Специально к майским праздникам! Скидки до 50% на комплекты видеоуроков и электронных тетрадей

СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Выбрать материалы

Скидки до 50 % на комплекты
только до

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Была в сети 29.04.2026 18:01

Непрокина Лидия Ивановна

Учитель математики

1 669

41 712

Подписчики

Подписки

Местоположение

Россия, Плешаново

Специализация

Математика

Алгебра

Геометрия

Обо мне Блог Файлы Тесты Галерея Активность Награды

Методы решения тригонометрических уравнений.

Категория: Алгебра

30.10.2025 09:29

Учебник: Алгебра и начала анализа. 10-11 классы. Учебник. Мордкович А.Г. (2001, 335с.)

Просмотр содержимого документа
«Методы решения тригонометрических уравнений.»

Урок открытия новых знаний, обретения новых умений и навыков.
Тема: «Методы решения тригонометрических уравнений».

Цель:

- сформировать у учащихся умения и закрепить навыки решения тригонометрических уравнений;

- сформировать умения классифицировать по методам решений, применять эти методы в новой ситуации.

Задачи:

- развивать умение обобщать, систематизировать, делать вывод;

- активизация самостоятельной деятельности;

- развивать познавательный интерес;

- формирование умения рационально, аккуратно оформлять задание на доске и в тетради

Тип урока: урок усвоения новых знаний ( урок открытия новых знаний, обретения новых умений и навыков).

Методы обучения: Интерактивный метод обучения – это метод, предполагающий взаимодействие между педагогом и учащимся в режиме диалога или беседы.(Суть интерактивных методов обучения состоит в том, что они ориентированы не только на широкое взаимодействие между педагогом и учащимися, но и на взаимодействие между самими учащимися.) частично-поисковый, проверка уровня знаний, самопроверка, системные обобщения.

Ход урока:

1.Организационный момент.

2. Озвучивание целей урока и плана его проведения.

Учитель: Тема нашего урока « Методы решения тригонометрических уравнений.»

Цель урока сегодня - рассмотреть общие подходы решения тригонометрических уравнений; закрепить навыки и проверить умение решать тригонометрические уравнения разными способами.

3. Актуализация знаний. В начале урока мы вспомним основные формулы тригонометрии и их применение. (карточки). Самооценка.

4. Основная часть урока (чередование фронтальной и индивидуальной форм работы с последующей проверкой задания)

Изучение нового материала.

Работа с учебником. §23. Стр.206. По группам оформляют решение Примеры 1-5 в тетрадях.

5. Закрепление нового материала. Решаем уравнения со слайдов презентации.(Ученик оформляет на доске).

6. Первичный контроль знаний. Дифференцированные задания.

База. № 1(а),№10(б). Профиль. Из тестов ЕГЭ. (Карточки.)

7. Рефлексия.

8. Домашнее задание. Дифференцированно. §23. База №4(а),5(а),10(а). Профиль № 5(б),6(а),7(а),9(а).

2.2 Учитель: Ребята, а теперь вспомним основные методы решения тригонометрических уравнений.

*На экране проецируются основные виды тригонометрических уравнений, методы их решений

1. Введение новой переменной.

2sin²x – 5sinx + 2 = 0.

Пусть sinx = t, |t|≤1,

Имеем: 2t² – 5t + 2 = 0.

Получаем и решаем tg = z,

2. Разложение на множители

2sinx cos5x – cos5x = 0;

cos5x (2sinx – 1) = 0.

3. Однородные тригонометрические уравнения.

I степени

asinx + b cosx = 0, (a,b ≠ 0).

Разделим на cosx ≠ 0.

Получаем ии решаем: a tgx + b = 0; …

II степени

a sin²x + b sinxcosx + c cos²x = 0.

1) если а ≠ 0, разделим на cos²x ≠0

имеем: a tg²x + b tgx + c = 0.

2) если а = 0, то

имеем: b sinxcosx + c cos²x =0; разделим на cos²x ≠0

получаем и решаем

btgx + c = 0

4. Неоднородные тригонометрические уравнения.

Уравнения вида:

asinx + bcosx = c

где a, b, c – коэффициенты; x – неизвестное.

Введение вспомогательного угла

2.3 Учитель: Вспомнив теорию, давайте решим несколько тригонометрических уравнений по известным алгоритмам.

*Задания можно выводить на экран, у меня они были подготовлены на листах формата А3 и крепились к доске на магнитах. Каждое задание выполняется по одному ученику на доске, с объяснением. Первым двоим, не рядом сидящим, при правильном решении и оформлении ставится оценка.

Задание №1.

Решить уравнение sin² х + 5 sin х - 6 =0.

Учащиеся решают уравнение, вводят замену

sin х = z, ,

решая квадратное уравнение

z² + 5 z - 6 = 0,

находят

z₁= 1

z₂ = -6(не удовлетворяет условию )

Решением уравнение

sin х = 1

х = π/2 +2 πk, k Z.

Ответ: π/2 +2 πk, k Z.

Учитель: Продолжим решать тригонометрические уравнения, применяя нужный метод.

Задание №2

Решите уравнение 2 sinx+ 3 cosx = 0.

Учащиеся решают уравнение.

2 sin x+ 3 cos x = 0 | :cos x ≠ 0

2 tgx + 3 =0

tg x = -1,5

х= arctg (-1,5) + πk, k Z

х = - arctg 1,5 + πk, k Z

Ответ: - arctg 1,5 + πk, k Z.

Задание №3

Решите уравнение 2 sin² х - 3 sinхcos х - 5 cos²х =0

Учащиеся решают уравнение

2 sin² х - 3 sinхcos х - 5 cos²х =0

2 sin² х - 3 sinх cos х - 5 cos²х =0 | :cos²х ≠ 0

2 tg²x - 3 tgx - 5 = 0

замена tgx = t

2 t² – 3 t – 5 =0

t₁= -1; t₂ = 2,5

Выполняем обратную замену и решаем уравнения

1) tg х = -1

х = -π/2 + πk , k Z.

2) tg х = 2,5

х = arctg 2,5+ πn, n Z.

Ответ: -π/2 + πk , arctg 2,5+ πn, n, k Z.

Задание №4.

Решить уравнение sinx + cosx = 1

Учащиеся решают уравнение

sinx + cosx = 1 │ :2

Ответ:

3. Самостоятельная работа учащихся с последующей проверкой результатов работы

Учитель: А теперь выберите два уравнения и самостоятельно решите их.

*Работа выполняется под копирку. Оригинальный вариант сдается учителю для проверки и выставления отметки, а второй - остается у учащихся для самопроверки.

На экране проецируется задание.

На оценку

1 вариант

2 вариант

«3»

«4»

«5»

3 sin x+ 5 cos x = 0

5 sin²х - 3 sinх cos х - 2 cos²х =0

3 cos²х + 2 sin х cos х =0

5 sin² х + 2 sinхcos х - cos²х =1

2 sin x - 5 cos x = 3

1- 4 sin 2x + 6 cos²х = 0

2 cos x+ 3 sin x = 0

6 sin²х - 5 sinх cos х + cos²х =0

2 sin² x – sin x cosx =0

4 sin² х - 2sinх cos х - 4 cos²х =1

2 sin x - 3 cos x = 4

2 sin²х - 2sin 2х +1 =0

Учитель: Ребята, проверьте свое решение с ответами и поставьте оценку.

*Ответы записываются на доске с обратной стороны, пока учащиеся работают. После того, как собраны работы, проводится самопроверка, и учащиеся выставляют себе предварительную оценку.

1 вариант

2 вариант

«3»

«4»

«5»

- arctg 5/3+ πk, k Z.

π/4 + πk; - arctg 0,4 + πn, k, n Z.

π/2 + πk; - arctg 1,5 + πn, k, n Z.

π/4 + πk; - arctg 0,5 + πn, k, n Z.

arctg ( - 1 ±√5) + πk, k Z.

π/4 + πk; arctg 7 + πn, k, n Z.

- arctg 2/3+ πk, k Z.

arctg 1/3+ πk; arctg 0,5 + πn, k, n Z.

πk; arctg 0,5 + πn, k, n Z.

-π/4 + πk; - arctg 5/3 + πn, k, n Z.

arctg ( 2 ±√11) + πk, k Z.

π/4 + πk; arctg 1/3 + πn, k, n Z.

4. Учитель: Для закрепления навыков решения тригонометрических уравнений я предлагаю вам выполнить домашнее задание дифференцированного содержания:

*Дифференцированное домашнее задание. Задание выводится на экран, в электронном журнале загружается файлом

Решите уравнения

Оценка «3»:

Оценка «4»:

Оценка «5»:

Найдите наибольший отрицательный корень уравнения

5. Учитель: Подведем итоги урока. Сегодня на уроке мы вспомнили числовые значения тригонометрических функций, вспомнили формулы решения простейших тригонометрических уравнений, рассмотрели общие подходы решения тригонометрических уравнений, закрепили навыки и проверили умения решать тригонометрические уравнения, познакомились соспособом отбора корней при решении тригонометрических уравнений.

Я уверена, что у вас сложилось более полное представление о тригонометрических уравнениях и разнообразии способов их решения, и с решением тригонометрических уравнений большинство из вас справится.

- Что нового узнали на уроке?

- Испытывали ли вы затруднения при выполнении самостоятельной работы?

- Испытывали ли вы затруднения при выборе самостоятельной работы?

- Какие проблемы у вас возникли по окончании урока?

Учитель: Спасибо вам за насыщенную работу на уроке. Я благодарю всех, кто принял активное участие в работе. Урок окончен. До свидания!