом тогда

Получим квадратное уравнение:

Его корнями являются числа: 4 и – 1.

Условию удовлетворяет только

Решим уравнение: , x = 1

Ответ: x = 1

Решение: Поделим уравнение на

Сделаем замену: , при этом тогда

Получим квадратное уравнение:

Его корнями являются числа: 1 и – 2.

Условию удовлетворяет только

Решим уравнение: , x = 0.

Ответ: x = 0.

1. 125 ∙

Решение: Преобразуем левую и правую части уравнений, используя свойства степеней: 125 ∙∙

Получаем ∙=

Учитывая свойства степенной и показательных функций делаем вывод, что левая часть уравнения всегда убывает, а правая всегда возрастает, следовательно их графики могут пересечься только в одной точке. Найдем этот корень. При x=1 левая часть уравнения больше правой. При x=2 левая часть уравнения меньше правой. Значит корень лежит между 1 и 2. Проверим x=1,5. Левая часть равна правой, следовательно x=1,5 - единственный корень уравнения.

Ответ: x = 1,5.

Задания для самостоятельной работы

Тест по теме: Показательные уравнения.

Вариант1

1. Решите уравнение: .

а) -; б) - ; в) ; г) .

1. Решите уравнение: .

а) -2; б) -1,5; 0,5; в) -0,5; 1,5; г) -0,5; 2.

1. Решите уравнение: 5∙4∙.

а) -1; б) 4; в); г) -2.

1. Решите уравнение: 7∙.

а) 0,5; б) -0,5; в) 1; г) -1.

1. Решите уравнение: -3. Запишите сумму его корней:

а) 2; б) -1; в) 4; г) -2.

1. Решите уравнение: .

Ответ:_________________________

7. Найдите наибольшие корни уравнения:

Ответ:_________________________

Тест по теме: Показательные уравнения.

Вариант2

1. Решите уравнение: .

а) –; б) – 0,2; в)1,4; г)1,7.

1. Решите уравнение:

а) -3; б) -3; -; в) 3; -; г) 3; ;

1. Решите уравнение: 2∙4∙.

а) 3; б) 1; в) 9; г) 2.

1. Решите уравнение: 3∙.

а) 0,5; б) -1; в) -2; г) -0,5.

1. Решите уравнение: -2. Запишите сумму его корней:

а) -1; б) 1,5; в) -2; г) 1.

1. Решите уравнение: .

Ответ:_________________________

7. Найдите наибольшие корни уравнения:

Ответ:________________________

Задания для индивидуальной работы.

Индивидуальная работа №1.

Индивидуальная работа № 2

Индивидуальная работа № 3

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ