Методические указания к выполнению практической работы по теме: "Элементы теории вероятностей"

1. Методические указания к выполнению практической работы по теме: «Элементы теории вероятностей».

Цель: Научиться вычислять вероятности событий по классической формуле и применять теоремы сложения и умножения вероятностей, находить числовые характеристики дискретной случайной величины.

Форма выполнения работы: групповая (деловая игра).

Форма контроля: зачёт.

Обеспечение: Методические указания к выполнению работы.

Необходимые сведения из теории:

1. Вероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных исходов испытания: P(A) = m/n.

Вероятность события есть неотрицательное число: 0≤P(A)≤1.

1. Два события А и В называются несовместными, если появление одного из них исключает возможность появления другого.

2. Два события А и В называются совместными, если появление одного из них не исключает возможности появления другого.

3. Событие В называется независимым по отношению к событию А, если вероятность события В не зависит от того, произошло событие А или нет. В противоположном случае событие В называется зависимым от события А.

4. Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В) = Р(А) + Р(В).

5. Вероятность суммы двух совместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения: Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).

6. Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий: Р(АВ) = Р(А) · Р(В).

7. Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности события А на вероятность события В, при условии, что первое событие А уже наступило:

Р(АВ) = Р(А) · Р(А/В).

1. Дискретной назовём случайную величину, возможные значения которой образуют конечное множество.

Законом распределения дискретной случайной величины называется правило, по которому каждому возможному значению x_i ставится в соответствие вероятность p_i, с которой случайная величина может принять это значение, причём .

1. К важнейшим числовым характеристикам случайной величины относятся математическое ожидание и дисперсия.

-Математическим ожиданием дискретной случайной величины х называется произведение всех её возможных значений на их вероятности:

-Дисперсией случайной величины х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

D(x)=M((x-M(x))²) или D(x)=M(x²) – (M(x))²

-Среднее квадратическое отклонение:

ПРИМЕРЫ

Пример 1. В урне 3 белых и 7 черных шаров. Случайным образом вынули 1 шар. Какова вероятность того, что он белый?

Решение: n=10, m=3, тогда P(A)= 3/10=0,3.

Ответ: 0,3.

Пример 2. В урне содержится 10 красных, 15 синих и 5 белых шаров. Из нее вынимается наугад один шар. Какова вероятность того, что этот шар не белый?

Решение:

Пусть событие А — вынутый шар не белый. Покажем два способа решения задачи.

Первый способ.

Р(А)=Р(В+С)=Р(В)+Р(С), где событие В — вынутый шар красный, С — вынутый шар синий. Р(А)=10/30 + 15/30 =25/30 =5/6 .

Второй способ.

P где - вынутый шар белый. Р(А) = 1− 5/30 =25/30 =5/6 .

Ответ: 5/6.

Пример 3. В урне находятся 7 белых и 3 черных шара. Подряд извлекают два шара. Какова вероятность того, что они оба черные?

Решение:

Пусть событие А — первый шар черный, событие В — второй шар черный. События А и В зависимы, тогда Р(АВ)=Р(А)Р(В/А)= 3/10⋅2/9= 1/15 , где Р(В/А) — вероятность того, что второй вынутый шар черный, при условии, что первый вынутый шар также черный.

Ответ: 1/15.

Пример 5. Закон распределения случайной величины задан таблично. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

Решение: М(х)=1*0,1+2*0,2+3*0,4+4*0,2+5*0,1=3;

D(x)=1²*0,1+2²*0,2+3²*0,4+4²*0,2+5²*0,1-3²=1,2

σ(x)= =1,095

ЗАДАНИЯ

1. Брошена игральная кость. Какова вероятность выпадения трех очков?

2. Урна содержит 10 шаров, из них 8 черных шаров. Из урны наугад выбирается один шар. Какова вероятность того, что он будет черным?

3. В корзинке лежат одинаковые на вид пирожки: 5 с мясом, 6 с капустой и 4 с картошкой. Какова вероятность того, что выбранный наугад пирожок будет с мясом или с картошкой?

4. Найти вероятность того, что наугад выбранное число от 1 до 60 делится на 20.

5. Из 10 лотерейных билетов два выигрышные. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу пяти билетов один выигрышный.

6. В НИИ работает 120 человек, из них 70 знают английский язык, 80 – немецкий, 50 – оба языка.

Найти вероятность того, что выбранный наудачу сотрудник не знает ни одного иностранного языка.

1. Монету подбросили три раза. Найти вероятность того, что все три раза выпадет решка.

2. В сумке лежат 10 мячей, пронумерованных от 1 до 10. Наугад вынимаются два мяча. Какова вероятность того, что это будут мячи с номерами 7 и 3?

3. Бросается игральная кость. Какова вероятность выпадения более чем трех очков?

4. Урна содержит 10 белых и 8 черных шаров. Из урны наугад выбирается один шар. Какова вероятность того, что он будет белым?

5. В урне находится 10 синих и 15 голубых шаров. Подряд извлекают два шара. Какова вероятность того, что они оба синих?

6. Цифры от 1 до 9 включительно пишутся на листках бумаги, которые затем складываются в ящик и тщательно перемешиваются. Наугад вынимается один листок. Какова вероятность того, что число, написанное на этом листке, четное?

7. Бросается игральная кость. Какова вероятность выпадения менее чем трех очков?

8. На отдельных карточках написаны буквы «Е», «И», «С», «С», «С», «Я». Какова вероятность того, что выбирая наугад по одной карточке, составится слово: «СЕССИЯ»?

9. Цифры от 1 до 11 включительно пишутся на листках бумаги, которые затем складываются в ящик и тщательно перемешиваются. Наугад вынимается один листок. Какова вероятность того, что число, написанное на этом листке, нечетное?

10. Бросается игральная кость. Какова вероятность выпадения четного числа очков?

11. Студент сдает экзамен по теории вероятностей. Вероятность получить на экзамене «неуд.» равна 0,1; «уд.» - 0,6; «хор.» - 0,2; «отл.» - 0,1. Какова вероятность того, что студент получит на экзамене положительную оценку?

12. В первой урне 7 белых и 3 черных шара, во второй — 3 белых и 7 черных шаров. Из каждой урны наудачу вынимают один шар. Какова вероятность того, что оба вынутых шара белых?

13. Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,7; вторым — 0,8; третьим — 0,9. Найти вероятность тот, что все три стрелка попадут в цель.

14. Условия задачи 19. Найти вероятность того, что все три стрелка промахнуться.

15. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что на каждой из них выпало не менее трёх очков.

16. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины имеет вид:

Вычислите .

1. Вычислите математическое ожидание дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:

1. Задан закон распределения дискретной случайной величины Х:

Найти:

− математическое ожидание;

− дисперсию;

− среднее квадратическое отклонение.

Группа получает оценку «5» при верном решении 15-24 заданий, «4» - 11-15, «3» - 5-10 и успешной защите.

Преподаватель: Н.И.Жаркова