IIХ региональный конкурс молодых исследователей
«Ступень в науку»
Секция: Математика
Тема: «Методика быстрого счета»
Автор работы:
Бузарова Анна Альбертовна
Место выполнения работы:
МБОУ СОШ № 30, 6 класс
Г.Владикавказ
Научный руководитель:
Караева Дженни Андреевна
Почетный работник общего образования РФ
Учитель математики
Владикавказ, 2014-2015
План:
Аннотация 3
Введение 4-6
Методика быстрого счета: понятие и общая характеристика 6-7
Приемы быстрого счета 7-15
Таблица умножения «на пальцах» 7-8
Быстрое умножение 9-15
Заключение 16
Список использованной литературы 17
Аннотация:
Настоящая работа содержит характеристику отдельных приемов быстрого счета – арифметической методике, позволяющей оригинальными способами находить в кратчайшие сроки правильные решения. Исследуются, в частности, такие приемы как таблица умножения «на пальцах», а также быстрое умножение на различные числа –5,6,7,9, 11,12 и т.д.
Основным источником, который был использован при написании, послужило русское издание книги профессора цюрихского университета Якова Трахтенберга «Системы быстрого счета». Также были использованы статьи, опубликованные в разное время в периодической печати по заданной теме.
|
| Введение
В наш век высоких технологий и повсеместного использования компьютера умение быстро и правильно производить в уме достаточно сложные вычисления ни в коем случае не утратило своей актуальности. Гибкость ума является предметом гордости людей, а способность, например, быстро производить в уме вычисления вызывает откровенное удивление. Такие навыки помогут человеку в учебе, в быту, в профессиональной деятельности. Кроме того, быстрый счет - настоящая гимнастика для ума, приучающая в самых сложных жизненных ситуациях находить в кратчайшее время хорошие и нестандартные решения. Производя математические вычисления в уме, человек пользуется, по сути, теми же правилами, что и при письменных вычислениях Актуальность темы работы заключается в том, что быстрый счет помогает людям в повседневной жизни, а ученикам на «отлично» заниматься по математике Никто не знает, как впервые появилось число, как первобытный человек начал считать. Однако десятки тысяч лет назад первобытный человек собирал плоды деревьев, ходил на охоту, ловил рыбу, научился делать каменный топор и нож, и ему приходилось считать различные предметы, с которыми он встречался в повседневной жизни. Постепенно возникало необходимость отвечать на жизненно важные вопросы: поскольку плодов достанется каждому, чтобы хватило всем, сколько расходовать сегодня, чтобы оставить про запас; сколько нужно сделать ножей и т.п. Таким образом, сам не замечая, человек начал считать и вычислять. Вначале человек научился выделять единичные предметы. Например, из стаи волков, стада оленей он выделял одного вожака, из выводка птенцов - одного птенца и т. д. Научившись выделять один предмет из множества других, говорили: «один», а если их было больше – «много» Даже для названия числа «один» часто пользовались словом, которым обозначался единичный предмет, например: «луна", "солнце». Такое совпадение названия предмета и числа сохранилось в языке некоторых народов до наших дней. Частые наблюдения множеств, состоящих из пары предметов (глаза, уши, крылья, руки), привели человека к представлению о числе два. До сих пор слово «два» на некоторых языках звучит так же, как «глаза» или «крылья». Если предметов было больше двух, то первобытный человек говорил «много». Лишь постепенно человек научился считать до трех, затем до пяти и до десяти и т.д. Название каждого числа отдельным словом было великим шагом вперед. Для счета люди использовали пальцы рук, ног. Ведь и маленькие дети тоже учатся считать по пальцам. Однако этот способ годился только в пределах 20. Выход нашелся: считать на пальцах до 10, а затем начинать сначала, отдельно подсчитывая количество десятков. Система счисления на основе десяти возникла как естественное развитие пальцевого счета. По мере развития речи люди начали использовать слова для обозначения чисел. Отпала необходимость показывать кому-то пальцы, камешки или реальные предметы, чтобы назвать их количество. Для изображения чисел стали применяться рисунки, чертежи или символы. Существовали и системы с отдельными символами для каждой цифры до 9 включительно, как в арабской системе счисления, которую мы сейчас используем, а у греков имелся специальный символ и для 10. При помощи пальцев рук люди научились не только считать большие числа, но и выполнять действия сложения и вычитания. Древние торговцы для удобства счета начали накладывать зерна и раковины на специальную дощечку, которая со временем стала называться абаком. Особенно сложны и трудны были в старину действия умножения и деления - особенно последнее. «Умноженье - мое мученье, а с делением - беда», - говорили в старину. Тогда не существовало еще, как теперь, одного выработанного практикой приема для каждого действия. Напротив, в ходу была одновременно чуть не дюжина различных способов умножения и деления - приемы один другого запутаннее, твердо запомнить которые не в силах был человек средних способностей. Каждый учитель счетного дела держался своего излюбленного приема, каждый «магистр деления» (были такие специалисты) восхвалял собственный способ выполнения этого действия. В книге В. Беллюстина «Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики» (1914) изложено 27 способов умножения, причем автор замечает: «весьма возможно, что есть и еще (способы), скрытые в тайниках книгохранилищ, разбросанные в многочисленных, главным образом, рукописных сборниках». Наш современный способ умножения описан там под названием «шахматного». Был также и очень интересный, точный, легкий, но громоздкий способ «галерой» или «лодкой», названный так в силу того, что при делении чисел этим способом получается фигура, похожая на лодку или галеру. У нас такой способ употреблялся до середины XVIII века. На протяжении своей книги в 640 страниц Леонтий Магницкий («Арифметика» - старинный русский учебник математики, которую Ломоносов называл «вратами своей учености») пользуется исключительно способом «галеры», не употребляя, впрочем, этого названия. Упоминаются такие способы, как «загибанием», «решеткой», «задом наперед», «ромбом», «треугольником» и многие другие. Многие такие приемы для умножения чисел долгие и требуют обязательной проверки.
Методика быстрого счета: понятие и общая характеристика Феномен особых способностей в устном счёте встречается с давних пор. Как известно, ими обладали многие учёные, в частности, Андре Ампер и Карл Гаусс. Однако умение быстро считать было присуще и многим людям, чья профессия была далека от математики и науки в целом. До второй половины XX века на эстраде были популярны выступления специалистов в устном счёте. Иногда они устраивали показательные соревнования между собой. Известными российскими «суперсчетчиками» являются Арон Чиквашвили, Давид Гольдштейн, Юрий Горный, зарубежными: Борислав Гаджански, Вильям Клайн, Томас Фулер и другие. Хотя некоторые специалисты уверяли, что дело во врождённых способностях, другие аргументировано доказывали обратное: дело не только и не столько в каких-то исключительных, феноменальных способностях, а в знании некоторых математических законов, позволяющих быстро производить вычисления и охотно раскрывали эти законы. Истина, как обычно, оказалась на некоей золотой середине сочетания природных способностей и грамотного, трудолюбивого их пробуждения, взращивания и использования. Те, кто уповают исключительно на волю и напористость, со всеми уже хорошо известными способами и приёмами устного счёта обычно при всех стараниях не поднимаются выше очень и очень средних достижений. Более того, настойчивые попытки «хорошенько нагрузить» мозг такими занятиями как устный счёт, шахматы вслепую и т. п. легко могут привести к перенапряжению и заметному падению умственной работоспособности, памяти и самочувствия (а в наиболее тяжёлых случаях - и к шизофрении). С другой стороны и одарённые люди при беспорядочном использовании своих талантов в такой области как устный счёт быстро «перегорают» и перестают быть в состоянии длительно и устойчиво показывать яркие достижения. Один из примеров удачного сочетания обоих условий (природной одарённости и большой грамотной работы над собой) показал наш соотечественник уроженец Алтайского края Юрий Горный. Пожалуй, единственная научно обоснованная и достаточно подробно разработанная система резкого повышения быстроты устного счета создана была в годы второй мировой войны цюрихским профессором математики Яковом Трахтенбергом. Она известна под названием «Системы быстрого счета». История ее создания необычная. В 1941 году гитлеровцы бросили Трахтенберга в концлагерь. Чтобы уцелеть в нечеловеческих условиях и сохранить нормальной свою психику, Трахтенберг начал разрабатывать принципы ускоренного счета. За четыре страшных года пребывания в концлагере профессору удалось создать стройную систему ускоренного обучения детей и взрослых основам быстрого счета. После войны Трахтенберг создал и возглавил Цюрихский математический институт, получивший мировую известность. Также разработкой приемов быстрого счета занимались другие ученые: Яков Исидорович Перельман, Георгий Берман и другие. Приведем приемы умножения чисел, получившие наибольшее описание в литературе.
2.Приемы быстрого счета
2.1.Таблица умножения «на пальцах» Таблица умножения - те необходимые в жизни каждого человека знания, которые требуется элементарно заучить, что на первых школьных порах дается совсем не элементарно. Это потом уже с легкостью мага мы «щелкаем» примеры на умножение: 2*3, 3*5, 4*6 и так далее. С возрастом, правда, все чаще забываемся на множителях ближе к 9, особенно если счетной практики давно не ведали, отчего отдаемся во власть калькулятора или надеемся на свежесть знаний друга. Однако, овладев одной незамысловатой техникой «ручного» умножения, мы можем запросто отказаться от услуг калькулятора. Но сразу уточним, что говорим только о школьной таблице умножения, то есть для чисел от 2 до 9, умножаемых на числа от 1 до 10. Умножение для числа 9 – 9*1, 9*2 ... 9*10 легче выветривается из памяти и труднее пересчитывается вручную методом сложения, однако именно для числа 9 умножение легко воспроизводится «на пальцах». Растопырьте пальцы на обеих руках и поверните руки ладонями от себя. Мысленно присвойте пальцам последовательно числа от 1 до 10, начиная с мизинца левой руки и заканчивая мизинцем правой руки. Допустим, хотим умножить 9 на 6. Загибаем палец с номером, равным числу, на которое мы будем умножать девятку. В нашем примере нужно загнуть палец с номером 6. Количество пальцев слева от загнутого пальца показывает нам количество десятков в ответе, количество пальцев справа - количество единиц. Слева у нас 5 пальцев не загнуто, справа - 4 пальца. Таким образом, 9*6=54. Еще пример: нужно вычислить 9*8=?. По ходу дела скажем, что в качестве «счетной машинки» не обязательно могут выступать пальцы рук. Возьмите, к примеру, 10 клеточек в тетради. Зачеркиваем 8-ю клеточку. Слева осталось 7 клеточек, справа - 2 клеточки. Значит 9*8=72. Умножение для числа 8 – 8*1, 8*2 ... 8*10 - действия здесь похожи на умножение для числа 9 за некоторыми изменениями. Во-первых, поскольку числу 8 не хватает уже двойки до круглого числа 10, нам необходимо каждый раз загибать сразу два пальца - с номером x и следующий палец с номером x+1. Во-вторых, тотчас же после загнутых пальцев мы должны загнуть еще столько пальцев, сколько осталось не загнутых пальцев слева. В-третьих, это напрямую работает при умножении на число от 1 до 5, а при умножении на число от 6 до 10 нужно отнять от числа x пятерку и выполнить расчет как для числа от 1 до 5, а к ответу затем добавить число 40, потому что иначе придется выполнять переход через десяток, что не совсем удобно «на пальцах», хотя в принципе это не так сложно. Вообще надо заметить, что умножение для чисел ниже 9 тем неудобнее выполнять «на пальцах», чем ниже число расположено от 9. Теперь рассмотрим пример умножения для числа 8. Допустим, хотим умножить 8 на 4. Загибаем палец с номером 4 и за ним палец с номером 5 (4+1). Слева у нас осталось 3 незагнутых пальца, значит нам необходимо загнуть еще 3 пальца после пальца с номером 5 (это будут пальцы с номерами 6, 7 и 8). Осталось 3 пальца не загнуто слева и 2 пальца - справа. Следовательно, 8·4=32. Еще пример: вычислить 8*7=?. Как было сказано выше, при умножении на число от 6 до 10 нужно отнять от числа x пятерку, выполнить расчет с новым числом x-5, а затем добавить к ответу число 40. У нас x=7, значит загибаем палец с номером 2 (7-5=2) и следующий палец с номером 3 (2+1). Слева один палец остался не загнут, значит загибаем еще один палец (с номером 4). Получаем: слева 1 палец не загнут и справа - 6 пальцев, что обозначает число 16. Но к этому числу нужно еще добавить 40: 16+40=56. В итоге 8*7=56. |
- Быстрое умножение
Умножение на одиннадцать:
1. Умножение на 11 числа, сумма цифр которого не превышает 10.
Чтобы умножить на 11 число, сумма цифр которого 10 или меньше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить 1, а вторую и последнюю (третью) цифру оставить без изменения.
72*11 = 7 (7+2) 2 = 792;
35*11 = 3 (3+5) 5 = 385;
2. Умножение на 11 числа, сумма цифр которого больше 10.
Чтобы умножить на 11 число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить 1, а вторую и последнюю (третью) цифру оставить без изменения.
78*11 = 7 (7+8) 8 = 7(15)8 = 858.
94* 11 = 9 (9+4) 4 = 9 (13) 4 = 1034;
3. Умножение на одиннадцать по Трахтенбергу:
Разберем на примере: 633 умножить на 11.
Ответ пишется под 633 по одной цифре справа налево, как указано в правилах.
Первое правило. Напишите последнюю цифру числа 633 в качестве правой цифры результата
633*11
3
Второе правило. Каждая последующая цифра числа 633 складывается со своим правым соседом и записывается в результат. 3 + 3 будет 6. Перед тройкой записываем результат 6.
633*11
63
Применим правило еще раз: 6 + 3 будет 9. Записываем и эту цифру в результате:
633*11
963
Третье правило. Первая цифра числа 633, то есть 6, становится левой цифрой результата:
633 * 11
6963
Ответ: 6963.
4. Умножение на одиннадцать по Берману:
Берман вывел, что при умножении на одиннадцать, число нужно умножить на 10 и прибавить само себя, то есть то число, которое мы умножаем.
Пример: 110*11 = 110*(10 + 1) = 110*10 + 110*1 = 1100 + 110 =1210 Ответ: 1210.
Пример: 123*11 = 123*(10 +1) = 123*10 + 123*1 = 1230 + 123 =1353 Ответ: 1353.
Умножение на число 111, 1111 и т.д., зная правила умножения двузначного числа на число 11
Если сумма цифр первого множителя меньше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа на 2, 3 и т.д. шага, сложить цифры и записать соответствующее количество раз их сумму между раздвинутыми цифрами. Количество шагов всегда меньше количества единиц на 1.
Пример:
24* 111 = 2 (2 + 4) (2+4) 4 = 2664 (количество шагов - 2)
24* 1111 = 2 (2 +4) (2 +4) (2+4) 4 = 26664 (количество шагов - 3)
При умножении числа 72 на 111111 цифры 7 и 2 надо раздвинуть на 5 шагов. Эти вычисления можно легко произвести в уме.
72*111111 = 7999992 (количество шагов - 5)
Если единиц во втором множителе 7, то шагов будет на один меньше, т.е. 6.
Если единиц 8, то шагов будет 7 и т.д.
61х 11111111 = 677777771
Эти вычисления можно легко произвести в уме.
Умножение двузначного числа на 111, 1111, 1111 и т.д., сумма цифр которого равна 10 или больше 10
Немного сложнее выполнить устное умножение, если сумма цифр первого множителя равна 10 или более 10.
Примеры:
48*111 = 4*(4+8)*(4+8)*8 = 4*(12)*(12)*8 = (4 +1)*(2+1)*28 = 5328.
В этом случае к первой цифре надо прибавить 1. Получим 5.
Далее 2 + 1 = 3. А последние цифры 2 и 8 оставляем без изменения.
56811111 = 5(5+6)(5+6)(5+6)(5+6)6 = 5(11)(11)(11)(11)6 = 622216
67*1111 = 6(6+7)…7 = 6(13)…7 = 74437
Умножение двузначного числа на 101
Пожалуй, самое простое правило: припишите ваше число к самому себе. Умножение закончено. Пример:
57*101 = 5757*57 = 5757
быстрый счет умножение число
Умножение трехзначного числа на 999.
Любопытная особенность числа 999 проявляется при умножении на него всякого другого трехзначного числа. Тогда получается шестизначное произведение: первые три цифры его есть умножаемое число, только уменьшенное на единицу, а остальные три цифры (кроме последней) - «дополнения» первых до 9. Например: 573*999 = 572 427
Умножение на двенадцать по Трахтенбергу:
Правило умножения на 12 заключается в следующем:
Нужно удваивать поочерёдно каждую цифру и прибавлять к ней её «соседа».
В отличие от умножения на 11, теперь каждую цифру удваивают, прежде чем прибавлять к ней «соседа». Рассмотрим это на примере. Умножим 413 на 12.
Правило умножения на 12: нужно удваивать поочередно каждую цифру и прибавлять к ней поочередно ее «соседа».
Пример: 63247*12
Необходимо записывать цифры множимого через интервал и каждую цифру результата писать точно под цифрой числа 63247, из которой она образовалась.
063247*12 дважды 7 будет = 14, переносим 1
4
063247*12 дважды 4 + 7 + 1 = 16, переносим 1
64
063247*12 дважды 2 + 4 + 1 = 9
964
Следующие шаги аналогичны.
Окончательный ответ: 063247*12
758964
Умножение на двенадцать по Берману:
При умножении на 12 можно число умножить сначала на 6, а затем на 2. 6, в свою очередь, можно разбить на 2 множителя - это 3 и 2.
Пример: 136*12 = 136*6*2 = 816*2 = 1632 или
136*12 = 136*3*2*2 = 408*2*2 = 816*2 = 1632
При умножении на 5, 6 и 7 используется идея деления цифры «пополам». Мы берем слово «пополам» в кавычки, так как дроби, которые могут при этом встретиться, мы отбрасываем. Отличительная способность нечетных цифр(1,3,5,7 и 9) состоит в том, что при делении их «пополам» мы отбрасываем дроби. Чётные цифры (0,2,4,6 и 8) дают обычный результат.
Умножение на шесть:
В том случае, когда все цифры четные нужно: прибавить к каждой цифре «половину» «соседа».
Является ли «сосед» четным или нечетным - никакой роли не играет. Мы смотрим только на «цифру»: если она четная, прибавляем к ней «половину» «соседа», если нечетная, то, кроме «половины» «соседа», прибавляем ещё 5. Например 443052*6
Цифры 3 и 5- нечетные. Поэтому, обрабатывая 3 и 5, мы дополнительно должны прибывать 5 только потому, что они нечетные.
Числа, которые мы умножали на 6, были длинными. А будет ли работать метод, если мы попытаемся умножать 6 на однозначные числа, например 6 на 6? Да и даже не потребуется никаких изменений. Нужно прибавить к каждой цифре половину «соседа».
Пример: 0622084*6
0622084*6 4 является правой цифрой этого числа и, так 4 как «соседа» у нее нет, прибавлять нечего.
0622084*6 вторая цифра 8, ее «сосед» - 4. Мы берем 8 04 прибавляем половину 4 (2) и получаем 10, ноль пишем, 1 в перенос.
0622084*6 Следующая цифра ноль. Мы прибавляем к ней
504 половину «соседа» 8 (4), то есть 0 + 4 = 4 плюс
перенос (1).
Остальные шаги аналогичны.
Ответ: 0622084*6
3732504
Пример: 0443052*6
0443052*6 2 - четная и не имеет «соседа», напишем ее снизу
2
0443052*6 5 - нечетная: 5 + 5 и плюс половина «соседа» 2 (1)
12 будет 11. Запишем 1 и в перенос 1
0443052 * 6 половина от 5 будет 2, и прибавим перенос 1, будет 3
312
0443052*6 3 - нечетная, 3 + 5 =8
8312
0443052*6 4 + половина от 3 (1) будет 5
58312
0443052*6 4 + половина от 4 (2) будет 6
658312
0443052*6 ноль + половина от 4 (2) будет 2
2658312
Ответ: 2658312
Умножение на семь:
Правило умножения на 7 очень похоже на правило умножения на 6:
Удвойте цифру и прибавьте половину соседа. Если цифра нечетная, прибавьте ещё 5.
Умножение на пять:
Правило умножения на 5 подобно правилу умножения на 6 и 7, только оно проще. Вместо того чтобы прибавлять цифру, как мы это делали при умножении на 6, или удваивать её, как её при умножении на 7, мы используем цифру только для того, чтобы определить ее чётность или нечётность.
Если цифра нечётная, берем половину соседа и прибавляем 5. Если цифра чётная, пишем половину соседа.
Все это легко выполнимо. Вычислений тут очень мало. Сначала эти действия вам покажутся вам немного странными, поскольку приходится несколько перестроить ход своих мыслей. Так, вы больше используете соседа, чем цифру. Очень полезно поупражняться в умении удерживать в поле зрения определённое место числа. Позже, когда мы будем умножать одно большое число на другое, мы убедимся, что требуется известное умение сосредоточиваться, чтобы вспомнить, в какой стадии умножения мы находимся.
Умножение на девять:
При умножении на 8 и 9 мы мысленно делаем ещё один новый шаг, который требует дальнейших упражнений. Раньше мы только складывали цифры, теперь нам нужно будет вычитать цифру из девяти или 1о. Предположим, мы хотим 4667 умножить на 8 или 9. В обоих этих случаях первый шаг состоит в том, что последнюю цифру большего числа (7) вычесть из 10. Мы начинаем с того, что смотрим на правый край числа 4 567 и говорим «3». Надо предварительно говорить: «10 минус 7, будет 3», реакция должна быть немедленная. Мы смотрим на 7 и говорим «3». Проверьте быстроту вашей реакции - посмотрите на каждую из следующих цифр и тотчас же скажите получаемый результат после вычета ее из 10:
7,6,9,2,8,1,7,2,4,3,9,6,5,3,1,9.
Теперь вы сможете легко и быстро умножать на 9, не пользуясь таблицей умножения. Лучше всего это пояснит правило, которое нет необходимости выучивать наизусть, ибо после некоторой тренировки оно само закрепиться в вашей памяти. Правило это гласит:
1.Выучите правую цифру большого числа из 10. Это дает правую цифру результата.
2.Возьмите поочерёдно каждую из следующих цифр до самой последней, вычтите её из 9 и прибавьте соседа
3.В последнем шаге, когда вы будите рассматривать цифру нуль, стоящую перед длинным числом, вычтите 1 из соседа, и полученное число будет самой левой цифрой результата.
Если имеется точка (перенесённая 10), то, разумеется, при всех этих шагах вы, как обычно, должны её добавить.
Умножение на восемь:
Правила умножения на 8 таковы:
1.Первая цифра: вычтите из 10 и удвойте.
2.Средние цифры: вычтите из 9 и удвойте полученное, затем прибавьте соседа.
3.Левая цифра: вычтите 2 из самой левой цифры большого числа.
Умножение на 8 аналогично умножению на 9, с той лишь разницей, сто происходит удвоение разностей и в последнем шаге из левой цифры большого числа вычитается не 1, а 2.
Умножение на четыре:
Большинство людей, обладающих даже самыми скромными математическими знаниями, совершенно уверенны в том, что умеют умножать на 4. Но мы все-таки сейчас покажем , как это делается при помощи способа, аналогично тем, которые мы рассматривали выше.
Полностью эти правила таковы
1.Вычтите самую правую цифру данного числа из 10 и прибавьте 5, если цифра нечётная
2.Вычтите поочерёдно каждую цифру данного числа из 9, прибавьте 5, если цифра нечётная, и прибавьте половину соседа.
3.Напишите под нулем перед заданным числом половину соседа этого нуля минус 1.
Для закрепления этих правил требуется куда меньше упражнений, чем при изучении таблицы умножения. Спустя несколько часов все операции кажутся естественными и простыми.
Умножение на три:
Умножение на 3, за некоторыми исключениями, похоже на умножение на 8. Вместо того чтобы прибавлять соседа, как при умножении на 8, мы теперь прибавляем только половину соседа. Само собой разумеется, когда цифра нечётная, то мы дополнительно прибавляем 5.
Правила умножения на 3 таковы:
Первая цифра: вычтите её из 10 и удвойте.
Средние цифры: вычтите цифру из 9 и полученное удвойте.
Самая левая цифра: разделите на 2 самую левую цифру большого числа и вычтите 2.
Умножение на два:
Умножение на 2, разумеется, очень просто. По принятой нами терминологии это означает, что мы поочерёдно удваиваем каждую цифру данного числа, не пользуясь соседом. Мы можем удвоить число, просто прибавив его к самому себе, тогда даже не потребуется выучивать наизусть столбец таблицы умножения на 2.
Заключение:
Как мы видим, быстрый счет это уже не тайна за семью печатями, а научно разработанная система. Раз есть система, значит ее можно изучать, ей можно следовать, ею можно овладеть.
Все рассмотренные мною методы устного умножения говорят о многолетнем интересе и ученых, и простых людей к игре с цифрами.
Используя некоторые из этих методов на уроках или дома, можно развить скорость вычислений, привить интерес к математике, добиться успехов в изучении всех школьных предметов.
Список литературы:
Бантова М. А. Система формирования вычислительных навыков. //Начальная школа. 1993. № 11.
Белошистая А. В. Приём формирования устных вычислительных умений в пределах 100 // Начальная школа. 2001. № 7.
Берман Г. Н. Приемы счёта, изд. 6-е. http://publ.lib.ru/ARCHIVES/B/BERMAN_Georgiy_Nikolaevich/_Berman_G.N..html
Боротьбенко Е. И. Контроль навыков устных вычислений. //Нач. шк. -- 1972. -- № 7.
Волкова С.И., Моро М. И. Сложение и вычитание многозначных чисел. //Начальная школа. 1998.№ 8.
Демидова Т. Е., Тонких А. П. Приёмы рациональных вычислений в начальном курсе математики // Начальная школа. 2002. № 2.
Катлер Э. Мак-Шейн Р. Система быстрого счёта по Трахтенбергу. М.: Учпедгиз.1967. 150с.
Мартынов И. И. Устный счёт для школьника, что гаммы для музыканта. // Начальная школа. 2003. № 10.
Фаддейчева Т. И. Обучение устным вычислениям // Начальная школа. 2003. № 10.
448
113 967 
