Методические советы при подготовке школьников к выполнению задания 22 ОГЭ по математике

Методические советы при подготовке школьников к выполнению задания 22 ОГЭ по математике

(Слайд №1)

Задание 22 ОГЭ по математике (2022).

Задание 22 ОГЭ па математике – задание высокого уровня сложности. Для его выполнения от выпускников основной школы требуется свободное владение изученным материалом раздела «Функции и их графики». Это задание рассчитано на обучающихся, изучающих математику основательно (углубленно). Выполнение этих заданий предполагает наличие у обучающегося исследовательских навыков, владения специальными приемами преобразования выражений, умений строить графики функций с помощью преобразований (параллельного переноса, симметрий и деформаций) и т.п.

Требования к выполнению этого задания такие же, как и к прочим задания с развернутым ответом. Решение должно быть математически грамотным, полным, лаконичным. В этом случае оно оценивается 2 баллами. Если в решении допущена вычислительная ошибка, погрешность в терминологии или символике, не влияющая на правильность общего хода решения (даже при неверном ответе) и позволяющая сделать вывод о владении материалом, то задание оценивается 1 баллом. При невыполнении предыдущих требований, решение задания 22 оценивается 0 баллов.

(Слайд №2) При выполнении задания 22 рекомендуется придерживаться следующего алгоритма:

• преобразование формулы, задающей функцию, и нахождение области ее определения;

• определение вида и характерных точек графика на каждом промежутке области определения;

• изображение графика функции на координатной плоскости;

• исследование графика функции в соответствии с вопросом к заданию;

• запись ответа.

В ходе подготовки к ГИА для выполнения заданий №11 организуется повторение изученных в основной школе элементарных функций, их графиков и способов построения. Эти знания, конечно же, необходимы и для успешного выполнения.

Подготовка к выполнению заданий 22 проводится, в основном, на консультациях, т.к. в урочное время на эти задания времени, как правило, не достает.

При выполнении этого задания впервые и на нескольких последующих занятиях используем программу ГИС GeoGebra для того, чтобы ученик мог понять суть задания.

В дальнейшем GeoGebra применяется для проверки полученных результатов.

Приведем примеры выполнения задания 22 с использованием ГИС GeoGebra. (Слайд №3)

Пример 1

Постройте график функции   и определите, при каких значениях k прямая   имеет с графиком ровно одну общую точку.

Действуем по приведенному приведённому выше алгоритму.

Преобразуем формулу, задающую функцию, и найдем область ее определения. Для преобразования формулы воспользуемся тождеством .

(Слайд №4) Формула, задающая функцию, представлена в виде дроби, знаменатель которой не может принимать нулевое значение. Значит, в область определения не входит аргумент, обращающий знаменатель в 0, т.е. . Таким образом, область определения функции – все числа, кроме 1.

В программе GeoGebra строим график в виде пунктирной прямой, подразумевая тем самым, что все ее точки не принадлежат графику исследуемой функции.

Выполняем второй шаг алгоритма (определение вида и характерных точек графика на каждом промежутке области определения).

Преобразованная формула заданной функции имеет вид: . По ее виду определяем, что графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз ( , вершина находится в точке , т.к. . Этой параболе не принадлежит точка , так как не входит в область определения функции, и . График функции может быть получен из известного графика функции путем параллельного переноса на единичных отрезков вниз (или на вектор ).

Шаг 3 (изображение графика функции на координатной плоскости). Демонстрируем эти действия на координатной плоскости (обучающиеся сначала выполняют построения в тетради, затем в GeoGebra) (Слайд №5).

Шаг 4 (исследование графика функции в соответствии с вопросом к заданию).

Чтобы прямая имела с построенным графиком одну общую точку, нужно чтобы или прямая была касательной к графику (и точка касания не равна 1), или прямая пересекает график в точке и в какой-то второй точке.

Случай касания реализуется, когда дискриминант квадратного уравнения . .

При этом, если , точка касания , а если , точка касания .

Для рассмотрения второго случая подставим в уравнение . Получим . При этом дискриминант этого уравнения будет больше нуля, значит, еще одно решение точно есть (Слайд №6).

После получения результатов аналитическим путем продемонстрируем их с помощью ИГС.

Строим график прямой пропорциональности с . Для задания разных значений параметра создадим ползунок, с помощью которого будем менять значения параметра, и наблюдать взаимное расположение прямой и параболы (Слайд №7).

Далее меняем значения параметра, и наблюдаем за взаимным расположением прямой и параболы (Слайд №8) . В тот момент, когда параметр достигает значения , прямая касается параболы, т.е. графики имеют одну общую точку (Слайд №9) .

Когда параметр достигает значения , прямая вновь касается параболы, т.е. графики имеют одну общую точку (Слайд №10) .

В тот момент, когда аргумент принимает значение равное единице ( ), , прямая с параболой имеют одну общую точку (Слайд №11) .

Пятый шаг (запись ответа). Ответ записываем традиционным образом, предварительно прочитав еще раз вопрос задания. Ответ: .

Наглядная демонстрация поиска ответа на вопрос задания приводит к полному пониманию зависимости значений коэффициентов в формуле, задающей функцию, и расположения графика на координатной плоскости, а также того, что от обучающегося требуется в конкретном задании. С моей точки зрения, параллельное решение задания аналитическим способом и с применением какой-либо ГИС полезно для осмысления школьником хода решения и его результатов.

Рассмотрим еще один пример.

Пример 1

Постройте график функции , и определите, при каких значениях параметра он имеет ровно две общие точки с прямой . (Слайд №12)

Вновь действуем по алгоритму.

Шаг первый (преобразование формулы, задающей функцию, и нахождение области ее определения).

Сначала преобразуем каждое уравнение отдельно.

.

Тогда функция примет вид: . Область определения (все числа). Точками и она разбивается на три промежутка, в которых функция задается разными формулами (Слайд №13).

Шаги второй и третий (определение вида и характерных точек графика на каждом промежутке области определения; изображение графика функции на координатной плоскости).

На промежутке функция задана формулой (квадратичная). График (парабола) может быть получен из графика функции путем сдвига на 2 единицы влево, т.е. параллельным переносом на вектор . Учащиеся строят этот фрагмент графика в тетради. Затем тот же фрагмент графика искомой функции строят в программе GeoGebra (Слайд №14).

Далее на промежутке строят график линейной функции (фрагмент биссектрисы 1 и 3 координатных углов). Продолжают построение и в GeoGebra (Слайд №15).

Завершаем построение графика еще одного фрагмента линейной функции на промежутке в тетради и ГИС (Слайд №16).

Шаг 4 (исследование графика функции в соответствии с вопросом к заданию).

Логичнее начать исследование в программе GeoGebra, так как после этого обучающимся становится понятно требование, содержащееся в вопросе (Слайд №17).

Детальнее процесс исследования с помощью GeoGebra представлен на следующих слайдах.

Если значение параметра , то график функции и прямая не имеют общих точек (Слайд №18) .

При достижении параметра значения, равного единицы ( ) график функции и прямая имеют одну общую точку (слайд 19).

При график функции и прямая имеют две общих точки (слайд 20).

При график функции и прямая имеют три общих точки (слайд 21).

При график функции и прямая имеют четыре общих точки (слайд 22).

При график функции и прямая вновь имеют три общих точки (слайд 23).

И, наконец, при график функции и прямая вновь имеют две общих точки (слайд 24).

После исследования графика функции в соответствии с вопросом к заданию с помощью ГИС, переходим к решению вопроса задания по ими построенному в тетради графику.

Шаг пятый (запись ответа). Ответ: ; .

Решения подобных заданий с помощью GeoGebra более аккуратны, точны, иногда помогают сформулировать гипотезу для определения способа решения. Накапливая, таким образом, опыт решения задач с параметром с помощью построения графиков уравнений и неравенств, обучающиеся по виду задания представляют графики использованных в заданиях уравнений (неравенств), понимают суть вопроса к заданию (слайд 25) .