Россия, Купино
СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ
Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно
Скидки до 50 % на комплекты
только до
Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой
Организационный момент
Проверка знаний
Объяснение материала
Закрепление изученного
Итоги урока
Была в сети 24.04.2024 05:06
Тюменцева Оксана Николаевна
Преподаватель
50 лет
4 032
11 019 
Местоположение
Специализация
Методическое пособие для самостоятельной работы студентов по теме: Решение логарифмических неравенств
Категория:
Математика
20.10.2021 05:08
Просмотр содержимого документа
«Методическое пособие для самостоятельной работы студентов по теме: Решение логарифмических неравенств»
ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НОВОСИБИРСКОЙ ОБЛАСТИ «КУПИНСКИЙ МЕДИЦИНСКИЙ ТЕХНИКУМ»
МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
Для самостоятельной работы студентов
По предмету: МАТЕМАТИКА Тема: «Решение логарифмических неравенств»
Специальность: 34.02.01 Сестринское дело Курс: 1
(базовой подготовки)
Купино
2021
Рассмотрено на заседании предметной цикловой
Методической комиссии по общеобразовательным предметам,
общему гуманитарному и социально-экономическому, математическому и
естественно-научному циклу
Протокол № _____ от «_____» _________20____г.
Автор – составитель: преподаватель математики высшей категории Тюменцева О.Н.
Купино
2021 г
Пояснительная записка к методическому пособию
Методическое пособие предназначено для повторения теоретических и практических знаний по теме.
Цель пособия – повторить понятия: логарифма, логарифмической функции и ее свойств, методы решения неравенств и подготовится к занятию по теме «Решение рациональных, показательных и логарифмических неравенств».
Данное пособие рекомендовано для студентов первого курса специальности 34.02.01 Сестринское дело. Пособие содержит определения, свойства и формулы по теме: Решение логарифмических неравенств, тест для самоконтроля и ключи к тесту.
Пособие направлено на формирование навыков самостоятельной работы с учебным материалом, формирование навыков решения задач, формирование и развитие творческого потенциала, повышение интереса к предмету.
Решение логарифмических неравенств
1. Основные правила решения неравенств
При решении неравенств используют следующие правила:
1. любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, при этом знак неравенства не меняется.
2. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, не изменив при этом знак неравенства.
3. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный.
Логарифмом числа b по основанию a называется степень, в которую нужно возвести число a, чтобы получить число b и обозначается loga b.
Например,
log2 4 = 2, так как 22 = 4,
log3 81 = 4, так как 34 = 81.
Очень важно не забывать, что логарифм должен удовлетворять следующим условиям:
1) a 0;
2) a не равно 1;
3) b 0.
Функция, которая каждому числу x ставит в соответствие его логарифм по некоторому основанию (например, a), называется логарифмической функцией и обычно обозначается так: y = loga x.
Напомню, что при a 1 логарифмическая функция возрастает, а при
0 Эти свойства очень важны и понадобятся нам при решении неравенств.
Чтобы решить логарифмическое неравенство, необходимо выполнить следующую цепочку действий:
1) привести неравенство к виду loga f(x) logb g(x) (можно приводить к аналогичному виду со знаками
Обычно приведение исходного неравенства к такому виду осуществляется с помощью использования различных свойств логарифма.
Замечу, что при приведении неравенства к указанному виду, нужно обязательно учитывать область определения исходного неравенства.
2) дальше возможно 2 случая:
a) если a 1, то составляем систему:
{f(x)0
{g(x)0
{f(x) g(x);
Здесь первые два неравенства – это пункт 3) из определения логарифма. Третье условие вытекает из того, что логарифмическая функция возрастает при a 1.
Заметим, что в этой системе первое неравенство является избыточным, его можно не писать, так как оно легко получается из второго и третьего.
b) если 0
{f(x)0
{g(x)0
{f(x)
Третье условие вытекает из того, что логарифмическая функция убывает при 0
Заметим, что в этой системе уже второе неравенство является избыточным.
Пример. Решить неравенство log2 (x – 2) + log2 (x – 3) ≤1.
Решение.
1) Воспользуемся свойством логарифма: log2 (x – 2)(x – 3) ≤ 1.
Теперь представим 1 как log2 2: log2 (x – 2)(x – 3) ≤ log2 2.
2) Составляем систему:
{(x–2)(x–3)0
{(x – 2)(x – 3) ≤2,
Решим отдельно первое неравенство методом интервалов и получим следующее решение.
[x≥3
[x ≤ 2.
Решим отдельно второе неравенство.
(x – 2)(x – 3) ≤ 2,
x2 – 5x + 6 ≤ 2,
x2 – 5x + 4 ≤ 0,
D = 25 – 16 = 9,
x1 = (5 + 3)/2 = 4,
x2 = (5 – 3)/2 = 1.
(x – 4)(x – 1) ≤ 0.
Получим следующее решение: 
1 ≤ x ≤ 4.
А тогда решение исходной системы: x € [1; 2] U [3; 4].
Однако, мы должны еще учесть область определения исходного неравенства:
{x–20,
{x – 3 0,
то есть x 3.
А тогда, учитывая область определения исходного неравенства, получим: x € (3; 4].
Ответ: x € (3; 4].
Пример. Решить неравенство log1/2 (16 + 4x – x2) ≤ -4.
Решение.
1) Заметим, что -4 = log1/2 16.
Тогда получаем неравенство log1/2 (16 + 4x – x2) ≤ log1/2 16.
2) Составляем систему:
{16+4x–x2 0
{16 + 4x – x2 ≥ 16.
Замечу, что третьего неравенства здесь не будет, так как очевидно, что 16 0.
Заметим, что первое неравенство системы решать необязательно, ведь если 16 + 4x – x2 ≥ 16, то понятно, что оно будет больше 0. Поэтому нам остается решить только второе неравенство системы.
Решаем его.
-x2 + 4x + 16 ≥ 16,
-x2 + 4x ≥ 0,
x2 – 4x ≤ 0,
x(x – 4) ≤ 0.
Применим метод интервалов и получим ответ: x € [0; 4].
Ответ: x € [0; 4].
Тест по теме Решение логарифмических неравенств
Вариант 1.
Решите неравенства:
Вариант 2.
Решите неравенства:
Ответы
|
| 1 | 2 |
| вариант | ||
| 1 | а | в |
| 2 | б | г |
| 3 | в | а |
| 4 | г | б |
Критерии оценивания тестовых заданий
4 вопросов 5 (отлично) (4 ответа)
4 вопросов 4 (хорошо) (3 ответа)
4 вопросов 3 (удов) (2 ответа)
Литература
Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М.: 2018
Башмаков М.И. Сборник задач: учеб. пособие (базовый уровень). 11 кл. – М.: 2012
Интернет-ресурсы
http://school-collection.edu.ru – Электронный учебник «Математика в
школе, XXI век».
http://fcior.edu.ru - информационные, тренировочные и контрольные материалы.
www.school-collection.edu.ru – Единая коллекции Цифровых образовательных ресурсов
Вебинар для учителей
Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!
Полезное для учителя
Реализация образовательных программ осуществляется с применением исключительно электронного обучения и ДОТ
