Методические рекомендации по изучению темы "Угол между прямой и плоскостью. Двугранный угол" для студентов 1 курса

Занятие 92. Тема «Угол между прямой и плоскостью. Двугранный угол»

План лекции:

1. Понятие угла между прямой и плоскостью.

2. Понятие двугранного угла.

3. Понятие многогранного угла.

1. Понятие угла между прямой и плоскостью.

Углом между наклонной и плоскостью называется угол между этой наклонной и её проекцией на плоскость.

∢ CBA — угол между наклонной AB и плоскостью α.

Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и ее проекцией на эту плоскость.

2. Понятие двугранного угла.

Двугранный угол — это часть пространства, заключённая между двумя полуплоскостями, имеющими одну общую границу.

Если в пространстве пересекаются две плоскости, получаются четыре двугранных угла (аналогично как при пересечении двух прямых получаются четыре угла). Рассмотрим один из них.

Полуплоскости α и β, образующие двугранный угол, называются его гранями.

Общая прямая a этих граней называется ребром двугранного угла.

Выберем на ребре a двугранного угла произвольную точку C и проведём две пересекающиеся прямые AC⊥a и BC⊥a, а через эти прямые — плоскость γ перпендикулярно ребру a.

Линии пересечения AC и BC полуплоскостей α и β с плоскостью γ образуют некоторый угол ∡ACB. Этот угол называется  линейным углом двугранного угла. Величина линейного угла не зависит от выбора точки C  на ребре a.

Обрати внимание!

Величина двугранного угла  0° ∡ACB .

Если плоскости параллельны, то угол между ними равен 0° по определению.

Если при пересечении плоскостей один из двугранных углов составляет 90°, то три остальных угла — тоже 90°. Эти плоскости называют перпендикулярными.

Следующие теоремы, которые здесь приведём без доказательств, могут пригодиться при решении задач.

1. Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

2. Плоскость, перпендикулярная прямой, по которой пересекаются две плоскости, перпендикулярна каждой из этих плоскостей.

3. Если две плоскости перпендикулярны, и в одной из них прямая проведена перпендикулярно линии пересечения плоскостей, то эта прямая перпендикулярна второй плоскости.

3. Многогранные углы

Объясним понятие многогранных углов.

Представим несколько лучей в пространстве с общим началом. Их можно представить тоже как часть линий пересечения плоскостей — трёх, четырёх или больше — и назвать рёбрами многогранного угла.

 Трёхгранный угол

 Четырёхгранный угол

 Пятигранный угол

Каждые два луча образуют угол, который называют плоским углом многогранного угла.

Обрати внимание!

Каждый плоский угол трёхгранного угла меньше суммы двух других плоских углов.

Сумма плоских углов многогранного угла меньше 360°.

Задание для самостоятельного выполнения

Задание 1. Сделать краткий конспект по данной теме.

Задание 2. Выучить все формулировки определений и теорем.

Задание 3. Ответьте на вопросы.

Дан четырёхугольник ABCD и перпендикуляр KB проведённый к плоскости четырёхугольника через вершину B.

На четырех рисунках  нарисованы углы. На котором из них правильно изображён линейный угол двугранного угла между плоскостями AKD и ABC, если

a) ABCD квадрат

b) ABCD ромб

Задание 4. Решить задачу, сделав рисунок.

В двугранном угле, грани которого перпендикулярны, дана точка A. Расстояния от точки до граней AA1 = 12 cm и AB1 = 9 cm. Определи расстояние AB до общей прямой граней этого угла.

Выполненные задания отправить на адрес электронной почты преподавателя: [email protected]. Имя файла – фамилия студента и номер занятия. (например, Петров-92)