Методы решения тригонометрических уравнений, 10 класс

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

I . СВЕДЕНИЕ К АЛГЕБРАИЧЕСКОМУ.

Пример:

Пусть .

Уравнение примет вид:

- не удовлетворяет условию

Ответ: .

II . ОДНОРОДНЫЕ И СВОДИМЫЕ К НИМ .

Уравнение вида

называется однородным уравнением I степени.

Пример:

Множество значений x , удовлетворяющих уравнению

, не является решением данного уравнения. Поэтому можно обе части уравнения разделить на .

Получим:

Ответ : .

Уравнение вида

называется однородным уравнением II степени.

Пример:

Решение:

Множество значений x , удовлетворяющих уравнению , не является решением данного уравнения.

Разделим обе части уравнения на .

Получим:

Пусть .

Уравнение примет вид:

Ответ:

III . ЕСЛИ В УРАВНЕНИИ СОДЕРЖИТСЯ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ФУНКЦИЙ SIN (А X ) SIN ( BX ) , SIN ( AX ) COS ( BX ) , COS ( AX ) COS ( BX ) , ТО ТАКИЕ УРАВНЕНИЯ РЕШАЮТСЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ ПРОИЗВЕДЕНИЯ В СУММУ (РАЗНОСТЬ) И НАОБОРОТ.

При этом применяют тождества:

Пример 1.

Ответ: .

или

Пример 2.

Ответ: .

IV . ПОНИЖЕНИЕ СТЕПЕНИ.

Если в уравнении содержатся чётные степени sinx и cosx , то понижают степень уравнения с применением понижающих формул:

Пример.

Ответ:

V . РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ.

ПРИМЕР.

VI . ВВЕДЕНИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО АРГУМЕНТА.

Пример

Решение:

Разделим обе части уравнения на

Получаем:

Ответ:

VII . ПРИМЕНЕНИЕ УНИВЕРСАЛЬНОЙ ПОДСТАНОВКИ.

УНИВЕРСАЛЬНАЯ ПОДСТАНОВКА:

Пример

Решение:

Пусть: . Уравнение примет вид . О.Д.З. .

не удовлетворяет условию

Ответ: ; .

Пример 2:

Решение:

Проверка:

Ответ: ; .

VIII . ВВЕДЕНИЕ НОВОГО ПЕРЕМЕННОГО.

! Если в уравнении содержится сумма или разность sinx и cosx и их произведения, то уравнение решается введением нового переменного:

Пример:

Пусть:

(Решите самостоятельно)

IX . ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПОНЯТИЯ ОГРАНИЧЕННОСТИ (МИНИМАКС).

Пример:

k – целое

Ответ: .