Методы решения тригонометрических уравнений и их систем

ИНСТИТУТ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК И МАТЕМАТИКИ Кафедры МФИТ направление подготовки 44.03.05 педагогическое образование профили: Математика, Физика Методы решения тригонометрических уравнений и их систем

Выполнила: Токоякова

Кристина Владимировна

Группа МФ-41

Курс 4

Форма обучения очная

Абакан, 2023

Содержание

Введение

1. Понятие «тригонометрическое уравнение» и понятия, с ним связанные

2. Методы решения тригонометрических уравнений

2.1. Метод замены переменной

2.2. Метод разложения на множители

2.3. Метод решения однородных тригонометрических уравнений

2.4. Метод введения вспомогательного аргумента

3. Отбор корней в тригонометрических уравнениях, принадлежащих указанному числовому промежутку

4. Решение систем тригонометрических уравнений

Заключение

Контрольные вопросы

Введение

В древности тригонометрия возникла в связи с потребностями астрономии, землемерия и строительного дела, то есть носила чисто геометрический характер и представляла главным образом «исчисление хорд».

• Понятие «тригонометрическое уравнение» и понятия, с ним связанные

Тригонометрическим уравнением называется уравнение вида , где и – тригонометрические выражения.

Решить уравнение – это значит найти все корни или доказать, что это уравнение не имеет корней.

Из данного определения следует, что уравнение не имеет корней только в двух случаях:

• если ОДЗ уравнения есть пустое множество;
• если ОДЗ уравнения есть непустое множество D, но ни для одного элемента этого множества не выполняется числовое равенство .

Тригонометрические уравнения и называются равносильными или эквивалентными , если любой корень первого уравнения является корнем второго уравнения, а любой корень второго уравнения – корнем первого уравнения.

2. Методы решения тригонометрических уравнений

• Метод замены переменной;

• Метод разложения на множители;

• Метод решения однородных тригонометрических уравнений;

• Метод введения вспомогательного аргумента

2.1. Метод замены переменной

Суть метода заключается в том, чтобы данное тригонометрическое уравнение свести к уравнению вида

где – одна из тригонометрических функций или тригонометрическое выражение, содержащее аргумент, а – рациональная, дробно-рациональная или иная другая элементарная функция. Сначала делается замена и решается алгебраическое (рациональное, иррациональное и т.д.) уравнение

(

Пример. Решить уравнение

Далее находим корни квадратного уравнения :

;

Ответ:

2.2. Метод разложения на множители

Суть метода заключается в следующем: если левая часть , где – тригонометрическое выражение (функция), зависящее от одного аргумента, может быть представлена в виде произведения , то корнями данного уравнения будут все решения совокупности уравнений

принадлежащие области определения функции .

Пример. Решить уравнение

Ответ: .

2.3. Метод решения однородных тригонометрических уравнений

Общий метод решения основан на сведении таких уравнений к обычным рациональным уравнениям с помощью рационализирующей подстановки . Однако следует помнить, что введение подстановки приводит к сужению ОДЗ исходного уравнения и, как следствие, возможно потеря корней исходного уравнения. Поэтому алгоритм решения однородных уравнений будет состоять в следующем.

1. Сначала проверяем, не являются ли корни уравнения , корнями исходного уравнения. Очевидно, что это будет выполняться при .

2. Разделим обе части уравнения на .

В результате приходим к равносильному уравнению , которое заменой сводится к рациональному решению

3. Находим решения полученного рационального уравнения. Если рациональное уравнение решений не имеет, то и исходное тригонометрическое уравнение (3.8) тоже решений не имеет. В противном случае получаем простейшие тригонометрические уравнения

, из решения которых находим .

2.4. Метод введения вспомогательного аргумента

Суть метода заключается в следующем. Поскольку уравнение рассматривается при условии, что , то обе его части можно разделить на число . В результате получаем равносильное уравнение . Очевидно, что существует некоторый угол , для которого; .

Тогда последнее уравнение принимает вид .

Пример. Решить уравнение

; ;

Ответ:

3. Отбор корней в тригонометрических уравнениях, принадлежащих указанному числовому промежутку

Способы осуществления отбора корней в тригонометрических уравнениях:

• Арифметический способ;

• Алгебраический способ;

• Геометрический способ.

4. Решение систем тригонометрических уравнений

Пример. Решить систему уравнений.

1. Если

2. Если

Ответ:

Заключение

Таким образом, рассмотрели необходимые для овладения навыков решения тригонометрических уравнений и их систем теоретические основы. Изучили историю тригонометрии, а также понятие «тригонометрическое уравнение» и понятия с ним связанные, выделили четыре метода решения тригонометрических уравнений. Рассмотрели отбор корней в тригонометрических уравнениях, принадлежащих указанному числовому промежутку, а также решение систем тригонометрических уравнений.

Контрольные вопросы

• Что называется тригонометрическим уравнением?
• Как расшифровывается ОДЗ?
• Что значит решить уравнение ?
• В каких случаях уравнение не имеет корней?
• Какие четыре основных метода вы знаете для использования решения тригонометрических уравнения?
• В чём заключается суть метода замены переменной?
• В чём заключается суть метода разложения на множители?
• Какого вида уравнения называют однородным относительно синуса и косинуса?
• В чём состоит суть метода введения вспомогательного аргумента?
• Какими следующими способами можно осуществлять отбор корней в тригонометрическом уравнении?
• Какие подходы используются при решении систем тригонометрических уравнений?