Методические рекомендации для учителей математики по решению задач с экономической направленностью

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Центр образования №34 имени Героя Советского Союза

Николая Дмитриевича Захарова», г. Тула

Методические рекомендации

для учителей математики

по решению задач с экономической направленностью по материалам ЕГЭ

Выполнила:

Шкляева Ольга Александровна,

учитель математики МБОУ «ЦО №34»

Тула, 2021

Введение

Одной из важнейших задач современной школы является не только формирование и развитие у ученика предметных универсальных учебных действий, а воспитание социально адаптированного делового человека, компетентного в сфере социально-трудовой деятельности, а также в бытовой сфере. Сегодня жизнь настоятельно требует, чтобы выпускник имел развитое экономическое мышление и был готов к жизни в условиях рыночных отношений.

Именно это стало основой для включения задач экономического содержания (№17) с 2015 года в структуру КИМ ЕГЭ по математике профильного уровня.

16 декабря 2020 года на сайте ФИПИ опубликовали новые перспективные модели ЕГЭ, которые планируют внедрить с 2022 года. И мы видим, что в профильной математике поменялись местами задания 16 и 17, что говорит о том, что задачи с экономическим содержанием «перестают» быть сложными. Однако, эти задачи всё еще оказываются не по силам обучающимся.

К сожалению, задач с экономическим содержанием в учебниках школьного курса, недостаточно для того, чтобы появилось полное понимание и осмысление, а задачи экономической направленности повышенного уровня сложности в курсе старшей общеобразовательной школы не рассматриваются.

Данную проблему можно решить с помощью элективных курсов, факультативов, нестандартных уроков. Практика вступительных экзаменов далеко оторвалась от школы и достаточно велики «ножницы» между требованиями, которые предъявляет к своему выпускнику школа, и требованиями, которые предъявляет к своему поступающему вуз, особенно вуз высокого уровня.

Поэтому для своих учащихся я разработала элективный курс «Финансовая математика». Цель курса – научить учащихся методом решения задач с экономическим содержанием, помочь преодолеть психологический барьер.

1. Проценты в математике

Знакомство с задачами экономической направленности повышенного уровня сложности

лучше всего начать с простейших задач на проценты. Задание №1 в варианте ЕГЭ по математике профильного уровня – одно из самых легких. И тем не менее даже отличники часто ошибаются, решая такие задачи.

Вспомним, что 1% — это одна сотая часть от чего-либо. И в задачах, и в жизни часто говорится об изменении какой-либо величины на определенный процент. Что это значит?
Повышение цены на 15% означает, что к прежней цене х прибавили 0,15х или прежнюю цену х умножили на 1,15. Наоборот, скидка на 35% означает, что прежняя цена уменьшилась на 35%. Если первоначальная цена равна х, то новая цена составит х – 0,35х = 0,65х.

Рассмотрим примеры.

1. Пачка сливочного масла стоит 60 рублей. Пенсионерам магазин делает скидку 5%. Сколько рублей стоит пачка масла для пенсионера?

Решение.

Скидка на пачку сливочного масла составляет 60 · 0,05 = 3 рубля. Значит, пенсионер за пачку масла заплатит 60 − 3 = 57 рублей.

Ответ: 57.

1. Призерами городской олимпиады по математике стало 48 учеников, что составило 12% от числа участников. Сколько человек участвовало в олимпиаде?

Решение.

Разделим 48 на 0,12:

48 : 0,12 = 4800 : 12 = 400.

Значит, в олимпиаде участвовало 400 человек.

Ответ: 400.

1. Футболка стоила 800 рублей. После снижения цены она стала стоить 680 рублей. На сколько процентов была снижена цена на футболку?

Решение.

Цена на футболку была снижена на 800 − 680 = 120 рублей. Разделим 120 на 800:

120 : 800 = 0,15.

Значит, цена на футболку была снижена на 15%.

 Ответ: 15.

Легко? Да, очень легко. Однако не будем слишком расслабляться. Даже среди детских задач под номером 1 встречаются интересные экземпляры.

Следующая задача — самая сложная из тех, которые могут вам встретиться под номером 1.

1. В городе N живет 300000 жителей. Среди них 20% детей и подростков. Среди взрослых 35% не работает (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т.п.). Сколько взрослых жителей работает?

Решение.

Численность детей в городе N составляет 300 000 · 0,2 = 60 000. Численность взрослого населения 300 000 − 60 000 = 240 000 человек. Из них не работает 240 000 · 0,35 = 84 000 человек. Значит, работает 240 000 − 84 000 = 156 000 человек.

 Ответ: 156 000.

После рассмотрения этих задач можно предложить в виде тренажера тренировочные упражнения (https://math100.ru/prof-ege1-3/ ).

Далее сформулируем важное правило:

за 100% мы принимаем ту величину, с которой сравниваем.

Также для решения задач с экономической направленностью повышенного уровня полезны будут формулы:

Воспользуемся этими формулами для решения задач №11 профильного ЕГЭ по математике.

1. В 2008 году в городском квартале проживало 40 000 человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 8%, а в 2010 году на 9% по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?

Решение.

По условию, в 2009 году число жителей выросло на 8%, то есть стало равно 40000 · 1,08 = 43200 человек.

А в 2010 году число жителей выросло на 9%, теперь уже по сравнению с 2009 годом. Получаем, что в 2010 году в квартале стало проживать 40000 · 1,08 · 1,09 = 47088 жителей.

Ответ: 47 088.

1. В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

Решение.

Пусть при открытии торгов в понедельник акции стоили х рублей.

К вечеру понедельника они подорожали на р% и стали стоить 

Теперь уже эта величина принимается за 100%, и к вечеру вторника акции подешевели на р% по сравнению этой величиной.

По условию, акции в итоге подешевели на 4%.

Получаем, что

Поделим обе части уравнения на х (ведь он не равен нулю) и применим в левой части формулу сокращенного умножения.

По смыслу задачи, величина р положительна.
Получаем, что р = 20.

Ответ: 20%.

1. Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20000 рублей, через два года был продан за 15842 рублей.

Эта задача тоже решается по одной из формул, приведенных выше.

Решение. Холодильник стоил 20000 рублей. Его цена два раза уменьшилась на р%, и теперь она равна

Ответ: 11%.

Тренировочные упражнения (https://math100.ru/prof-ege11-5/ ).

1. Кредиты и вклады. Начисление процентов

Прежде чем браться за реальные задания ЕГЭ, рассмотрим – как вообще работает банк?

Доход банка образуется в виде разницы между процентом кредита и процентом вклада. Например, клиент банка положил на свой сберегательный счет 100 тысяч рублей под 10% годовых – то есть открыл вклад. Через год он может получить в банке 100 · 1,1 = 110 тысяч рублей. Другому клиенту, наоборот, нужны 100 тысяч рублей. Банк выдает ему кредит под 30% годовых, и теперь этот клиент должен вернуть банку 100 · 1,3 = 130 тысяч рублей. Таким образом, прибыль банка составит 130 – 110 = 20 (тысяч рублей).

Конечно же, процентные ставки банка по кредиту выше, чем процентные ставки по вкладу.

1. Рассмотрим текстовую задачу №11 на вклады.

Клиент А. сделал вклад в банке в размере 7700 рублей. Проценты по вкладу начисляются раз год и прибавляются к текущей сумме вклада. Ровно через год на тех же условиях такой же вклад в том же банке сделал клиент Б. Еще ровно через год клиенты А. и Б. закрыли вклады и забрали все накопившиеся деньги. При этом клиент А. получил на 847 рублей больше клиента Б. Какой процент годовых начислял банк по этим вкладам?

Решение. Пусть банк начислял годовых. Тогда клиент А. за 2 года получил руб., а клиент Б. за один год получил руб. Обозначим , тогда поскольку А. получил на 847 руб. больше, имеем:

Поскольку получаем: откуда . Тем самым, банк начислял вкладчикам по годовых.

Ответ: 10.

1. Рассмотрим текстовую задачу №11 на кредит.

Костя оформил кредитную карту на 244 тысячи рублей под 25% годовых и расплачивался ею при каждой покупке. Через неделю деньги на карте кончились, и Костя обнаружил, что обязан погасить долг тремя равными ежегодными платежами. Сколько собственных денег Костя выплатит банку сверх суммы, взятой в кредит?

Решение. Обозначим сумму кредита S, где S = 244000 рублей.

Проценты начисляются ежегодно, и после первого начисления процентов сумма долга равна

Переменная   - коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличилась сумма долга после начисления процентов;

Костя обязан ежегодно выплачивать банку X рублей. После первой выплаты сумма долга равна

Банк снова начисляет р процентов, и сумма долга становится равна

Костя снова перечисляет в банк X рублей. Теперь сумма долга равна

Банк в третий раз начисляет проценты, и сумма долга равна

И снова Костя переводит в банк X рублей. Теперь его долг равен нулю.

Выразим Х (ежегодный платеж Кости) из этого уравнения. Раскрыв скобки, получим:

Осталось подставить числовые данные.

Будем вести расчеты в тысячах рублей, а значение k возьмем равным  . Это удобнее для расчетов, чем 1,25.

 тысяч рублей.

Всего Костя выплатит банку 3X = 375 тысяч рублей, что на 375 – 244 = 131 тысячу рублей больше суммы, взятой в кредит.

Ответ: 131 000.

Рассмотрим задачи ЕГЭ о кредитах. Для решения подобных задач используются две схемы: первая – выплаты производятся равными платежами, вторая – сумма долга уменьшается равномерно. Рассмотрим теперь каждую схему подробно.

1. Задачи, в которых есть информация о платежах

В задачах данного типа обычно применяется формула для суммы геометрической прогрессии.

Одна из сложностей задачи ЕГЭ №17 на кредиты и вклады – большое количество вычислений. Постараемся упростить их, насколько возможно.

1. 31 декабря 2014 года Тимофей взял в банке 7 007 000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем Тимофей переводит в банк платёж. Весь долг Тимофей выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?

Решение.

Пусть сумма кредита равна   а годовые составляют   Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент   После первой выплаты сумма долга составит После второй выплаты сумма долга составит

После третей выплаты сумма оставшегося долга равна

По условию тремя выплатами Тимофей погасил кредит полностью, поэтому

откуда 

Рассуждая аналогично, находим, что если бы Тимофей гасил долг двумя равными выплатами, то каждый год он должен был бы выплачивать  рублей. Значит, он отдал банку на больше.

При  и   получаем:  и

(рублей).

 (рублей).

Значит,  

Ответ: 806400.

1. 31 декабря 2014 года Валерий взял в банке 1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на определённое количество процентов), затем Валерий переводит очередной транш. Валерий выплатил кредит за два транша, переводя в первый раз 660 тыс. рублей, во второй — 484 тыс. рублей. Под какой процент банк выдал кредит Валерию?

Решение.

Пусть x — это процент, под который банк выдал кредит. Из условия следует, что на 31 декабря 2015 года у Валерия был долг  тыс. руб., а затем он выплатил 660 тыс. рублей. На оставшуюся суммы был начислен процент, и перед вторым траншем долг составлял

 Этот долг был погашен платежом, равным 484 тыс. руб.

Составим уравнение:

Отсюда получаем, что банк выдал кредит под 10% годовых.

Ответ: 10%.

1. В следующей задаче платежи не равные, однако известен порядок выплат: каждый следующий платеж ровно втрое больше предыдущего. Решаем по той же схеме.

Дмитрий взял кредит в банке на сумму 270 200 рублей. Схема выплата кредита такова: в конце каждого года банк увеличивает на 10 процентов оставшуюся сумму долга, а затем Дмитрий переводит в банк свой очередной платеж. Известно, что Дмитрий погасил кредит за три года, причем каждый его следующий платеж был ровно втрое больше предыдущего. Какую сумму Дмитрий заплатил в первый раз? Ответ дайте в рублях.

Решение.

Пусть S = 270 200 рублей — величина кредита, а х (руб.) — первый платеж Дмитрия. Тогда оставшиеся два платежа составляли 3x и 9x рублей соответственно.

В конце первого года долг Дмитрия после его платежа составлял  руб.; в конце второго года — руб., а в конце третьего —  руб., что составило 0 рублей, так как за три года кредит был погашен полностью. Далее имеем:

Подставляя в это выражение S = 270 200 получаем  рублей.

 Ответ: 26620 руб.

Сформулируем основные принципы решения задач на кредиты, где выплаты производятся равными платежами.

1. Задачи, в которых есть информация об изменении суммы долга

В задачах данного типа обычно применяется формула суммы арифметической прогрессии.

Если в условии задачи сказано, что сумма долга уменьшается равномерно, или что 15-го числа каждого месяца сумма долга на одну и ту же величину меньше суммы долга на 15-е число предыдущего месяца, или есть информация о том, как именно уменьшается сумма долга, — это задача на кредиты второго типа.

1. 15 января планируется взять кредит в банке на сумму 600 тыс. рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

• 1‐го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

• со 2‐го по 14‐е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

• 5‐го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15‐е число предыдущего месяца.

На сколько рублей увеличится сумма выплат, если взять кредит с такими же условиями на 30 месяцев?

Решение. Пусть сумма кредита равна S = 600 тыс. руб. По условию долг перед банком по состоянию на 15-е число должен уменьшаться до нуля равномерно в первом случае в течение 24 месяцев, во втором – 30 месяцев:

Первого числа каждого месяца долг возрастает на 2, значит, последовательность размеров долга по состоянию на 1-е число такова:

Таким образом, выплаты должны быть следующими:

Всего следует выплатить

Значит, если взять кредит на 30 месяцев, то сумма выплат увеличится на

Ответ: 36 000.

1. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 4 млн рублей на некоторый срок. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на 15 % по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; — в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года. На какой минимальный срок следует брать кредит, чтобы наибольший годовой платёж по кредиту не превысил 1,25 млн руб.?

Решение.

Пусть кредит взят на n лет. По условию долг перед банком (в млн рублей) по состоянию на июль должен уменьшаться до нуля равномерно:

По условию каждый январь долг возрастает на 15. Значит, последовательность размеров долга (в млн рублей) в январе такова:

Следовательно, наибольшая выплата составляет Получаем а значит, .

Ответ: 7.

1. 15 января Алексей планирует взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1,5 млн рублей. Условия его возврата следующие:

• 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число;

• выплата должна производиться ежемесячно в период со 2-го по 14-е число каждого месяца;

• 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наименьшее значение r, при котором Алексею в общей сумме придётся выплатить больше 2,2 млн рублей.

Решение.

Пусть – сумма, которую Алексей выплачивает в n-м месяце кредитования. Также для удобства произведем замену: Тогда (изначально долг в 1,5 млн рублей увеличится в раз, а во втором месяце на счету должно остаться 1,2 млн рублей).

Аналогично:

Общая сумма выплат S составляет

Вспомним, что и решим неравенство:

Наименьшее целое решение:

Ответ: 14.

Сформулируем основные принципы решения задач на кредиты, где сумма долга уменьшается равномерно.

Для закрепления и тренировки решения задач с экономической направленностью на вклады и кредиты можно воспользоваться упражнениями https://math100.ru/prof-ege17-1/

Интернет-ресурсы

- Центр подготовки к ЕГЭ в Москве «ЕГЭ-студия» https://ege-study.ru/

- Система тестов для подготовки и самоподготовки к ЕГЭ https://math-ege.sdamgia.ru/

- Открытый банк заданий с ответами https://math100.ru/ege/ege-profil/