Методика использования векторного и координатного метода при решении задач повышенной сложности

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Башкирский государственный педагогический университет

им. М.Акмуллы»

(ФГБОУ ВПО «БГПУ им. М.Акмуллы»)

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА

Тазетдиновой Анастасии Николаевны

МЕТОДИКА ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ВЕКТОРНОГО И

КООРДИНАТНОГО МЕТОДА ПРИ РЕШЕНИИ

ЗАДАЧ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ

Научный руководитель:

Дата представления_________________

Дата защиты_______________________

Оценка____________________________

Уфа 2014

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

История возникновения и становления аналитических методов

Различные подходы к определению понятия вектора в математике и в школьном курсе математики

Обучение решению задач как психологическая и методическая проблема

Методика обучения векторному методу решения задач в геометрии

Методика формирования умений, составляющих суть векторного метода решения задач в неполной средней школе

Методика обучения векторному методу решения содержательных геометрических задач

Описание элективного курса «Решение задач повышенной сложности векторным и координатным способом»

Заключение

Список литературы

Приложение

ТЕМА: Методика использования векторного и координатного метода при решении задач повышенной сложности

Автор работы: Тазетдинова Анастасия Николаевна

Научный руководитель:

(фамилия, имя. отчество, должность, ученая степень. звание, место работы)

АННОТАЦИЯ

Актуальность работы

В соответствии с концепцией Российского образования и, в частности, математического, одной из задач обучения, развития и воспитания учащихся в средней школе является достижение следующих двух главных целей образования: воспитать личность, способную адаптироваться в быстро меняющихся условиях жизни и способную одновременно изменять эти условия. Соответственно, усилия школы должны быть сосредоточены в двух направлениях: создание условий для развития интеллекта и формирование творческих качеств личности обучающихся. Одной из приоритетных целей математического образования в рамках выделенных направлений является «формирование представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, об идеях и методах математики». Векторный и координатный метод, который в литературе называется ещё векторно-координатным и координатно-векторным, является одним из основных методов геометрии. Тем не менее, большинство школьников затрудняются в применении этого метода к решению задач, в том числе повышенной сложности. Это обусловлено тем, что в школе уделяется недостаточно внимания для применения указанных методов на практике. Разрешение этого противоречия между необходимостью обучения учащихся векторному методу решения геометрических задач и недостаточному уделению внимания этому на практике особенно актуально при изучении темы «Векторы в пространстве» в 10 классе, поскольку в теории и методике обучения математике даются, в основном, рекомендации для изучения векторного метода на плоскости.

Таким образом, сформулированное выше противоречие определило актуальность проблемы моей работы, которая состоит в его разрешении посредством обоснованной разработки методических рекомендаций по обучению учащихся векторному и координатному методу решения геометрических задач в теме «Векторы в пространстве».

Цели и задачи

Целью работы является разработка методики, которая позволила бы избежать устойчивых затруднений, возникающих у учеников при введении понятия вектора и изучении его свойств. Это позволит сделать изучение темы «Векторы» понятной и доступной для большинства учащихся.

Для достижения поставленной цели необходимо решить задачи:

• провести анализ психолого-педагогической и научно-методической литературы по проблеме исследования с целью выявления условий успешного овладения школьниками векторного и координатного метода решения геометрических задач, в том числе повышенной сложности;

• провести анализ программных документов, школьных учебников по теме «Векторы в пространстве»;

• выявить теоретико-методическую концепцию, на основе которой можно разрабатывать методические рекомендации изучения векторного и координатного метода решения задач в школьном курсе геометрии;

• разработать методические рекомендации для успешного овладения учащимися векторного и координатного метода;

• провести опытную проверку разработанных методических рекомендаций.

Характеристика методики исследования и использованных источников

Для решения вышеперечисленных задач использовались следующие методы:

• изучения и анализ литературы по исследуемой проблеме;

• беседа с учителями математики в старших классах общеобразовательной школы;

• тестирование учащихся;

• опытная работа.

Объект исследования: процесс обучения геометрии в основной школе;

Предмет исследования: методическая система обучения учащихся векторному методу решения задач.

Гипотеза исследования: Если целенаправленно обучать школьников умениям и действиям, входящих в состав векторного и координатного метода, формулировать частные эвристики по решению отдельных типов задач, в том числе повышенной сложности, то это будет способствовать эффективному усвоению учащимися этого метода.

Методологической основой исследования послужили: концепция развивающего обучения (В.В. Давыдова, Д.Б. Эльконина); основные положения деятельностного подхода; методические рекомендации по изучению темы «Векторы в пространстве» (Т.А. Ивановой, З.А. Скопеца, В.А. Гусева, Г.И. Саранцева).

Структура работы

Структура дипломной работы определена ее логикой и решением задач исследования. Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы, приложения.

Основные выводы

В результате проделанной работы можно сделать следующие выводы:

• вектор является одним из фундаментальных понятий современной математики. В настоящее время существует несколько подходов к определению этого понятия.

• векторный и координатный метод является эффективным методом решения геометрических задач, в том числе повышенной сложности, и доказательства теорем;

• для успешного овладения школьниками векторным и координатным методом решения содержательных геометрических задач необходимо обучать их умениям и действиям, входящих в его состав;

• сущность векторного и координатного метода состоит в том, что условие и требование задачи записывается в векторной форме, а ее решение состоит в переходе от условия к требованию на основе законов векторной алгебры.

Практическая значимость

Геометрия –  раздел математики, являющийся носителем собственного метода познания мира, с помощью которого рассматриваются формы и  взаимное расположение предметов, развивающих  пространственные представления, образное мышление учащихся, изобразительно-графические умения, приемы конструктивной деятельности, формируют геометрическое мышление. Несмотря  на цели и задачи, сформулированные в  учебных программах по математике и геометрии 5-9 классов, согласно которым у учеников на протяжении пяти лет должны быть сформированы пространственное мышление и воображение, умение выделять плоскостные объекты в составе пространственных объектов, на практике дело обстоит иначе.  

В данной работе представлены методические рекомендации, которые позволят расширить  и систематизировать знания учащихся в  использовании векторного и координатного метода решения стереометрических  задач, в том числе повышенной сложности.

Введение

В геометрии применяются различные методы решения задач – это синтетический (чисто геометрический) метод, метод преобразований, векторный и координатный метод, метод ключевых задач. Методы делятся на методы алгебры и геометрии . Геометрические методы: метод треугольников, метод площадей, метод вспомогательных фигур, координатный метод, векторный метод и др. Они занимают различное положение в школе. Основным методом считается синтетический, а из других наиболее высокое положение занимает векторный и координатный метод потому, что он тесно связан с геометрией. Изящество синтетического метода достигается с помощью интуиции, догадок, дополнительных построений. Векторный и координатный метод этого не требует: решение задач во многом алгоритмизировано, что в большинстве случаев упрощает поиск и само решение задачи. Можно с уверенностью говорить о том, что изучение данного метода является неотъемлемой частью школьного курса геометрии. Но нельзя забывать, что при решении задач этим методом необходим навык алгебраических вычислений и не нужна высокая степень сообразительности, а это в свою очередь негативно сказывается на творческих способностях учащихся. Поэтому необходима методика изучения метода координат, позволяющая учащимся научиться решать разнообразные задачи векторным и координатным методом, однако не показывающая этот метод как основной для решения геометрических задач. В силу этого, обучение учащихся решению задач, в том числе повышенного уровня, координатно-векторным методом должно найти свое место в обучении геометрии. При этом важно раскрыть суть метода на примере рассмотрения выразительной, показывающей достоинство данного метода задачи, дать ориентировочную основу действия для применения этого метода, организовать самостоятельную работу учащихся по решению задач этим методом, выделив их виды. Векторный и координатный метод является одним из основных методов геометрии. С его помощью можно эффективно решить ряд аффинных и метрических задач планиметрии и стереометрии, ряд прикладных задач физики и астрономии. Так же изучение векторного метода представляет собой самостоятельный познавательный интерес, т.к. на его основе имеется возможность корректно ввести метод координат на плоскости и в пространстве. Необходимо отметить, что в школьном курсе математики тема «Векторы», а вместе с ней векторный метод, появилась относительно недавно, в начале шестидесятых годов прошлого века. Тем не менее, практически сразу же понятие вектора стало одним из ведущих понятий школьного курса математики, а векторный метод - одним из основных способов решения задач и доказательства теорем.

В любом школьном учебнике изложение темы «Векторы» состоит из двух этапов: изучение векторов и векторного метода в планиметрии и в стереометрии. Изучение темы «Векторы в пространстве» дает возможность учащимся получить представление о широте применения векторов в различных областях человеческой деятельности, познакомиться с некоторыми фактами развития векторного исчисления, усвоить систематизированные сведения о векторах в пространстве, научиться проводить аналогии между плоскими и пространственными конфигурациями векторов, применять векторный метод для изучения плоских и пространственных форм, при решении задач, в том числе, повышенной сложности. Изучением темы «Векторы. Векторный метод решения задач» в разные периоды времени занимались многие ученые-физики, математики и методисты: К. Вессель, Р. Декарт, Ж. Арган, А. Д. Александров, В. А. Гусев, Ю.М. Калягин, Т.А. Иванова, Л.С. Атанасян, Г.П. Бевз, В.Г. Болтянский, В.Ф.Бутузов, М.Б. Волович, Г.Д. Глейзер, С.Б. Кадомцев, В.М. Клопский, А.Н. Колмогоров, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, И.А.Лурье, А.Ф.Пичурин, В.А. Погорелов, В. И. Рыжик, Г. И. Саранцев, А.Ф. Семенович, А.Д. Семушин, З.А. Скопец, И.М. Смирнова, В.А. Смирнов, Ф.И. Фетисов, Р.С. Черкасов, И.Ф. Шарыгин, И.М. Яглом, М.И. Ягодовский. В настоящее время существует несколько подходов к определению понятию вектора, определены операции с векторами, очерчен круг задач, решаемых векторным и координатным методом, выделены умения, входящие в состав векторного и координатного метода. Разработаны частные методики по обучению учащихся векторам и, в частности, векторному методу. Все они основаны на идее основного назначения векторов - использование алгебраического аппарата для решения геометрических задач.

История возникновения и становления аналитических методов

Прежде чем начать изучение какой-либо темы, необходимо обратиться к истории ее возникновения. Многие историки считают «родителями векторного пространства» ирландского учёного XIX в. У. Гамильтона, а также его немецких коллег и современников Г. Грассмана. Даже сам термин «вектор» ввел также Гамильтон около 1845 г.
Между тем историю векторного исчисления, как историю и корни всякой крупной математической теории, можно проследить задолго до его выделения в самостоятельный раздел математики. В Древней Греции, пифагорейцы, открыв иррациональные числа, пришли к выводу, что не всякую величину можно выразить дробями. Вследствие этого математики того времени попытались свести вопросы арифметики и алгебры к решению задач геометрическим путем. Таким образом, было положено начало геометрической теории отношений Евдокса (408-355 гг. до н.э.), а позднее «геометрической алгебре». В работе Евклида «Начала» сложение и вычитание сводились к сложению и вычитанию отрезков, умножение - к построению прямоугольников на отрезках, соответствующих по длине множителям, а деление - к операции «приложения» геометрических фигур. Еще в работе «Механические проблемы», созданной в школе Аристотеля, введен термин «сложение движений», т.е. скоростей, и сформулировано правило параллелограмма. Его использовал Архимед в работе «О спиралях», а позже - Птолемей. Астрономы средневекового Востока, развивая теорию Птолемея, постоянно использовали «сложение движений».

В 1587 г. был опубликован на голландском языке трактат фламандского ученого С. Стевина (1548-1620) «Начала статики». В нем автор, рассматривая сложение сил, приходит к выводу, что для нахождения результата сложения двух сил, действующих под углом 90°, необходимо воспользоваться «параллелограммом сил», при этом для обозначения сил С. Стевин ввел стрелки. Иначе говоря, С. Стевин впервые ввел сложение двух векторов, перпендикулярных друг другу. Далее, Стевин в «Основах статики» и Валлис (1616-1703) в «Механике» сформулировали правила параллелограмма и параллелепипеда для сложения направленных отрезков, которыми они изображали силы, скорости, ускорения.

В конце 16- начале 17 в. многие ученые - физики, в том числе Леонардо да Винчи, Галилео Галилей, пользовались направленными отрезками для наглядного представления сил. Формулируя свои законы движения планет, Кеплер по существу рассматривает направленный отрезок, началом которого является Солнце, а конец совпадает с движущейся точкой. Однако в рассматриваемую эпоху в естествознании еще не оформилось четко понятия векторной величины, а идеи алгебраических действий с направленными отрезками лишь зарождались. Исторически развитие векторного исчисления шло тремя путями: геометрическим (исчисление отрезков), физическим (исследование векторных величин, встречаемых в естествознании), и алгебраическим (расширение понятия операции при создании современной алгебры). Начала исчисления направленных отрезков были впервые изложены норвежцем Каспаром Весселем в мемуаре «Опыт об аналитическом представлении направления и его применениях, преимущественно к решению плоских и сферических многоугольников», опубликованном в «Трудах Датской Академии наук» в 1799 г. Вессель создал свой труд, исходя из чисто практических задач - облегчить труд геодезиста-землемера. Векторную алгебру на плоскости (или двумерное векторное пространство) Вессель строит почти так же, как она изложена в наших учебниках. Для иллюстрации приведем его определение суммы нескольких векторов, следующее за определением суммы двух направленных отрезков: «Чтобы сложить более двух отрезков, нужно следовать тому же правилу: располагаем их так, чтобы конец первого совпадал с началом второго, а конец второго совпадал с первой точкой третьего и т. д., затем соединяем отрезком ту точку, где первый отрезок начинается с той точкой, где последний отрезок заканчивается, и называем этот последний отрезок суммой всех данных отрезков». Причем он подчеркивает, что в расширенное понятие сложения включен как частный случай и старый смысл этого действия, т.е. «Если складываемые отрезки одинаково направлены, то это определение суммы вполне согласуется с обычным сложением». Вессель также строит исчисление направленных отрезков в пространстве (трехмерное векторное пространство) и, развивая оригинальную «алгебру вращения сферы», применяет ее к решению сферических треугольников и многоугольников. «Опыт» Весселя свидетельствует о том, что именно удовлетворение потребностей прикладной геометрии привело к развитию векторного исчисления. Об этом говорят и философские воззрения великих ученых о роли математики в исследовании явлений природы. Система координат Р. Декарта основана на его концепции единой математики, объединяющей геометрию и алгебру. Развивая мысли Декарта о матемизации естествознания, Лейбниц писал: «Алгебра выражает величину необходим ещё иной, чисто геометрический анализ, непосредственно выражающий положение». Лейбниц говорил о построении геометрического исчисления, изучающего направленные отрезки, их длины, углы между ними. Эти мысли стали исходной точкой для многих геометрических работ. Видное место в истории векторного исчисления занимает книга Карно «Геометрия положения» (1803). В ней автор вводит понятие геометрического количества, под которым он подразумевает в основном направленный отрезок, и занимается действиями над ориентированными фигурами, в частности отрезками. До него положительные и отрицательные отрезки рассматривались лишь в пределах одной прямой, он же ввел отрезки, имеющие любое направление, и фактически проложил путь к векторному исчислению. Некоторые введенные Карно термины и символы, в частности обозначение вектора с помощью черты наверху, сохранились и поныне. В 1835 г. Дж. Белаватис в «Теории эквиполентности» ввел свободные векторы, назвав эквиполентными направленные отрезки с равной длиной и совпадающими направлениями. В сочинении по аналитической и проективной геометрии «Барицентрическое исчисление» (1827) немецкий математик А. Мебиус в известной мере продолжил труд Карно и систематизировал его идеи. Автор впервые представлял геометрическое количество АВ в виде разности точек: В - А. Швейцарский математик Жан Арган (1768-1822) написал в 1806 г. «Опыт о способе изображения мнимых количеств в геометрических построениях». Арган ставит и корректно решает задачу построения исчисления направленных отрезков, которые он называет «направленными линиями». Примерно в то же время появился и ряд других работ (М. Бюэ, Дж. Уоррена и др.), в которых делаются попытки обобщения алгебраических понятий таким образом, чтобы «числами» и «величинами» охватить отрицательные и комплексные числа, и направленные отрезки. В математике эта теория окончательно утвердилась после «курса алгебраического анализа» (1821) О. Коши и «Теории биквадратичных вычетов» (1832) Гаусса. Дальнейшее развитие векторного исчисления связано с исследованиями гиперкомплексных чисел, с помощью которых можно было бы изучать повороты направленных отрезков в пространстве. В своем труде «Лекции о кватернионах» Гамильтон дал строгое изложение алгебры комплексных чисел и создал учение, которое явилось одним из алгебраических источников развития современного векторного исчисления. В работе автор впервые вводит термины «вектор» (от лат. vector - «несущий или ведущий, влекущий, переносящий»), «скаляр», скалярное и векторное произведения, а так же определяет операции с векторами в трехмерном пространстве. Он писал: «Шаг от точки А к точке В можно рассматривать как работу по транспортировке или переносе подвижной точки из начального положения в конечное». Теорию кватернионов развил и усовершенствовал математик и физик П. Тэт (1831-1901), посвятивший теории кватернионов и ее приложениям к физике 70 своих работ. В 1867 г. в «Элементарном трактате по теории кватернионов» Тэт впервые дал векторное изложение аналитической геометрии. В главе «Геометрия прямой и плоскости» Тэт предложил те задачи, которые и сейчас входят в учебники: найти уравнение прямой, проходящей через две данные точки; найти длину перпендикуляра, опущенного из данной точки на плоскость; найти условие того, что четыре данные точки лежат в одной плоскости, и т.д. Грассман в труде «Учение о протяженности» (1844 г.) впервые излагает учение об n- мерном евклидовом пространстве, которое как частный случай включает теорию векторов на плоскости и в трехмерном пространстве. Векторы, названные автором палочками, он обозначал жирными буквами латинского алфавита. Скалярное произведение векторов, названное им внутренним произведением, он обозначал a | b; векторное произведение, внешним произведением, он обозначал [a, b]. Во второй половине 19 в. идеи векторного исчисления получили свое развитие, в основном, в области физики. Так, Сен-Венан (1797-1886), опираясь на труды Валлиса и Стевина, в работе «О геометрических суммах и разностях и их применении для упрощения изложения механики» (1845 г.) разработал теорию сложения и вычитания направленных отрезков. Джемс Кларк Максвелл (1831-1879), один из создателей теории электромагнитного поля, применил в своем «Учении об электричестве и магнетизме» векторное исчисление. «Ценность идеи вектора несказанна», - писал Максвелл Тэту. Из разбухшего аппарата теории кватернионов он выбрал то, что необходимо для векторного исчисления, и тем самым создал удобный инструмент, который широко использует современная физика. Однако современный вид придали векторному исчислению в конце 19 в. американский физик, один из основателей химической термодинамики и статической механики - Дж. Гиббс (1839-1903), Грассман, и английский физик О. Хевисайд (1850-1925), применивший векторы в своей «Электромагнитной теории». В последней четверти 19 в. происходит слияние, синтез трех путей (геометрического, алгебраического и физического) исторического развития и трех источников формирования векторного исчисления. Векторное исчисление становится независимой ветвью математики.

В современной математике раздел, в котором излагается учение о действиях с векторами, называют векторной алгеброй, так как эти действия имеют много свойств с алгебраическими действиями. Наряду с ней Гамильтон создал и векторный анализ, изучающий переменные векторы - векторные функции.

Различные подходы к определению понятия вектора в математике и в школьном курсе математики

Вектор является одним из фундаментальных понятий современной математики. Эволюция этого понятия осуществлялась благодаря широкому использованию его в различных областях математики, механики, а так же в технике. Уже на уроках физики в 7 классе изложение материала ведется с широким привлечением векторного аппарата. Известно, что существует несколько подходов к ведению понятия «вектор».

В учебнике Л.Я. Куликова по алгебре [17] «n-мерным вектором над полем F (где F-поле скаляров) называется любой кортеж из n элементов поля F». При таком подходе вектор обычно записывается в виде строки или столбца. Например, (α1, α2,…, αn), где αi-скаляры. В теории линейной алгебры можно встретить другой подход, при котором вектор определяется как элемент векторного пространства V, обладающий рядом свойств. В данном случае определение вектора вводится аксиоматически, через систему свойств. Анализируя оба подхода к определению понятия вектора, лежащих в основе линейной алгебры, можно сделать вывод, что в данном случае геометрия полностью заменяется алгеброй, а все арифметические операции над векторами сводятся к аналогичным операциям над числами.

В геометрии к определению понятия вектора другой подход: «Вектор - геометрический объект, характеризующийся направлением и длиной». Кроме того, существуют различные конкретизации. Предметом векторного исчисления служит вектор как множество сонаправленных отрезков, имеющих одинаковую длину. Соответственно этому подходу векторы рассматривают с точностью до их положения (т.е. не различая равных векторов, получающихся друг из друга параллельным переносом). В этом смысле векторы называют свободными. Таким образом, свободные векторы вполне определяются заданием его длины и (если он не нулевой) направления. Равные векторы, не совпадающие по положению, рассматриваются как различные конкретные изображения одного и того же свободного вектора. Данный подход к определению понятия вектора нагляден, но неоднозначно определяет результат операций над векторами. Необходимо отметить, что векторы, представляемые параллельными переносами, перемещением точек, направленными отрезками являются лишь изображения векторов, но не сами векторы в их общем понятии.

Существует еще один подход к определению понятия вектора, автором которого является Вейль. Этот подход составляет основу векторного изложения геометрии [5]. Вектор относится к числу первоначальных неопределяемых понятий. К ним же относится и понятие суммы векторов, умножение вектора на число, скалярное произведение векторов. Свойства арифметических операций над векторами автор описывает через систему аксиом. Такой подход к определению понятия вектора достаточно громоздкий. Кроме того, при таком подходе затруднено понятие результата выполнения арифметических действий над векторами. Тем не менее, этот подход обладает рядом преимуществ: при векторном изложении некоторые теоремы геометрии доказываются значительно проще, чем при традиционном изложении.

Итак, в математике существуют различные подходы к определению понятия вектора. Каждый из них имеет преимущества и недостатки. Однако никакой из них не может быть «перенесен» в школьный курс геометрии без должных оговорок.

Рассмотрим специфику изложения темы «Векторы» в различных школьных учебниках по геометрии. Прежде всего, обратимся к истории. Как предполагалось изучать векторы?

В России векторы в школьном курсе математики появились в начале 60-х годов XX века. Инициаторами их введения были В.Г. Болтянский и И.М. Яглом. В 1962 г., еще до выхода учебника [А] для школы, была выпущена книга для учителя [Б], которая была рассчитана на то, чтобы учителям было легче разобраться в понятии вектора, которое впервые появлялось в курсе геометрии средней школы. В данном пособии [Б] авторы сразу отмечают, что существуют различные подходы к определению понятия вектор. Один из подходов характеризуется тем, что «...вектор с элементарно-геометрической точки зрения есть объект, характеризуемый направлением (т.е. заданной с точностью до параллельности прямой и направлением на ней) и длиной. Однако такое определение слишком общее...»[Б, с.7]. Определение вектора как параллельного переноса, несмотря на его математическую точность, авторами считается неудовлетворительным, так как «представление о векторе как о геометрическом преобразовании кажется нам недостаточно наглядным и далеким от физических представлений о векторных величинах»[17, с.7]. В результате авторы предлагают принять как основное следующее определение «вектором называется семейство всех параллельных между собой, одинаково направленных и имеющих одинаковую длину отрезков» [17, с.7]. Но использование данного определения в курсе средней школы считается ими «нецелесообразным», и предлагается определять вектор как направленный отрезок. Авторы уточняют, что учитель должен понимать разницу между вектором как семейством направленных отрезков и одним направленным отрезком. В 1963 году вышел учебник для школы В.Г. Болтянского и И.М. Яглома [А], где векторы определялись как направленные отрезки. К учебнику прилагалась книга для учителя [В], в ней авторы предупреждают, что трактовка вектора как направленного отрезка является чересчур упрощенной и требует при изложении материала постоянных оговорок, связанных с понятием «равенство» векторов, т.е. следует различать «равные» в смысле совпадающие векторы и «равные» в смысле конгруэнтные векторы. Данный учебник просуществовал в школе только два года, и авторы не успели внести какие-либо уточнения в определение понятия вектора. Итак, рассмотрев возможные варианты определения понятия вектора, авторы посчитали нецелесообразным определять данное понятие ни как параллельный перенос, ни как семейство (класс) направленных отрезков, а остановились на упрощенном определении, хотя и понимали, что оно ведет к постоянным оговоркам. К сожалению, В.Г. Болтянский и И.М. Яглом, уточняя, о каких именно «постоянных оговорках» идет речь, не говорят, как реализовать их предупреждение в практике обучения. В эти же годы начинается реформирование математического образования школы с доминирующим влиянием теоретико-множественного подхода к введению понятий и их изучению, инициатором и руководителем которого был A.H. Колмогоров. В частности, слово «равно» было синонимом слова «совпадают». Например, два различных треугольника с тремя соответственно равными сторонами предлагалось считать не равными, а конгруэнтными. А вот два равных вектора, отложенные от различных точек, равны, а не конгруэнтны. В учебном пособии [10] под редакцией А.Н. Колмогорова вектор определялся как параллельный перенос плоскости: «Параллельным переносом (вектором) называется отображение плоскости на себя, при котором все точки плоскости изображаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние». Это определение обладает тем важным преимуществом, что параллельный перенос представляет свободный вектор, и потому все векторные операции с ним определяются как однозначные. При таком определении вектора векторное исчисление может быть изложено без противоречий и смешения понятий. Однако в задачах, предлагаемых в учебнике, фигурируют направленные отрезки, а не переносы плоскости или пространства. В следующем пособии для 9-10 классов [11] (под редакцией З.А. Скопеца), вектор определяется уже как параллельный перенос пространства. «Параллельным переносом, определяемым парой (А, В) несовпадающих точек, называется преобразование пространства, при котором каждая точка М отображается на такую точку М1, что луч ММ1 сонаправлен с лучом АВ, расстояние ММ1 равно расстоянию  АВ». Таким образом, вектор вводился как множество пар точек, задающих один и тот же перенос. В последнем издании учебника под редакцией А.Н. Колмогорова явно вводится понятие свободного вектора, и перенос привлекается только как его изображение. В результате изложение оказалось существенно лучше, чем в других учебниках для 6-8 классов того времени, без путаницы и ошибок. В перестройке школьного курса геометрии, происходящей в середине 80-х годов ХХ века, одним из центральных моментов оказалось коренное изменение понятия о векторе. Вектор, определяемый как параллельный перенос плоскости или пространства, был заменен направленным отрезком: на место отображения плоскости или пространства на себя поставлена фигура с «отмеченной» точкой (один конец отрезка «отмечен» как начало). Так, в учебнике А.В. Погорелова [21] изложение темы начинается следующим образом: «Вектором мы будем называть направленный отрезок. Направление вектора определяется указанием его начала и конца… Для обозначения векторов будем пользоваться строчными латинскими буквами а, b, c,… Можно так же обозначить вектор указанием его начала и конца. При этом начало вектора ставится на первое место» [21, c. 117]. В задачном материале рассматриваются следующие виды заданий:

-доказательство равенства векторов;

-доказательство перпендикулярности векторов;

-вычисление угла между векторами.

Основным теоретическим базисом при решении этих задач являются определения равенства векторов и скалярного произведения векторов; аппаратом решения заданий становятся формальные действия с координатами, т.е. геометрическое приложение векторов опускается.

В учебнике Л.С. Атанасяна и др. [8] вектор так же определяется как направленный отрезок, но изложение строится иначе, чем в учебнике А.В. Погорелова. В параграфе «Понятие вектора» п.1 начинается так: «Многие физические величины, например сила, перемещение материальной точки, скорость, характеризуются не только своим числовым значением, но и направлением в пространстве. Такие физические величины называются векторными величинами или векторами». Далее, после приведения примера изображения силы в физике, говорится: «Отвлекаясь от конкретных свойств физических векторных величин, мы приходим к геометрическому понятию вектора… Определение. Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой - концом, называется направленным отрезком или вектором. Недостаток этого изложения состоит в том, что дается два понятия вектора без должных оговорок. Однако авторы не могут оставить определение вектора как направленного отрезка. В конце §1 они делают важное замечание.«Замечание. Равные векторы, отложенные от разных точек, часто обозначают одной и той же буквой. Иногда про такие векторы говорят, что это один и тот же вектор, но отложенный от разных точек». По сути, здесь говорится о свободном векторе. Но само определение этого понятия не вводится. Задачный материал в учебнике Л.С. Атанасяна направлен на осознание, осмысление вводимых дидактических единиц. Он служит своеобразным пропедевтическим курсом для решения задач векторным методом. Содержательных задач в главе немного, но они разнотипны. Ключевые из них решены в учебнике.

В учебнике И.Ф. Шарыгина [31] вектор так же определяется через направленный отрезок: «Рассмотрим на плоскости две точки А и В. Обозначим через вектор АВ, понимая под этим направленный отрезок АВ, т.е. отрезок, у которого точка А является началом, а точка В концом».

Так же, как и А.В. Погорелов, И.Ф. Шарыгин вводит координаты вектора, и на их основе определяет операции с векторами.В связи с этим, и основным способом решения задач по учебному пособию И.Ф. Шарыгина становится выражение векторов через координаты, произведение с ними арифметических действий. Предлагаются задания на отработку понятия скалярного произведения векторов, следующие виды метрических задач:

-найти угол между прямой и плоскостью;

-найти угол между плоскостями;

доказательство того, что сумма косинусов двугранных углов любого тетраэдра не больше двух;

доказательство того, что все три угла между биссектрисами плоских углов трехгранного угла одновременно либо острые, либо прямые, либо тупые.

В учебнике А.Д. Александорова [2] понятие вектора вводится аналогично подходу, изложенному у Л.С. Атанасяна: «Величины, которые характеризуются не только численным значением, но и направлением, называются векторными величинами или векторами. Численное значение вектора называется его модулем». Далее автор выделяет пункт «Направленные отрезки». «…Если тело переместилось из точки А в точку В, то это перемещение естественно изобразить отрезком, направленным из точки А в точку В…У направленного отрезка указан порядок концов.» После этого автор обращает внимание учащихся на то, что направленный отрезок - лишь изображение вектора, а не сам вектор в общем понимании. Однако, в отличие от остальных авторов, А.Д. Александров не вводит понятие компланарных векторов. Он определяет следующие способы разложения вектора: по прямой и плоскости, по трем прямым. Предлагает для решения задачи на отработку этих умений и приводит задачи на геометрическую интерпретацию векторов:

-отложить вектор, равный сумме двух или более данных;

-отложить вектор, равный разности двух векторов;

-доказать векторные равенства, пользуясь изображением параллелепипеда.

Анализируя представленные подходы, можно сделать вывод, что все авторы в той или иной степени стремятся дать определение свободного вектора. Это делается у различных авторов по-разному.

Обучение решению задач как психологическая и методическая проблема

Перед выявлением специфики векторного метода, разработки конкретной методики обучения школьников решению математических задач, необходимо проанализировать само понятие задач, их роль и место в обучении математике. Задачи играют огромную роль в жизни человека. Задачи, которые ставит перед собой человек, и задачи, которые ставят перед ним другие люди и обстоятельства жизни, направляют всю его деятельность, всю его жизнь. Поэтому проблемы, связанные с этим понятием, занимают значительное место во многих науках. Например, в психологии исследуются процессы решения задач и особенности этих процессов при решении отдельных их видов. Предметом исследования дидактики и частных методик являются вопросы использования решений задач в обучении. В обучении математике задачи играют большую роль. Эта роль определяется, с одной стороны, тем, что конечные цели этого обучения сводятся к овладению учащимися методами решения определенной системы математических задач. С другой стороны, она определяется и тем, что полноценное достижение целей обучения возможно лишь с помощью решения учащимися системы учебных и математических задач, которые являются важнейшим средством формирования у школьников системы основных математических знаний и способов деятельности. Кроме того, «от эффективности использования задач в обучении математике во многом зависит не только качество обучения, воспитания и развития учащихся средней школы, но и степень их практической подготовленности к последующей за обучением деятельности в любой сфере производства, народного хозяйства, культуры, личных и общественных взаимоотношений» [24, с.5]. В различных областях знания (психология, педагогика, математика, методика математики) проблему содержания понятия «задача» исследовали Г.А. Балл, Ю.М. Калягин, Л.М. Фридман, В.И. Крупич, А.Ф. Эсаулов, Н.А. Менчинская и многие другие. Каждый из них дает свою точку зрения на рассматриваемую проблему.В методике преподавания математики под задачей принято понимать «задание, которое должен выполнить субъект, или вопрос, на который он должен найти ответ, опираясь на указанные условия и все вытекающие из них следствия» [28, с. 158]. В свою очередь, по мнению психологов, процесс решения задач тесно взаимосвязан с процессом мышления. Многие исследования показывают, что именно в ходе решения задач самым естественным образом можно формировать у школьников элементы творческого, логического и алгоритмического мышления.

Необходимо отметить, что умственное развитие учащихся является одной из основных задач обучения математике. Многие авторы связывают его именно с развитием математического мышления. В соответствии с этим возникает вопрос, что представляет собой математическое мышление, каковы его специфические черты. «Чаще всего математическое мышление рассматривается в соответствии со спецификой математики, которая состоит в особенностях ее абстракций (Ж. Адамар, Б.В. Гнеденко, А.Н. Колмогоров, А.И. Маркушевичи др.)» [28, c.82]. В их работах сущность понятия математического мышления ассоциируется с понятием математических способностей. Выделяется огромное число черт математических способностей: сила абстрагирования, оперирование абстракциями, геометрическая интуиция, четкое логическое рассуждение, гибкость мышления, математическая интуиция, анализирование, синтез, стремление к рациональности решения, лаконизм, оригинальность мышления и др. Все эти способности можно развивать в процессе решения задач. Развитие творческих мыслительных способностей и познавательной самостоятельности учащихся невозможно вне проблемных ситуаций. Необходимо внедрение проблемно-развивающего обучения. Задачи при таком обучении служат основным средством активизации знаний и способов действий. Они используются для раскрытия содержания понятий, теорем, способов умственной деятельности ученика, а также для формирования умений и навыков. В решение таких задач важно включать этапы анализа задачи и обсуждения решения. В процессе анализа задачи должны устанавливаться предметная область задачи, все ее элементы, характер каждого элемента (постоянный или переменный, известный или неизвестный и т.д.). Также необходимо вычленение из задачи всех отношений, которыми связаны элементы предметной области. Это позволит выбрать правильный подход к решению задачи. В процессе анализа проделанного решения выявляются преимущества и недостатки решения, проводятся поиски лучшего решения, устанавливаются и закрепляются в памяти учащихся те приемы, которые были использованы в данном решении, выделяются условия возможности применения этих приемов. Все это будет в наилучшей степени способствовать превращению решения задач в могучее обучающее средство.

В настоящее время решение математических задач используется для разных функций. Л.М. Фридман под функцией решения задачи понимает «проектируемые учителем изменения в деятельности и психике учащихся, которые должны произойти в результате решения ими этих задач» [30, с.151]. Одной из основных функций в обучении математике он считает функцию формирования и развития у учащихся общих умений решений любых математических (в том числе и прикладных) задач. Общее умение по решению задач следует отличать от частных умений решения задач определенного вида. Частные умения формируются на основе усвоения учащимися теоретических знаний, пользуясь которыми учащиеся производят операции и действия, входящие целостным элементом в формируемое умение. Формирование общих умений решения математических задач осуществляется таким образом, что учащиеся не получают никаких особых знаний, лежащих в основе этих умений. Поэтому представления учащихся о задачах, их элементах и структуре, о сущности и механизмах их решения является весьма смутными, а зачастую просто неверными. Притом эти представления по мере перехода в старшие классы отнюдь не улучшаются, т.к. они формируются часто стихийно, в результате случайной информации и редкой рефлексии на свои действия в процессе решения многочисленных задач. Это происходит потому, что действующие программы по математике не предусматривают изучения каких-либо теоретических основ о задачах и их решении. В то же время, теоретические знания о задачах и их решении нужны учащимся для того, чтобы они могли производить решение разнообразных задач сознательно и целенаправленно, а не только лишь на основе подражания по аналогии с ранее решенными задачами. В отличие от Л.М. Фридмана Ю.М. Колягин к главным функциям задач относит воспитывающую и развивающую функции. К числу важнейших воспитывающих функций задач он относит «формирование у школьников диалектико-материалистического мировоззрения, познавательного интереса и творческих задатков, воспитание чувства патриотизма, эстетическое воспитание и т.д.» [24, с.11]. В частности, автор поясняет, что в процессе применения математики к решению любой практической задачи, можно показать школьникам, что математика, отражая явления реальной действительности, является мощным средством ее познания. Предложение учащимся задачи с избыточной или неполной информацией воспитывает у них готовность к практической деятельности. Рассмотрение изящного решения той или иной математической задачи способствует эстетическому воспитанию школьников. Применение в обучении математике задач с воспитывающими функциями способствует, по мнению Ю.М. Колягина, формированию у школьников интереса к решению задач, что в свою очередь является эффективным средством приобщения школьников к учебной математической деятельности творческого характера. В методической литературе встречаются разделения задач по различным основаниям.

Л.М. Фридман предлагает разделить все задачи на два вида:

1) задачи на усвоение учебного материала (учебные задания), которые следует решать непосредственно в процессе изучения учебного материала, и при этом все ученики решают одни и те же задачи. Число таких задач невелико.

2) задачи на применение изученного учебного материала, которые даются учащимся спустя некоторое время. При этом выдается список всех рекомендуемых задач, которые они могут решать.

К.И. Нешков и А.Д. Семушин выделяют следующие типы задач:

1) задачи с дидактическими функциями (предназначены для облегчения усвоения уже изученных теоретических сведений);

2) задачи с познавательными функциями (в процессе решения которых углубляются знания учащихся по отдельным разделам математики, школьники знакомятся с важнейшими теоретическими сведениями, методами решения задач);

3) задачи с развивающими функциями (задачи, содержание которых расширяет основной курс математики, способствует повышению уровня сложности нескольких изученных ранее вопросов).

Опыт показывает, что наиболее приемлемым является выделение следующих видов задач:

1) по характеру требования - на вычисление или нахождение; на доказательство или объяснение; на построение или преобразование;

2) по отношению к способам решения - стандартные и нестандартные;

3) по характеру объектов - математические и реальные (или с практически содержанием).

Отнесение задачи к группе задач с той или иной функцией не является классификацией, поскольку одна и та же задача для различных субъектов и в разных ситуациях может нести разные функции. Однако выделение функций задач имеет смысл, т.к. учитывая цели обучения, важно, чтобы в системе задач по конкретной теме присутствовали задачи с каждой из названных функций. Характерная для настоящего времени тенденция к повышению роли проблемного обучения свидетельствует о том, что решение задач правомерно занимает все более ведущее место в обучении математике, нередко определяя его формы и методы, в которых основной акцент ставится на самостоятельное и творческое усвоение школьниками учебного материала, на формирование их математического развития, целостного развития личности и развития всех психических процессов (воли, эмоций, памяти, воображения, представлений и т.д.). При обучении учащихся решению задач необходимо изучать с ними сами задачи, их структуру и особенности, характер используемых общих методов решения, их структуру деятельности по решению задач. При этом главными объектами усвоения следует считать общие схемы деятельности по решению задач, общие методы и способы моделирования задач. Решение же отдельных задач должно быть лишь средством для такого обучения.

Методика обучения векторному методу решения задач в геометрии

Теоретической основой преподавания школьного курса математики и, в частности, темы «Векторы» является ассоциативная теория усвоения. Первые постулаты ассоциативной психологии были сформулированы Аристотелем, выдвинувшим идею о том, что образы, возникающие без видимой внешней причины, являются продуктом ассоциаций. Закрепление ассоциаций обусловлено частотой их повторения в опыте. При этом ассоциация рассматривается как связь между психическими явлениями, при которой восприятие, представление одного из них влечет за собой появление другого. В XVIII веке английским врачом Давидом Гартли была сформулирована идея о том, что формирование соответствующих ассоциаций может существенно улучшить качество запоминания, а значит и обучения. Данная идея легла в основу психологического направления, которое получило название ассоцианизм или ассоциативная психология. Уже в XIX веке ассоцианизм подвергся резкой критике и почти полностью прекратил свое существование как научное направление. Но в XX веке он получил развитие, в трудах И.М. Сеченова и И.П. Павлова и был принят в качестве официальной психологической теории усвоения в СССР. Позиции ассоциативной теории усвоения как теоретической основы обучения сохраняются в настоящее время, в том числе и при изучении темы «Векторы». Механизм усвоения в рамках данной психологической теории понимается так: задача учителя заключается в том, чтобы обеспечить восприятие, которое понимается как целостное отражение предметов, ситуаций и событий, возникающее при непосредственном воздействии физических раздражителей на рецепторные поверхности органов чувств. Таким образом, считается, что если ученики получили достаточно много примеров и контрпримеров, то у них должны сформироваться правильные представления об объектах. На основе сформировавшихся представлений, организовав вычленение общих свойств рассматриваемых объектов и обозначив вычлененные свойства словами, мы, в соответствии с рассматриваемой теорией, формируем понятия. То есть механизм усвоения понимается следующим образом. Вначале формируются восприятия, на их основе - представления, а уже затем понятия. По данному сценарию: сначала зрительное восприятие, потом представления, описанные словами - понятия, происходит формирование понятия вектор. Действительно, учитель показывает ученикам «отрезки со стрелками», обеспечивая тем самым восприятие того, что впоследствии будет названо вектором. Рассмотрение нескольких «зрительных образов» должно обеспечить формирование представления о векторе. Наконец, «отрезки со стрелками» обозначают словами: направленный отрезок или вектор, обеспечивая тем самым, в соответствии с ассоциативной теорией усвоения, формирование понятия вектор. Но при введении понятия вектор нецелесообразно опираться на ассоциативную теорию, потому что, это неизбежно приводит к устойчивой ошибке, которая заключается в том, что изображение направленного отрезка воспринимается как сам направленный отрезок, т.е. в понятие вектора включается множество точек, составляющих на рисунке этот направленный отрезок. Отметим, что когда ассоциативная теория усвоения только появилась в школе, она была очень прогрессивной и позволила существенно увеличить эффективность обучения. Однако в настоящее время сделать обучение более эффективным может применение деятельностного подхода, разработанного психологами школы Л.С. Выготского А.Н.Леонтьевым и П.Я. Гальпериным. Проблемой методики обучения учащихся векторному методу занимались многие ученые-методисты: В.А. Гусев, Г.Л. Луканин, Г.И Саранцев, З.А. Скопец, Т.А. Иванова и другие. При обучении учащихся векторному и координатному методу В.А. Гусев, Ю.М. Колягин и Г.Л. Луканин дают следующие методические рекомендации [13, c.43]:

1) необходимо заинтересовать учащихся, показав им эффективность использования векторного метода на специально подобранных задачах;

2) следует обучить учащихся некоторым эвристикам (системе определенных правил, помогающих найти ключ к решению задачи), которые помогут создать у них навык в его применении;

3) обучать векторному методу стоит на достаточно простых по геометрическому содержанию задачах, чтобы не отвлекать внимание учащихся на трудности чисто геометрического содержания;

4) следует указать учащимся, что векторный и координатный метод не является универсальным, к решению некоторых задач он может быть неприменим или малоэффективен.

После изучения векторного и координатного метода учащиеся должны усвоить типы задач, решаемых с помощью него; полезно также в конце изучения темы выделить преимущества и недостатки векторного и координатного метода. Подобная организация работы будет способствовать более эффективному усвоению учащимися векторного и координатного метода.

Методика формирования умений, составляющих суть векторного метода решения задач в неполной средней школе

Задачи, решаемые векторным методом, можно разделить на следующие виды: афинные задачи без векторных данных (содержательные геометрические задачи), задачи на доказательство и вычисления, для которых требуется рассматривать векторно-параметрическое задание прямой и плоскости и задачи, в содержание которых уже включены векторы.

Учащиеся испытывают большие затруднения при выборе метода, с помощью которого они будут решать ту или иную задачу. Эти затруднения вызваны прежде всего тем, что в методической литературе и в учебных пособиях недостаточно раскрыта математическая сторона применения векторов к решению геометрических задач, не устанавливаются, хотя бы ориентировочно, основные задачи (теоремы), которые широко используются при решении более сложных задач. Рассмотрим задачи трех типов, которые целесообразно решать с помощью векторов учащимся 9 классов.

1) задачи, связанные с доказательством параллельности прямых и отрезков.

2) задачи, в которых доказывается, что некоторая точка делит отрезок в заданном отношении.

3) задачи на доказательство принадлежности трех и более точек одной прямой.

Эти виды задач наиболее многочисленны и, в силу простого перевода на векторный язык, могут служить образцами для учащихся. Кроме того, навык, приобретенный при решении этих задач, можно переносить на более сложные (где данные задачи могут встречаться в виде части задач). В задачах такого рода традиционные методы решения связаны обычно со значительными трудностями: или с необходимостью дополнительных геометрических построений, или с довольно громоздкими тригонометрическими преобразованиями. Решение геометрических задач векторным и координатным методом позволяет отработать у учащихся навыки перевода условия с геометрического языка на векторный и формировать навыки, необходимые для перевода с векторного языка на геометрический. Для решения задач учащиеся должны владеть следующими умениями, которые и являются компонентами векторного и координатного метода:

1. Переводить геометрический язык на векторный и наоборот;

2. Выполнять операции над векторами, уметь преобразовывать векторные выражения;

3. Знать наиболее важные векторные соотношения и их особенности;

4. Уметь выразить один вектор через некоторые другие;

5. Переходить от соотношения между векторами к соотношению между их длинами и наоборот.

Для овладения умением переходить от геометрического языка к векторному и обратно необходимо знать, как то или иное векторное соотношение выражается на геометрическом языке. Векторные соотношения удобно представить в таблице:

№	Рисунок	Что необходимо доказать или определить на геом. языке.	Что достаточно определить или доказать на векторном языке.
1	Рис.1		( - некоторое число), где  ,
2	Рис.2	;   – произвольная точка
3	Рис.3	- произвольная точка
4	Рис.4	– центроид   – произвольная точка
5	Рис.5	– произвольная точка
6	Рис.6	– произвольная точка
7	Рис.7		и   определяются однозначно
8	Рис.8	– середина   – середина
9	Рис.9	– центроид   – центроид

1) Задачи, связанные с доказательством параллельности прямых и отрезков.

При решении этих задач наиболее часто используется признак коллинеарности двух векторов (соотн. 1) и единственность разложения вектора по двум неколлинеарным векторам (соотн. 7).

Задача. Если в выпуклом четырехугольнике, две противоположные стороны не параллельны, длина отрезка, соединяющего середины этих сторон, равна полусумме длин двух других сторон четырехугольника, то этот четырехугольник – трапеция.

Дано:

 – четырехугольник

 – середина 

Рис.10

 – середина 

Доказать: – трапеция.

Анализ. Для решения задачи достаточно доказать, что   На векторном языке это означает, что 

Решение:

Выразим вектор  двумя различными способами:

 (1)

 (2)

Сложим почленно (1) и (2).

 (3)

 (4)

Из условия следует

 (5)

Сопоставляя (4) и (5), получаем:

Это возможно тогда и только тогда, когда 

Задачи для самостоятельного решения:

Задача 1. Доказать, что если в четырехугольнике диагонали, пересекаясь, делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм.

Задача 2. Доказать теорему о средней линии треугольника.

Задача 3.Доказать, что средняя линия трапеции параллельна основаниям и длина ее равна полусумме длин оснований.

2) Задачи на доказательство деления некоторого отрезка в заданном отношении или на нахождение отношения, в котором точка делит отрезок.

Решение задач этого типа базируется на следующей теореме.

Для того чтобы точка   делила отрезок  так, что   необходимо и достаточно, чтобы для произвольной точки   выполнялось равенство:

Задача. На стороне АС треугольника АВС взята точка М так, что АМ=1/4 АС, а на продолжении стороны ВС такая точка N, что BN=BC. В каком отношении точка Р пересечения АВ и MN делит каждый из этих отрезков?

Дано:

 – треугольник

Рис.11

Найти: МР:PN, АР:РВ

Решение задач повышенной сложности такого типа показала, что работу нужно вести в следующем направлении: постараться разложить один из векторов (чаще всего конец такого вектора – точка, которая делит данный отрезок в заданном отношении) по двум основным векторам (они неколлинеарны) двумя различными способами. Используя единственность разложения вектора по двум неколлинеарным векторам, установить зависимость между коэффициентами в разложении вектора, что потом дает возможность найти искомое соотношение.

Решение:

1. Пусть   и 

2. Основные векторы 

3. Разложим вектор  по основным двумя различными способами

а) 

Итак,

 (1)

б)   (соотношение (2)).

Но    

 (2)

4. Учитывая единственность разложения вектора по двум неколлинеарным векторам, из равенств (1) и (2) получаем

Следовательно, 

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 1.

Дано:   

Доказать:  – средняя линия 

Задача 2. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Задача 3. В треугольнике   биссектриса   делит сторону в отношении В каком отношении медиана  делит эту биссектрису?

3) Задачи на доказательство или использование принадлежности трех точек одной прямой.

При решении задач на доказательство того, что три точки А, В, С принадлежат одной прямой, обычно доказывается коллинеарность векторов, например   и   или используется следующая теорема: Для того, чтобы точка  принадлежала прямой, необходимо и достаточно, чтобы для любой точки   выполнялось равенство:

 где 

Задача.

Дано:

 – трапеция

 – середина 

 – середина 

Рис.12

Доказать: 

Анализ: Для того, чтобы доказать, что   достаточно доказать, что   и   коллинеарны. Для этого необходимо разложить векторы    и   по основным.

Решение:

1. Основные векторы: 

2. По векторной формуле середины отрезка

 (1)

3.  Из треугольников  и    Значит,  то есть

 

Сопоставляя (1) и (2), получаем 

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 1. В пространстве расположены отрезки   и  Точка  есть середина отрезка  точка   – середина   Докажите, что середины отрезков   расположены на одной прямой.

Задача 2.На стороне  треугольника  взята точка   Доказать, что  центры тяжестей  и   лежат на одной прямой.

Методика обучения векторному и координатному методу решения содержательных геометрических задач

Векторный метод является одним из аналитических методов решения геометрических задач и доказательства теорем. Сущность его состоит в том, что условие и требование задачи записываются в векторной форме, а ее решение состоит в переходе от условия к требованию на основе законов векторной алгебры. Векторный метод относится к методам алгоритмического типа, т.к. можно выделить общую схему решения геометрических задач векторным методом. Этот план включает следующие пункты:

1.Прочитав и проанализировав условия, выполнить рисунок

2.Согласно условию и требованию задачи, ввести в рассмотрение векторы

3.Выразить через них векторы, необходимые для решения задачи

4.«Перевести» условие и требование задачи на язык векторов

5.С помощью преобразований над полученными векторными соотношениями перейти от условия задачи к требованию.

6.Полученному векторному соотношению дать геометрическое истолкование

Поэтому, при организации урока по обучению учащихся векторному методу необходимо учитывать технологию работы с алгоритмом, разработанную в теории и методике обучения математики. Имеется 3 различных возможностей построения данного урока:

• Повторить с учащимися умения, входящие в состав векторного метода; затем сообщить им тему урока, сформулировать в готовом виде схему решения задач векторным методом, и далее отрабатывать этот алгоритм на примере решения ряда задач.

• Вспомнить с учащимися алгоритм решения задач векторным методом из планиметрии, по аналогии найти план решения стереометрических задач векторным методом.

• В результате совместного поиска учителем и учащимися решения стереометрической содержательной задачи выделить план решения этой задачи векторным методом; обобщить алгоритм для всех задач.

Организация урока по третьему подходу соответствует основному принципу деятельностного подхода: включение ученика в целесообразно организованную деятельность. Урок должен включать в себя три основных блока: мотивационно-ориентировочный, оперативно-познавательный и рефлексивно-оценочный. На этапе актуализации необходимо повторить с учащимися умения, необходимые для решения задач векторным методом (перевод геометрических свойств фигур на векторный язык и обратно; преобразование векторных выражений; представление векторов через другие).

К примеру, урок по теме «Применение векторов к решению задач» можно провести в такой форме:

Тип урока: урок изучения нового

Учебные задачи урока:

1.«Открыть» совместно с учащимися план решения задач векторным методом.

2.Выявить совместно с учащимися типы аффинных задач, решаемых векторным методом.

Подготовка к уроку: Учитель на урок приносит карточки с заданиями для каждого ученика, плакат с записанной схемой решения геометрических задач векторным методом. Таблица векторных равенств и словарь перевода уже вывешены в классе.

Ход урока

1) Мотивационно - ориентировочный этап. Форма проведения: самостоятельная работа на индивидуальных карточках, которыми ученики после выполнения задания обмениваются. Осуществляется взаимопроверка. Далее предлагается решить задачу: Дан тетраэдр DABC. Точки К, М - середины АВ и CD. Докажите, что середины отрезков КС, KD, MA, MB являются вершинами некоторого параллелограмма. На обдумывание дается 2 минуты.

Вопрос: Какими способами вы пробовали решить задачу? Что у вас получилось? (Ученики отвечают на вопрос, аргументируя возникшие затруднения)

Вопрос: Какую общую тему мы изучаем на протяжении последних уроков? (Векторы в пространстве). Какой метод, связанный с применением векторов, мы рассматривали в планиметрии? (Векторный). Как вы думаете, можно ли применить векторный метод, чтобы решить стереометрическую задачу? В пространстве, как и на плоскости, при решении задач может быть реализован векторный метод. Итак, сформулируйте тему нашего урока. (Векторный метод решения стереометрических задач). Какова в связи с темой цель нашего урока? (Открыть способ решения задач векторным методом).

Тема урока записывается на доске и в тетрадях.

2) Операционно-познавательный этап.

Вернемся к решению сформулированной задачи. Что значит на векторном языке: доказать, что A1A2A3A4 - параллелограмм? Чем вы воспользовались при ответе на данный вопрос? Что означает второе условие на геометрическом языке? Выполняется ли это условие? Почему? Таким образом, что нам достаточно проверить? Итак, мы должны выразить векторы. Как это можно сделать?

Необходимо ввести в рассмотрение векторы, но не произвольно, а учитывая условие задачи. Известно, что точка М - середина DC. Как этот факт записать с помощью векторов? Начинается оформление задачи.

Учитель, привлекая учеников, проводит решение у доски, показывает образец оформления, учащиеся в тетрадях по плану:

1. Ввели векторы.

2. «Перевели» условие и требование задачи на векторный язык.

3. Выразили векторы, необходимые для решения.

4.Перешли от условия к требованию задачи.

5. «Перевели» векторное выражение на геометрический язык

Далее анализируется решение задачи и составляется план решения задач векторным методом: С чего мы начали решение данной задачи? Как мы это сделали? (Ввели в рассмотрение векторы). После проведенного анализа учитель вывешивает заранее подготовленную схему: Прочитав и проанализировав условия, выполнить рисунок. Согласно условию и требованию задачи, ввести в рассмотрение векторы. Выразить через них векторы, необходимые для решения задачи. «Перевести» условие и требование задачи на язык векторов. С помощью преобразований над полученными векторными соотношениями прийти от условия задачи к требованию. Полученному векторному соотношению дать геометрическое истолкование.

Задание: Учитывая, что A1A2A3A4 - параллелограмм, составьте на основе этой задачи новые, изменив требование задачи. Сделайте вывод, какие задачи мы можем попытаться решить, используя векторный метод? Рассмотрим еще один вид задач, которые можно решить с помощью векторного метода. Докажите, что если точки пересечения медиан треугольников АВС и А1В1С1 совпадают, то прямые АА1, ВВ1, СС1 параллельны некоторой плоскости. С чего начнем решение этой задачи? (с построения чертежа). Доказательство факта, что данная фигура - параллелограмм, доказательство параллельности прямых, доказательство равенства двух отрезков.

Вопрос: Какой вид задач мы еще смогли решить, используя векторный метод? Что нам для этого потребовалось установить? Какой теоретический факт лежал в основе доказательства? Какие виды задач можно ещё решить, используя критерий компланарности векторов? Таким образом, мы выделили ещё два типа задач, решаемых векторным методом: установление принадлежности точек прямой и нахождение отношений длин отрезков.

3) Рефлексивно-оценочный этап. Итак, какова была цель нашего урока? Каковы этапы решения задач мы с вами выделили? (Найти, в каком отношении делит отрезок точка, принадлежащая этому отрезку -Найти способ решения задач векторным методом 1. Прочитав и проанализировав условия, выполнить рисунок 2. Согласно условию и требованию задачи, ввести в рассмотрение векторы 3. Выразить через них векторы, необходимые для решения задачи 4. «Перевести» условие и требование задачи на язык векторов 5. С помощью преобразований над полученными векторными соотношениями прийти от условия задачи к требованию. 6. Полученному векторному соотношению дать геометрическое истолкование) Чем вы можете воспользоваться при решении задачи на этапах 2, 3, 5? А чем на этапах 4 и 6? Заметим, что выделенная нами схема является примерной. В зависимости от содержания задания часть из этих этапов может быть проведена «мысленно», «перевод» может осуществляться не сразу, а постепенно по ходу решения и т.д. Какие типы задач можно попытаться решить, используя векторы? Какие теоремы используются в решении данных задач? Как вы думаете, чем мы с вами будем заниматься на следующих уроках? Дается ДЗ.

Описание элективного курса «Решение задач повышенной сложности векторным и координатным способом»

Данный элективный курс представлен в виде практикума, который позволит, расширить  и систематизировать знания учащихся в  использовании решения стереометрических  задач. Не секрет, что многие старшеклассники при решении таких задач сталкиваются с трудностями, связанными с построением чертежа. При выполнении ЕГЭ по математике многие выпускники либо не справляются с решением задания С2, либо вообще не приступают к его решению, так как не умеют выделять в составе пространственных фигур объекты на плоскости.  Программа курса предусматривает изучение координатного метода для решения задач различного уровня сложности. Он позволяет с помощью формул и введения координатного пространства решать различные стереометрические задачи. Этот метод упрощает работу, связанную с чертежом, тем самым облегчает решение задачи.

Цели курса:

• Расширение и углубление знаний учащихся о методах и приемах решения стереометрических задач.

• Развитие интереса к предмету и возможности овладения им с точки зрения дальнейшей перспективы применения полученных знаний в своей будущей профессии.

• Развитие умений самостоятельно приобретать знания, дать возможность ученикам проявить себя и добиться успеха.

• Подготовка к ЕГЭ - выполнение заданий уровня С2.

 Задачи курса:

• Развивать пространственные представления и воображения учащихся;

• Систематизировать теоретические знания учащихся по стереометрии;

• Познакомить учащихся с координатным методом решения стереометрических задач и развивать навыки использования его.

• Познакомить учеников с разными типами геометрических задач, в том числе повышенной сложности, с особенностями методики и способами их решения.

• Готовить выпускников к успешной сдаче ЕГЭ и конкурсных экзаменов в вузы.

Программа  данного элективного курса содержит лекционные занятия, уроки - практикумы, дидактические материалы, темы творческих работ. На уроках-практикумах старшеклассники решают большое количество различных задач, в том числе и из ЕГЭ, развивая навыки работы по нахождению углов и расстояний в пространстве. Работа над проектами дает возможность ученикам совершать пусть небольшие, но свои открытия и окрыляет их для следующих побед. Содержание материала, уровневая индивидуализация учебной и дифференциация обучающей деятельности на фоне благоприятного психологического климата помогут ученику сформировать учебные  умения и навыки, повысить его образовательный уровень, что  связано с дальнейшим успешным самообразованием и профессиональным самоопределением

Тематическое планирование курса

№ урока	Тема. Содержание.	Кол-во часов	Виды деятельности учащихся
1.	Декартовы координаты в пространстве. Нахождение координат точек и длин векторов в пространстве.	1	Составление алгоритма действия. Практическая работа.
2	Составление матрицы и нахождение определителей.	1	Составление алгоритма действия. Работа в группах.
3	Составление матрицы и нахождение определителей.	1	Практическая работа. Работа в группах.
4	Составление уравнения плоскости по координатам точек в пространстве.	1	Составление алгоритма действия. Практическая работа
5	Векторы нормали. Нахождение их координат.	1	Практикум по решению задач Работа в парах, четверках.
6	Вычисление угла между векторами в пространстве.	1	Практикум по решению задач
7	Решение задач на нахождение угла между прямыми в многогранниках.	1	Составление алгоритма действия.
8	Решение задач на нахождение угла между прямыми	1	Презентация по теме. Практикум по решению задач.
9	Формула нахождения угла между прямой и плоскостью в пространстве.	1	Составление алгоритма действия. Практическая работа
10	Нахождение угла между прямой и плоскостью в пространстве.	1	Презентация по теме. Практикум по решению задач.
11	Нахождение угла между плоскостями в пространстве.	1	Работа с демонстрационным материалом. Решение задач.
12	Нахождение расстояния от точки до плоскости, находящейся в многогранниках.	1	Составление алгоритма действия. Практикум по решению задач.
13	Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми в многогранниках.	1	Презентация по теме. Практикум по решению задач.
14	Нахождение расстояния между плоскостями в пространстве.	1	Практикум по решению задач. Работа в группах.
15, 16	Защита проектов.	2	Работа в группах.
17	Контрольная работа	1	Выполнение заданий контрольной работы.
18	Итоговое занятие	1	Работа в группах Защита решения задач, исследовательских работ.

Содержание программы

Знакомство учащихся с целями и задачами курса.  На первом занятии учащимся предлагается ряд задач повышенной сложности, решение которых потребует от них знания многих тем элективного курса. Класс делится на группы, каждая группа получает задачу. Защита задач проходит на последнем занятии. По желанию учащиеся могут приготовить реферат, проект, провести исследовательскую работу. Дидактический материал дается ученикам после изучения каждой темы.

Представленный курс содержит 10 основных тем

1. Декартовы координаты в пространстве. Нахождение координат точек и длин векторов в пространстве – 1ч.

Проводится этот урок сначала в форме лекции – повторение основных ключевых моментов: декартовы координаты в пространстве и понятия, связанные с ними (координаты вектора, длина вектора, расстояние между точками, середина отрезка, параллельный перенос). На этом уроке учитель знакомит учеников с планом, задачами и целями работы. Даются задачи, решение которых будет рассмотрено на последнем занятии, а также список литературы и электронных адресов информации по теме.

  2 .Составление матрицы и нахождение определителей - 2ч.

Данный теоретический материал является частью высшей алгебры. На занятиях рассматриваются основные формулы и решаются задания по нахождению определителей.

  3. Уравнение плоскости и векторы нормали – 2ч.

Эта тема является основой для решения задач по стереометрии координатным методом. Задачи, решаемые здесь, ставят вопросы, которые будут рассмотрены в следующих темах.

4. Нахождение угла между прямыми, прямой и плоскостью, плоскостями – 6ч.

На этих занятиях ребята не только используют изученные формулы для нахождения углов в многогранниках, но и готовятся к ЕГЭ, выполняя задания С2. Необходимо использовать презентации, т. к. они помогут в выборе координатного пространства и правильного нахождения координат точек.

 5. Нахождение расстояния между точкой и плоскостью, между прямыми, плоскостями в пространстве - 3ч.

Немаловажное значение на этих уроках отводится нахождению расстояний от середины ребер, от вершин, от центра окружности, что значительно облегчит в дальнейшем решение более сложных задач. Благодаря работе с интерактивной доской и компьютером, ученики наглядно увидят расположение элементов фигур в пространстве.

6. Подведение итогов - 4ч.

Заключительные уроки содержат достаточное количество геометрических задач, часть из которых имеет сложность уровня С2.

После рассмотрения полного курса учащиеся должны иметь следующие результаты обучения:

а) уметь составлять уравнение плоскости;

б) уметь применять формулы для нахождения углов между прямыми, прямой и плоскостью, плоскостями;

в) уметь находить расстояния между прямыми, между прямой и плоскостью в многогранниках;

г) уметь решать задачи с использованием изученных формул;

д) уметь находить дополнительный материал по изучаемой теме во всех допустимых средствах информации; уметь предоставлять результаты своих находок по окончании курса.

Данный элективный курс рассчитан на выпускников, которые желают углубить свои знания по математике, качественно подготовиться к сдаче ЕГЭ. Но он также и полезен ребятам, которые будут в дальнейшем работать по специальности, связанной с математикой.

Практическая часть учебного курса

Угол между прямыми а и b

Углом между прямыми в пространстве называется угол между любыми параллельными им пересекающимися прямыми. Этот угол равен углу между направляющими векторами данных прямых (или дополняет его до 180⁰).

1 ) Выбираем любые вектора AB  и CD, имеющие направления прямых а и b (параллельные им).
2) Определяем координаты векторов AB(x₁;y₁;z₁)  и CD(x₂;y₂;z₂)  по соответствующим координатам их начал и концов (от координат конца вектора нужно отнять координаты начала).
3) Подставляем найденные координаты в формулу:

C OS(AB,CD) = _{ }

Для нахождения самого угла, нужно найти арккосинус полученного результата.

У гол между прямыми в многограннике – это угол между векторами п₁ и п_{2 ,} которые параллельны данным прямым. Пусть на одной прямой заданы точки А ( а_{1 ,} b_1, c_{1 ) ,} В ( а_{2 ,} b_2, c_{2 ),} а на другой – С ( а_{3 ,} b_3, c_{3 ),} D( а_{4 ,} b_4, c_{4 ).} Тогда векторы имеют координаты:

п₁ ( х_{1 =} а₂ - а_1, у_{1 =} b₂ - b_{1 ,}z_{1 =} c₂- c₁₎, п₂( х₂ = а₄ - а₃, у_{2 =} b₄ –b₃, z₂ = c₄ - c₃). Значение угла вычисляется по формуле, известной как скалярное произведение векторов.

Задача: В кубе АВСDА₁В₁С₁D₁ М и N – середины ребер А₁D₁ и ВВ₁. Найдите угол между прямой МN и диагональю ВD₁.

Решение:

Введем пространственную систему координат.

Находим координаты точек В, D₁, М , N : B(1;1;0) , D₁(0;0;1) , M(0,5;0;1) , N(1;1;0,5).

Координаты векторов BD₁(-1;-1;1) , MN (0,5;1;-0,5).

Искомый угол находится по формуле cos a :

Ответ: _{ }.

Уравнение плоскости в пространстве

Точки, удовлетворяющие равенству образуют плоскость с нормалью  . Коэффициент  отвечает за величину отклонения (параллельного сдвига) между двумя плоскостями с одной и той же заданной нормалью  . Для того, чтобы написать уравнение плоскости нужно сначала найти ее нормаль, используя матрицу и определители, а затем подставить координаты найденной нормали в уравнение   

Угол между прямой и плоскостью

Допустим, что нам заданы прямая и плоскость координатами направляющего вектора AB(x₁;y₁;z₁)  и нормали n(x₂;y₂;z₂).    
Угол Ψ между прямой и плоскостью вычисляется по следующей формуле:

c os(n,AB) = _{ }

Чтобы составить уравнение плоскости, которой принадлежат данные точки, необходимо воспользоваться определителями матрицы и следующей формулой:_{ }

_{ } = _{ } - _{   } + _{ }

Задача: В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания равна 8_{ } и SC =17 . Найдите tg_{ }угла , образованного плоскостью основания и прямой АО , где О – точка пересечения медиан грани ABC.

Введем пространственную систему координат. Находим координаты точек В,А,C,O : B(8_{ };0;0) А(0;0;0) ,C(4_{ };12;0), О(4_{ };4;15).

Координаты вектора n = АО (_{ };4;15)

Составляем уравнение плоскости основания :

_{ } = _{ } - _{   } + _{   }

Искомый угол находится по формуле sin a :

_{   } ; tg_{   }; Ответ: _{ }.

Угол между плоскостями

Пусть n₁(x₁;y₁;z₁)  и n₂(x₂;y₂;z₂)   — две любые нормали к данным плоскостям.

Если в задаче необходимо найти угол между плоскостями , то координаты векторов нормали составляются по матрицам , в которых берутся координаты соответствующих точек. После того как составлены уравнения плоскостей , значение угла можно найти по формуле _{ } .

Т огда косинус угла  между плоскостями равен модулю косинуса угла между нормалями:

cos(n₁ , n₂) = _{ }

Задача: В кубе АВСDА₁В₁С₁D₁ найдите угол между плоскостью А₁ВD и плоскостью, проходящей через середины его ребер АВ, ВВ₁ , В₁С_1, С₁D_1, D₁D, DА.

Решение:

Введем пространственную систему координат. Находим координаты точек необходимых для составления матриц и нахождения уравнения плоскостей: B(1;1;0) , А₁(1;0;1) , D(0;0;0) ,К(0;0;0,5) , М(0,5;0;0),N(1;0,5;0)

Составляем уравнение плоскости А₁ВD

_{ } = x(-1) – y(-1) + z(1) = - x + y + z.

Составляем уравнение плоскости KMN

_{ } = x(-0,25) - y(-0,25) + z(-0,25) = -0,25x + 0,25y - 0,25z.

Т огда  n₁ (-1; 1; 1) , n₂(-0,25; 0,25;-0,25).

Следовательно ,

cosa =_{ } = _{ } =_{ }

_{ } =_{ } =_{ } =_{ }, tg_{   };

Ответ: _{ }.

Расстояние от точки до плоскости

Для вычисления расстояния  от точки   до плоскости  , заданной уравнением   можно использовать следующую формулу:

В знаменателе стоит длина нормали, а числителе — значение выражения из левой части уравнения плоскости в точке 

Задача: В правильной шестиугольной пирамиде SABCEF , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки Е до плоскости SDА.

Решение:

Введем пространственную систему координат. Находим координаты точек S,D,E,A: А(0;0;0) , S (_{ };_{ };_{ }) , Е(0;_{ };0) D(1_{ };0). Составим уравнение плоскости SDA

_{ } = - _{ } - _{ } ) + _{ } x + _{ }

После упрощения уравнение принимает вид: _{ } x + _{ } = 0

Ответ: _{ }= _{ }

Расстояние от точки до прямой

Для вычисления расстояния от точки К (x₁;y₁;z₁₎ до прямой а необходимо на ней найти координаты вектора n (А; В; С), которые составлены из координат двух точек прямой . Одна из этих точек, например N (x₂;y₂;z₂₎ , используется в формуле, по которой находится искомое расстояние.

d =_{ }

Задача: В правильной шестиугольной призме ABCDEF A ₁B ₁C ₁D₁ E ₁F ₁ , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой А₁F _1.

Решение:

Введем пространственную систему координат. Находим координаты точек А_{1 ,}F_1,В : А ₁(0;0;1) _,F₁ (_{ };_{ };_{ }) , В(1;_{ };0).

Подставляя координаты в формулу можно вычислить расстояние от точки В до прямой А₁F _1.

d =_{ } Ответ: _{ }.

Расстояние между прямыми

Для вычисления расстояния между двумя прямыми а и в необходимо иметь координаты векторов а и в , которые лежат на этих прямых. Пусть точка А (x₁;y₁;z₁₎ принадлежит прямой а , точка В (x₂;y₂;z₂₎ принадлежит прямой в. Вектор а(_{ }) , вектор в(_{ }) .И тогда расстояние между прямыми находятся по формуле :

d = _{ }

Задача: В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми ВD и АS.

Решение:

В ведем пространственную систему координат. Находим координаты точек А ,D_,В, Н, S: А (0;0;0), В(1;_{ }; 0) , Н (_{ };_{ };_{ } S (_{ };_{ };_{ } , D (0;1;0). ВD( -1; 1; 0), АS(_{ };_{ };_{ }

Подставляя координаты в формулу можно вычислить искомое расстояние.

d = _{ } =_{ } =_{ } Ответ: _{ }.

Заключение

Достаточно простой в применении, метод координат является необходимой составляющей решения задач различного уровня. Использование данного метода, позволяет учащимся значительно упростить и сократить процесс решения задач, в том числе повышенного уровня, что помогает им при дальнейшем изучении как школьного курса математики, так и при изучении математики в высших учебных заведениях. Координатно-векторный метод имеет преимущества перед другими в том, что не требует сложных построений в проекциях, т.к. заключается во введении (привязке к исследуемым фигурам) декартовой системы координат, а затем – исчислении образующихся векторов (их длин и углов между ними); то есть одно без другого не работает. Этот метод - довольно мощный (ему поддаются даже самые «непробиваемые», казалось бы, задачи). Все те соотношения, которые при решении традиционным методом даются с большим трудом (через привлечение большого количества вспомогательных теорем), здесь получаются как бы сами собой, в ходе вычислений. Весь этот подход, развитый до своего логического завершения, в высшей математике получает название аналитической геометрии. Единственный его, пожалуй, недостаток – это требуемый нередко большой объем вычислений. Координатно-векторный метод представлен практически во всех учебниках, но большее внимание ему уделено в задачнике Потоскуева Е.В. и Звавича Л.И. С помощью векторно-координатного метода можно быстро и успешно решать стереометрические задачи из ЕГЭ в блоке С (задание С2).

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Башкирский государственный педагогический университет

им. М.Акмуллы»

(ФГБОУ ВПО «БГПУ им. М.Акмуллы»)

О Т З Ы В Р У К О В О Д И Т Е Л Я

На работу студента__________________________________________________

выполненную на тему_______________________________________________

__________________________________________________________________

1. Актуальность работы_____________________________________________

__________________________________________________________________

_________________________________________________________________

2. Научная новизна работы___________________________________________

__________________________________________________________________

3. Оценка содержания работы_________________________________________

__________________________________________________________________

4. Положительные стороны работы____________________________________

__________________________________________________________________

5. Замечания_______________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

6. Рекомендации по внедрению результатов работы______________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

7. Рекомендуемая оценка_____________________________________________

8. Дополнительная информация для ГАК______________________________ __________________________________________________________________ Научный руководитель________________________________________________ __________________________________________________________________

(подпись ) (фамилия, имя, отчество)

__________________________________________________________________

(ученая степень, звание, должность, место работы)

______________________________________ г

дата

РЕЦЕНЗИЯ

на выпускную квалификационную работу студента(ки)

_________________________________________________факультета

__________________________________________________________

__________________________________________________________

(фамилия, имя, отчество студента)

Башкирского государственного педагогического университета им.М.Акмуллы,

выполненную на тему:_______________________________________________

_____________________________________________________________________________

1. Актуальность, новизна исследования_______________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

2 Оценка содержания работы_________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

3 Отличительные, положительные стороны работы_______________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

4. Практическое значение и рекомендации по внедрению____________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

5 Недостатки и замечания по работе___________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

6. Рекомендуемая оценка_____________________________________________

Рецензент_______________ _____________________________

(подпись) (фамилия, имя, отчество)

(ученая степень, звание, должность, место работы)

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Башкирский государственный педагогический университет

им. М.Акмуллы»

(ФГБОУ ВПО «БГПУ им. М.Акмуллы»)

З А К Л Ю Ч Е Н И Е Заведующего кафедрой___________________________________________

(фамилия, имя, отчество зав.кафедрой)

Квалификационная выпускная работа студента группы_________________

_________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________

(фамилия, имя, отчество студента)

выполненная на тему______________________________________________

________________________________________________________________

________________________________________________________________

в объеме_______________ с., с приложением __________с.

соответствует установленным требованиям и допускается кафедрой к защите.

Заведующий кафедрой

«_____ »________________20___ г.