Пособие по теме Решение рациональных неравенств

ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НОВОСИБИРСКОЙ ОБЛАСТИ «КУПИНСКИЙ МЕДИЦИНСКИЙ ТЕХНИКУМ»

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

Для самостоятельной работы студентов

По предмету: МАТЕМАТИКА Тема: «Решение рациональных неравенств»

Специальность: 34.02.01 Сестринское дело Курс: 1

(базовой подготовки)

Купино

2021

Рассмотрено на заседании предметной цикловой

Методической комиссии по общеобразовательным предметам,

общему гуманитарному и социально-экономическому, математическому и

естественно-научному циклу

Протокол № _____ от «_____» _________20____г.

Автор – составитель: преподаватель математики высшей категории Тюменцева О.Н.

Купино

2021 г

Пояснительная записка к методическому пособию

Методическое пособие предназначено для повторения теоретических и практических знаний по теме.

Цель пособия – повторить понятия: рационального числа, методы решения неравенств и подготовится к занятию по теме «Решение рациональных, показательных и логарифмических неравенств».

Данное пособие рекомендовано для студентов первого курса специальности 34.02.01 Сестринское дело. Пособие содержит определения, свойства и формулы по теме: Решение рациональных неравенств, тест для самоконтроля и ключи к тесту.

Пособие направлено на формирование навыков самостоятельной работы с учебным материалом, формирование навыков решения задач, формирование и развитие творческого потенциала, повышение интереса к предмету.

Решение рациональных неравенств

1. Основные правила решения неравенств

При решении неравенств используют следующие правила:

 1. любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, при этом знак неравенства не меняется.

2. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, не изменив при этом знак неравенства.

3. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный.

Пример:

решить неравенство −8x +11. 
Решение

1. Перенесём член −3x в левую часть неравенства, а член 11 — в правую часть неравенства, при этом поменяем знаки на противоположные у −3x  и у 11. 
Тогда получим

−8x+3x
2. Разделим обе части неравенства −5x на отрицательное число −5, при этом знак неравенства , поменяется на , т. е. мы перейдём к неравенству противоположного смысла. 
Получим:

−5x−15:(−5);x3.

 x3 — решение заданного неравенства.

Обрати внимание!

Для записи решения можно использовать два варианта: x3 или в виде числового промежутка.

Отметим множество решений неравенства на числовой прямой и запишем ответ в виде числового промежутка.

x∈(3;+∞).
Ответ: x3, или x∈(3;+∞).

2. Равносильные неравенства

Два неравенства f(x)g(x) и r(x)s(x) называют равносильными,

если они имеют одинаковые решения, или в частности — если оба неравенства не имеют решений.

При решении неравенства данное неравенство заменяют более простым, но равносильным ему.

Такую замену называют равносильным преобразованием неравенства.

Равносильные преобразования неравенств

-  неравенство 3x2+3,6x≤0,84  равносильно неравенству  3x2+3,6x−0,84≤0;

0,84 перенесли из правой части неравенства в левую с противоположным знаком;

-  неравенство 4x2−14x+12≥0 равносильно неравенству 2x2−7x+6≥0;
 обе части первого неравенства разделили на положительное число 2;

- неравенство −2x2+7x−60 равносильно неравенству 2x2−7x+6

обе части первого неравенства умножили на отрицательное число −1,

при этом знак неравенства  изменили на противоположный, т. е.  - неравенство (2t2+3)(7t−6)0 равносильно неравенству  7t−60; 
обе части исходного неравенства разделили на выражение 2t2+3,

положительное при любых значениях t, при этом знак исходного неравенства оставили без изменения;

- неравенство 11z+6−2z2−30;
обе части исходного неравенства умножили на выражение −2z2−3,
отрицательное при любых значениях z, при этом знак исходного неравенства .

1. Решение рациональных неравенств методом интервалов

Рациональным неравенством с одной переменной x называют неравенство вида f(x), где f(x) и g(x) — рациональные выражения, т. е. алгебраические выражения, составленные из чисел, переменной x и с помощью математических действий,

т. е. операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в натуральную степень.

При решении рациональных неравенств применяют правила, которые используются при решении линейных и квадратных неравенств. 

С помощью равносильных преобразований рациональное неравенство приводят к виду h(x)

Пример:

решить неравенство x2+32x2−7x−40.

Решение

1. Найдём корни квадратного трёхчлена 2x2−7x−4

и разложим его на множители по формуле ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2):

2x2−7x−4=0;D=b2−4ac=(−7)2−4⋅2⋅(−4)=49+32=81;x1=−b−D−−√2a=−(−7)−81−−√2⋅2=7−94=−24=−12=−0,5;x2=−b+D−−√2a=−(−7)+81−−√2⋅2=7+94=164=4;2x2−7x−4=2(x+0,5)(x−4);2(x+0,5)(x−4)=0|:2;(x+0,5)(x−4)=0;x1=−0,5;x2=4.

2. Разделим обе части неравенства на положительное при всех значениях x

выражение x2+3, при этом знак неравенства  не поменяется:

x2+3(x+0,5)(x−4):(x2+3)0:(x2+3);x2+3(x+0,5)(x−4)⋅1x2+30;(x2+3)⋅1(x+0,5)(x−4)⋅(x2+3)0;1(x+0,5)(x−4)0.

3. Отметим на числовой прямой корни и найдём знаки квадратного трёхчлена на каждом интервале.

Для этого из каждого интервала достаточно взять произвольно по одному значению и подставить вместо x в трёхчлен.

На интервале (−∞;−0,5) возьмём x=−2, тогда 2⋅(−2)2−7⋅(−2)−4=2⋅4+14−4=180.

На интервале (−0,5;4) возьмём x=0, тогда 2⋅02−7⋅0−4=0−0−4=−4.

На интервале (4;+∞) возьмём x=5, тогда 2⋅52−7⋅5−4=2⋅25−35−4=50−39=110.

Квадратный трёхчлен принимает положительные значения на интервалах (−∞;−0,5) и (4;+∞).

Ответ: (−∞;−0,5) и (4;+∞).

2. Свойство чередования знаков

Если функция задана формулой вида f(x)=(x−x1)(x−x2)...(x−xn),

где  x — переменная, а x1,x2,...,xn — неравные друг другу числа,

числа, которые являются нулями функции, то в каждом из промежутков, на которые область определения разбивается нулями функции, знак функции сохраняется, а при переходе через нуль её знак изменяется.

Это свойство используется для решения неравенств.

Пример:

решить неравенство (x−6)(x+2).

Найдём нули функции.

Приравняем к нулю левую часть и решим уравнение, помня, что

произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

(x−6)(x+2)=0;x−6=0;x+2=0;x1=6.x2=−2.

 Отметим на координатной прямой нули функции и найдём знаки функции на каждом промежутке.

Достаточно знать, какой знак имеет функция в одном из этих промежутков, чтобы, пользуясь свойством чередования знаков, определить знаки во всех остальных промежутках.

                                     −2                                                  6                                  x

На интервале (−2;6) возьмём x=0, тогда  (0−6)⋅(0+2)=-12 .

На двух других промежутках функция принимает положительные значения.

Решить данное неравенство — это значит ответить на вопрос, при каких значениях x функция принимает отрицательные значения;

значит, решением неравенства является множество значений x из промежутка (−2;6). 

Ответ: x∈(−2;6).

Тест по теме Решение рациональных неравенств

Вариант 1.

1. Решите неравенство

4х-3(х+7)12+х

А) Ø В) х3 С) хD) х33 Е) х

2. Решите систему неравенств

А) (-3; 3) В) (-3; 1,5) С) (- ; 0) D) (0; 3) Е) (- ; 3)

3. Решите неравенство

х²-х-6

А) (- ; 2) В) (34; -2) C) (-2; 3) D) (0; 3) Е) (1; 6)

4. Решите неравенство

(х+3)(х-1)(х-10)

А) (- ; 1) (3; 10) В) (-3; 1) (1; 10) С) (- ; 3) (3; 10)

D) (1; 3) (3; 10) Е) (- ; -3) (1; 10)

5. Найти область определения функции

У=

А) (- ; ) В) (-1; 1) С) (- ; 1) D) (1; ) Е) Ø

6.Решить неравенство

А) (- ; ) В) (- ; 0) С) ( ; ) D) ( ; 3); Е) (- ;- )

7. Найти наибольшее целое х_, удовлетворяющее неравенству

А) х=3; В) х=-2 С) х=-6 D) х=5 Е) х=6

8. Решите неравенство

|х-3|

А) (1; 5) В) (-1; 5) С) (-5; 5) D) (2; 5) Е) (0; 5)

9. Решите неравенство

А (- ; 0] В) [0; 6] С) (- ; 6] D) [1; ) Е) [-2;3]

10. Найти решение неравенства. 0,8х² х+0,3

А) [- ; 1,5] В) [1,5; 2] С) [- ; 1] D) (- ; ] Е) [ ; )

Тема: «Решение рациональных неравенств»

Вариант 2

1. Решите неравенство

6+х4х-3(2х-3)

А) х1; В) х2 С)Ø х7

2. Решите систему неравенств

А) (- ; 2) В) ( - ; ) С) (0; ) D) ( ; 2) Е) (-1; 1)

3. Решите неравенство

х²+3х-4

А) (-2; 2) В) (1; -4) С) (-4; 1) D) (-4; 0) Е) (1; -3)

4. Решите неравенство

(х+11)(х+3)(х-8) 0

А) (- ; -11) (3; 8) В) (-11; -3) (-3; 8) С) (- ; 3) (3; 8)

D) (-3; 11) (11; ) Е) (-11; -3) (8; )

5. Найти область определения функции

У=

А) (- ; ) В) (-1; 1) С) (- ; 1) D) (1; 2) Е) (2; )

6. Решить неравенство

А) (0; ) В) (- ; 2.5) С) (- ; ) D) ( ; ) Е) (- ; )

7. Найти наибольшее целое х, удовлетворяющее неравенству

А) х=1; В) х =3 С) х= -2 D)х = - 4 Е) х=5

8. Решите неравенство

|х-3|

А) не имеет решения В) (1; 3) С) (-3; 1) D) (-1; 1) Е) (-1; 3)

9. Решите неравенство

А) (- ; -1) В) (- ; -1) С) (-8; -7) D) (-7; ) Е) (-8; )

10. Найти решение неравенства 0,6х² 0,5-1,3х, принадлежащее промежутку [ ; 1]

А) [ ; ] В) (- ; ] С) (- ; ] D) (-2; 3) Е) [0,6; 5]

Эталоны ответов теста по теме: Решение рациональных неравенств

Критерии оценивания тестовых заданий

10 вопросов 5 (отлично) (10-9 ответов)

10 вопросов 4 (хорошо) (8 ответов)

10 вопросов 3 (удов) (7 ответов)

Литература

1. Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М.: 2018

2. Башмаков М.И. Сборник задач: учеб. пособие (базовый уровень). 11 кл. – М.: 2012

Интернет-ресурсы

1. http://school-collection.edu.ru – Электронный учебник «Математика в

школе, XXI век».

1. http://fcior.edu.ru - информационные, тренировочные и контрольные материалы.

2. www.school-collection.edu.ru – Единая коллекции Цифровых образовательных ресурсов