Методика изучения теоремы Герона

Анализ теоремы

Если a, b, c – стороны треугольника, p – полупериметр, S – площадь треугольника, то:

По классификации теорема:

• Импликативная
• Прямая

Т.к. формулировка носит характер «если …, то..»

Мотивация

Эолипил – «шар бога ветров Эола» – древний прототип паровой турбины.

Казалось бы, причем тут математика?

Древняя паровая турбина и тема нашего урока связаны благодаря их создателю – Герону Александрийскому.

Герон Александрийский интересовался треугольниками с целочисленными сторонами, площади которых тоже являются целыми. Так и появилась теорема Герона.

Формула площади

треугольника

через высоту

Если a, b, c – стороны треугольника, p – полупериметр, S – площадь треугольника, то:

Рассмотрим треугольник ABC со сторонами AB=c, BC=a, AC=b.

Докажем, что площадь треугольника ABC равна:

В

c

a

С

А

b

Проведем из вершины B высоту BK на сторону AC. Обозначим BK через h.

В

c

a

h

А

С

b

К

Т.к. BK – высота, полученные треугольники – прямоугольные. По теореме Пифагора из треугольника АКВ:

Отсюда:

В

c

a

Т.к. по условию КС+АК=b, получим:

h

А

С

b

К

Сложим последнее равенство, полученное из шага 3 с КС+АК=b:

Найдем высоту h по теореме Пифагора из треугольника BKC:

Вместо KC подставим выражение, полученное на шаге 4:

)()

)()

Воспользуемся формулой разности квадратов:

Т.к. полупериметр равен: , то:

Подставим эти выражения в формулу высоты.

Получим:

Площадь треугольника равна Подставим в это выражение формулу высоты, полученную на шаге 5:

Формула Герона доказана.

Применение теоремы Герона

Задание 1.  Вычислите площадь треугольника, зная, что его стороны равны 6 см; 5 см и 2,2 см.

Задание 2-3

Задание 4.  Стороны треугольника равны 4,5 и 6 см. Найдите высоты этого треугольника.