"Методы решения тригонометрических уравнений и их систем"

sin x( 2cos x-1) + ( 2cos x-1)=0;

(2cos x-1)( sin x+1)=0

Имеем совокупность равносильную исходному уравнению.

Отсюда, Х=±

Задания для самостоятельной работы:

1. sin²2x+sin²4x=0,

2. sin³x+3cos( -x)=10sin(π-x)

3. sin4x=cos2x

Занятие 3. Решение уравнений преобразованием суммы тригонометрических функций в произведение и произведения – в сумму(1ч).

Цель: создание условий для формирования умений решатьуравнения преобразованием суммы тригонометрических функций в произведение и наоборот.

Повторим формулы преобразования суммы или разности тригонометрических функций в произведение. Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.

Задания для самостоятельной работы:

1. cos5x-cos3x+cos3x-cosx=0,

2. sin5xcos3x=sin6xcos2.

Занятие 4-5.Однородные уравнения и уравнения,

к ним сводящиеся, метод введения новой переменной(2ч).

Цель: создание условий для формирования умений решать уравнения вида asinx +bcosx=0, a*sin²x+bsinx*cosx+c*cos²x=0, asin²x+bsinxcosx+ccos²x=d,d≠0, asinx +bcosx=c,(ab≠0).

К однородным уравнениям относятся стандартные однородные уравнения типа:

asinx +bcosx=0 - однородное уравнение первой степени относительно sinxиcosx,

a*sin²x+bsinx*cosx+c*cos²x=0 -пример однородного уравнения второй степени относительно sinxиcosx.

Примеры уравнений, сводящихся к однородным.

I.Рассмотрим уравнение asin²x+bsinxcosx+ccos²x=d, d≠0.

Уравнение не является однородным, однако, применяя основное тригонометрическое тождество sin²x+cos²x=1и, полагая, что d=d*(sin²x+cos²x), приводим его к однородному.

II.Уравнение вида asinx +bcosx=c,(ab≠0).

Уравнение приводится к однородному, посредством применения формулы двойного угла для функций sinxиcosx.

Имеем:

аsinx+bcos x=c 2asin cos +b(cos² -sin² )=c(sin² + cos² ).

Приведем подобные члены, получим однородное уравнение второй степени:

(c+b)sin² -2asin cos +(c-b)cos² =0.

Задания для самостоятельной работы:

1. sin²2x+5sin2xcos2x+4cos²2x=0.

2. 2cos²x+sin²x-6sin2x=0,

3. cos2x= sin2x,

4. 3cos^{2 -}5cos x-2sin x=4,

5. 5sin²x+4sinxcosx-cos²x=4.

Занятие6.Решение уравнений с

использованием ограниченности функций y=sinx и y=cosx (1ч).

Цель: формирования умений решатьуравнения с использованием ограниченности тригонометрических функций.

Решение уравнений с использованием ограниченности функций y=sinx и y=cosx следует из того, что | sint|≤1 и |cost|≤1.

Рассмотрим пример:

Решить уравнение: sin3xcos4x=1.

Так как | sint|≤1 и |cost|≤1,следовательно, произведение sin3xcos4x может быть равно единице тогда и только тогда, когда

,

Решение каждой из систем совокупности приводит к уравнениям в целых числах.

Ответ: х=- .

Задания для самостоятельной работы:

1. cos8x+cos7x=2,

2. cos⁴9x-sin²2x=1,

3 .sinxsin( x)=1.

Занятие 7. Задачи, требующие отбора корней (1ч).

Цель: сформировать умениевыбирать из полученной серии решений, лишь часть, удовлетворяющую некоторому дополнительному условию.

Данные задания часто встречаются в заданиях ЕГЭ профильного уровня, решения которых подробно рассматриваются в примерных решениях сборников. Например:

1.Решить уравнение 4sin²x(1-cos2x)=1+cos2x,указать те корни, которые принадлежат промежутку [ ].

2. Решить уравнение .

3. Найти нули функции у=3cosx+6sinxна отрезке [0; ].

4.Сколько корней имеет уравнениеcos2x-4cosx=5-sin²x на отрезке

[-100π;100π]?

Занятие 8.Решение уравнений, содержащих

тригонометрические функции под знаком радикала (1ч).

Цель: формирование умений решать различные виды уравнений, содержащих тригонометрические функции под знаком радикала.

Преобразования выполняем в соответствии с правилами решения иррациональных уравнений вида: и .

Задания для самостоятельной работы:

1. ;

2. ;

3. _.

Занятие 9. Использование условий равенства

тригонометрических функций (1ч).

Цель:формирование умений использовать условие равенства тригонометрических функций для решения уравнений.

Метод основан на следующих утверждениях:

1. cos x=cos y x=±y+2πn;

2. sin x=sin y x=(-1)^my+πm;

3. tg x=tg y 4.ctg x=ctg y

которые следуют из определения тригонометрических функций и способов решения простейших тригонометрических уравнений.

Например:

Решите уравнение:

sin10x=sin5.

Решение:

10x=(-1)ⁿ5+πm, x=(-1)ⁿ0,5+ .

Задания для самостоятельной работы:

1. cosx=cos7x,

2. cos13x=cos5x+sin5x,

3. ctg4x=ctg x,

4. cos t²-cos t=0,

5. 1+sin2x=(sin3x+cos3x)²,

6. sin x²=sin10x,

7. сtg(π tg x)=tg(π сtg x),

8.tg =tg x.

Занятие 10-11. Решение тригонометрических

уравнений со сложным аргументом (2ч).

Цель: дать представление о способах решения тригонометрических уравнений, содержащих сложный аргумент.

Рассмотрим пример.

Решите уравнение: sin(sin(cosx – sinx))=0.

Решение:

sin(cosx – sinx)=πn, nЄZ, но т.к. , откудаn=0. Далее решаем уравнение sin(cosx – sinx)=0. Оно равносильно уравнению cosx – sinx=πк, к ЄZ, или уравнению . Замечаем, чтовсе значения кдолжны удовлетворять неравенству , откуда к=0. Остается решить уравнение , откуда .

Итак, ответом является равенство:

Задания для самостоятельной работы:

1.

2.

3. .

Занятие 12-13.Методы решения уравнений, содержащих

обратные тригонометрические функции (2ч).

Цель: формирование представления о способах решения тригонометрическихуравнений, содержащих обратные тригонометрические функции.

Для решения уравнений с обратными тригонометрическими функциями необходимы определения и свойства этих функций.

Решение уравнений, левая и правая части которых представляют собой одноименныеобратные тригонометрические функции различных аргументов, основано на свойстве монотонности. Здесь имеют место следующие равносильные переходы:

1. arcsin f(x) =arcsin g(x)

2. arccos f(x)=arccos g(x)

3. arctg f(x)=arctg g(x)

4. arcctg f(x)=arcctg g(x)

Задания для самостоятельной работы:

1. arcsinxarcsin x= ,

2. arccos(x(x+y))+arccos(y(x+y))=π,

3. arccos(3x-4)=2arctg(5-3x),

4. arccos2x+arcsin(6x-2)= π,

5. 4arcctg(x²-3x-3)-π=0,

6. arcsin4x=arccos3x,

7. 2arctg x= arctg ,

8. arcctg x+ arcctg 2x= .

Занятие 14-15. Способы решения систем тригонометрических уравнений (2ч).

Цель: рассмотреть способы решения систем тригонометрических уравнений.

При решении систем применяются различные приемы. Это и метод введения новых переменных, и преобразование уравнений с помощью тригонометрических формул, в частности формул приведения, формул сокращенного умножения и так далее, которые рассматриваются в школьном курсе учебника.

Задания для самостоятельной работы:

1.

2.

Занятие 16. Зачет.

1.Найти корень уравнения, принадлежащий отрезку , cosπxtg =0.

2.Найти число положительных корней уравнения(ctg2 ) =0.

3. arcsin2x-arcsinx= .

4. sin4x+cos4x=1.

5. sin⁸x+cos⁸x= .

6. (1-tgx)(1+sin2x)=1+tgx.

7.

Занятие17. Итоговое занятие-семинар (1ч).

Тема: « Способы решения нестандартныхтригонометрических уравнений иих систем».

Литература:

1. Авдонин Н.И. 30 уроков репетитора по математике (по материалам вступительных экзаменов в ВУЗы). Учебное пособие. Н.Новгород; издательство «Век», 1997г.

2. Авдонин Н.И. Математика 2000: Предварительное тестирование (по материалам предварительного тестирования перед вступительными испытаниями 2000г. в ННГУ) Н. Новгород, 2000г.

3. Башмаков М.И. Уравнения и неравенства. Москва. Наука, 1976г.

4. Бородуля И.Т. Тригонометрические уравнения и неравенства. Москва, Просвещение,1989г.

5. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа. Методические рекомендации и дидактические материалы. Пособие для учителя. Москва. Просвещение, 1990г.

6. Зильберберг Н.И. Алгебра 9. Для углубленного изучения математики. Учебное пособие. – Псков. Издательство псковского областного института усовершенствования учителей, 1993г.

7. Ивлев Б.М., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа. Москва. Просвещение, 1995г.

8. Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по элементарной математике: Алгебра. Тригонометрия. Москва. Просвещение, 1991г.

9. Никольская И.Л. Факультативный курс по математике. Москва. Просвещение, 1991.

10. Олежник С.Н. и др. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решений. Учебно-методологическое пособие 10-11 класс. Москва. Дрофа, 2001г.

11. Севрюков П.Ф. Тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Учебное пособие. Москва. Илекса, 2008г.

12. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач. Москва. Просвещение, 1989г.

13. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике. Решение задач. – Москва, Просвещение, 1991г.

14. Ященко И.В. Типовые экзаменационные варианты. Москва, Национальное образование,2020г.