Методические рекомендации к практическому занятию «Прямые и плоскости в пространстве»

министерство образования и науки Волгоградской области

государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

«Волжский политехнический техникум»

Методические рекомендации

к практической работе

по теме «Прямые и плоскости в пространстве»

Учебная дисциплина: Математика

Курс: 1

Преподаватель: Курлович Е.П.

Практическое занятие №2

Тема: Прямые и плоскости в пространстве .

Цели:

Дидактические:

1. Проконтролировать уровень усвоения теоретического материала.

2. Рассмотреть взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, двугранный угол, систематизировать и закрепить эти понятия в ходе решения типовых задач по этой теме.

3. Корректировка знаний, умений, навыков.

Развивающие:

1) Развивать пространственное воображение, аккуратность и точность при построении чертежей к задачам;

2) Развивать умение выделять главное, развивать умение обобщать, делать вывод на основе сравнения.

Воспитательные:

1) Поддерживать интерес к предмету, воспитывать познавательную активность, способствовать формированию коммуникативной компетентности.  

План занятия:

1. Подготовительный этап.

Повторение опорных знаний.

1) Взаимное расположение прямых.

2) Взаимное расположение плоскостей.

3) Взаимное расположение прямой и плоскости.

4) Двугранный угол (чертёж).

5) Линейный угол двугранного угла.

6) Проекция точки и прямой на плоскость.

7) Угол между прямой и плоскостью (чертёж).

8) Расстояние от точки до прямой.

9) Расстояние от точки до плоскости.

1. Теоретический этап.

Проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, проведённого из этой точки к плоскости, если точка не лежит в плоскости, и сама точка ,если она лежит в плоскости.

Проекцией прямой на плоскость, не перпендикулярную к этой прямой, является прямая. Если данная прямая параллельна плоскости, то её проекцией на плоскость является прямая, параллельная данной.

Если прямая перпендикулярна к плоскости, то её проекция на эту плоскость является точка пересечения этой прямой с плоскостью.

Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и её проекцией на плоскость.

Угол между параллельными прямой и плоскостью равен 0⁰ .

Угол между прямой перпендикулярной к плоскости считается равным 90⁰.

Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, и не принадлежащими одной плоскости.

а - ребро двугранного угла, полуплоскости - грани его.

Угол АОВ - линейный угол двугранного угла. Чтобы его построить, нужно выбрать произвольную точку О на ребре, а лучи ОА и ОВ должны быть перпендикулярны к ребру.

Задача 1

Две прямые образуют прямой угол с плоскостю α. Длина отрезка AB= 59,5 cм , длина отрезка CD= 38,5 см.  Найдите длину АС, если ВD=20 см.

Свойства перпендикулярности прямой и плоскости.

1. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

2. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.

Задача2

Двугранный угол равен 60°. На одной грани двугранного угла дана точка B, расстояние от которой до ребра равно 6 см. Чему равно расстояние от точки B до второй грани двугранного угла?

Задача 3

В двугранном угле, грани которого перпендикулярны, дана точка A. Расстояния от точки А до граней AA₁=3 cм и AB₁=4 cм. Определите  расстояние AB, до ребра двухгранного угла.

Задача 4

В прямом двухгранном углу дан отрезок AB так, что один конец отрезка находится в одной грани угла, а второй конец в другой грани угла. Расстояния от точек A и B до ребра угла AA₁=6 cм, BB₁=5 cм. Длина отрезка A₁B₁=30 cм. Найдите длину отрезка AB.

В ₁

А ₁

А

В

В₁

А

А₁

1. Практический этап.

Самостоятельное применение знаний, умений и навыков.

Провести самостоятельную работу в 4 вариантах.

Планируемый результат: после выполнения практических заданий студент должен:

1. уметь: выполнять чертежи к условию задачи, находить на чертежах расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости, проекцию прямой на плоскость, применять ранее изученный теоретический материал при решении задач, обосновывать решения задач и письменно оформлять их;

2. знать: основные определения и теоремы по теме «Прямые и плоскости в пространстве»;    

Требуемое время: 2 академических часа.

Раздаточный материал:

1.Справочный материал по теме;

2.Дидактические карточки 4 вариантов.

Основная литература:

1. Яковлев Г.Н. Алгебра и начала анализа, часть 2.-М.,Наука,1981.

2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике -М.,ВШ,1990.

3. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика -М., Дрофа, 2006.

4. Ковалёва Г.И. Геометрия 10-11 классы. Задания на готовых чертежах.

5. Интернет ресурсы: http://www.yaklass.ru/

Вариант 1

на «3»:

1) Найдите длину отрезка, если его проекция на плоскость равна 9 см, а концы отрезка находятся на расстоянии 96,5 см и 56,5 см от плоскости по одну сторону от неё.

на «4»:

2) Двугранный угол равен 45°. На одной грани двугранного угла дана точка B, расстояние от которой до ребра равно 26 см. Чему равно расстояние от точки B до второй грани двугранного угла?

на «5»:

3) В двугранном угле, грани которого перпендикулярны, дана точка A. Расстояния от точки до граней  AВ=14 cм и AС=48 cм. Рассчитайте расстояние AD до общей прямой, граней этого угла.

Вариант 2

на «3»:

1) Концы отрезка длиной 17 см находятся на расстоянии 42,5см и 27,5см от плоскости по одну сторону от неё. Найдите длину проекции данного отрезка на эту плоскость.

на «4»:

2) Двугранный угол равен 60°. На одной грани двугранного угла дана точка B, расстояние от которой до ребра равно 20 см. Чему равно расстояние от точки B до второй грани двугранного угла?

на «5»:

3) На одной из граней двугранного угла даны точки A и B, расстояния которых до ребра этого угла соответственно 15 cм и 30 cм. Расстояние от точки A до второй грани угла 9 cм. Рассчитайте расстояние от точки B до второй грани угла.

Вариант 3

на «3»:

1) Найдите длину отрезка, если его проекция на плоскость равна 7 см, а концы отрезка находятся на расстоянии 41,5 см и 17,5 см от плоскости по одну сторону от неё.

на «4»:

2) Двугранный угол равен 30°. На одной грани двугранного угла дана точка B, расстояние от которой до ребра равно 10 см. Чему равно расстояние от точки B до второй грани двугранного угла?

на «5»:

3) Двугранный угол равен 60° градусов. Внутри его дана точка A, которая находится на расстоянии 9 см от обеих граней угла. Чему равно расстояние от точки A до ребра двугранного угла?  

Вариант 4

на «3»:

1) Концы отрезка длиной 13 см находятся на расстоянии 35,5 см и 23,5 см от плоскости по одну сторону от неё. Найдите длину проекции данного отрезка на эту плоскость.

на «4»:

2) Двугранный угол равен 60°. На одной грани двугранного угла дана точка B, расстояние от которой до ребра равно 12 см. Чему равно расстояние от точки B до второй грани двугранного угла?

на «5»:

3) На одной из граней двугранного угла даны точки A и B, расстояния которых до ребра этого угла соответственно 5 cм и 15 cм. Расстояние от точки A до второй грани угла 3 cм. Рассчитайте расстояние от точки B до второй грани угла.