Медианы, биссектрисы и высоты треугольника. Равнобедренный треугольник

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Софронова Н.А.

Учитель математики

МОУ «Упшинская ООШ»

Перпендикуляр к прямой

А

Н

а

С

M

N

b

В

Теорема

Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один

А

1

Н

С

В

2

А 1

M

Теорема

Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один

А

С

В

Н 1

Н

Предположим, что через точку А можно провести еще один перпендикуляр к прямой ВС - АН 1

Получим:

Вывод: АН - единственный

Медианы треугольника

Отрезок, соединяющий вершину треугольника и середину противоположной стороны, называется медианой треугольника

В

Т

К

С

А

М

АМ = МС, М  АС  ВМ – медиана

АК = КВ, К  АВ  СК – медиана

ВТ = ТС, Т  ВС  АТ – медиана

Биссектрисы треугольника

Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника

В

М

С

А

Биссектрисы треугольника

Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника

В

М

Т

С

А

К

Высоты треугольника

Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника

В

А

С

Н

Высоты треугольника

Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника

В

К

А

С

Н

Высоты треугольника

Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника

В

М

К

А

Н

С

Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противо-положную сторону, называется высотой треугольника

Высоты треугольника

Н

В

А

С

боковая сторона

боковая сторона

Равнобедренный треугольник

В

Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным .

Равные стороны называются боковыми сторонами , а третья сторона – основанием треугольника.

С

А

основание

Углы А и С называются углами при основании

Угол В (лежит против основания) – угол при вершине

В

Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним

С

А

В

Виды равнобедренных треугольников

N

основание

С

А

остроугольный

M

основание

F

прямоугольный

R

основание

S

P

тупоугольный

Свойство равнобедренных треугольников

В

Теорема.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны

С

А

D

Доказательство .

Проведем биссектрису ВD.

Рассмотрим треугольники ABD и CBD. У них:

1) … 2) … 3) …

Из равенства ΔАВD = ΔCBD следует ے A= ے C

боковая сторона

Медианы, высоты и биссектрисы в равнобедренном треугольнике

В

В

M

К

Н

основание

С

С

А

А

M

К

Н

Свойство равнобедренных треугольников

Теорема.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

В

Доказательство .

А

С

D

Рассмотрим треугольники ABD и CBD. У них:

Из равенства ΔABD = ΔCBD следует …

1) AD = DC (BD -медиана)

2) ے ADB = ے CDB=90 0 (BD -высота)