Методические рекомендации к практической работе по теме "Прямые и плоскости в пространстве"

комитет образования и науки Волгоградской области

государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

«Волжский политехнический техникум»

Методические рекомендации

по подготовке и проведению

практического занятия

по теме:

Решение задач по теме «Прямые и плоскости в пространстве»

для специальности:

13.02.11

11.02.05

курс: 1

2016

Практическое занятие

Тема: Решение задач по теме: «Прямые и плоскости в пространстве».

Цели:

Образовательная: формирование у студентов умений применять полученные знания при выполнении задач стереометрии

Воспитательная: воспитание самостоятельности, творческого подхода к решению практических задач.

Развивающая: развитие логического мышления, навыков сравнительного анализа, пространственного мышления.

Оборудование:

Доска, компьютер, проектор, экран, индивидуальные карточки с заданиями, записи на доске.

Использование элементов педагогических технологий:

1. личностно – ориентированных;

2. информационно – коммуникативных;

3. развивающих;

4. проблемный диалог;

5. дифференцированный подход.

Результативность:

Формирование компетенций: ценностно- смысловой, учебно- познавательный, коммуникативный, личного самосовершенствования.

План занятия.

1. Подготовительный этап

Повторение теоретических знаний по теме «Прямые и плоскости в пространстве»

1. Изображение прямой, наклонной и их перпендикуляров на плоскость

2. Виды расположения прямой и плоскости

3. Изобразить треугольник (прямоугольник, параллелограмм, ромб и т.д) на плоскости

4. Повторение формул (т.Пифагора, площадей)

1. Теоретический этап

Студентам предлагается решить типовые задачи. (Приложение 1)

1. Практический этап

Раздаются карточки с заданиями( 10 вариантов)

Список литературы:

1. Г.Н. Яковлев. Алгебра и начала анализа, часть 1.-М.,Наука,1981.

2. Н.В. Богомолов. Практические занятия по математике.-М.,ВШ,1990.

3. Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко. Математика.-М., Дрофа,2006.

4. И.А. Соловейчик, В.Т. Лисичкин. Математика.-М., ВШ, 1991.

Вариант 1.

1. Провести перпендикуляр к вершине прямого угла прямоугольного треугольника, лежащего в плоскости α.

2. Изобразить плоскость α. По оду сторону плоскости находятся точки А и В (на разном расстоянии от плоскости). Провести перпендикуляры из этих точек на плоскость α. Показать проекцию прямой АВ.

3. Стороны треугольника АВС равны 13см, 14см, 15см. Из вершины А, восстановлен к его плоскости перпендикуляр АD, равный 15 см. Найти площадь треугольника ВDС.

4. А и В – точки, расположенные по одну сторону плоскости α; АС и ВD- перпендикуляры на эту плоскость; АС = 19см, ВD=10см, СD=12 см. Вычислить расстояние между точками А и В.

____________________________________________________________

Вариант 2.

1. Из точки В не лежащей в плоскости опустить перпендикуляр в точку пересечения диагоналей ромба, лежащего в плоскости α.

2. Изобразить плоскость α. Прямая АВ пересекает эту плоскость. Провести перпендикуляры из точек на плоскость, указать проекцию прямой АВ.

3. Из вершины прямого угла, восстановлен перпендикуляр к его плоскости длиной 35 см. Найдите расстояние от кона перпендикуляра до гипотенузы, если катеты равны 15см и 20см.

4. А и В – точки, расположенные по одну сторону плоскости. АС и ВD- перпендикуляры на эту плоскость. АВ=20см, АС=27см. Вычислить расстояние между точками С и D.

_____________________________________________________________

Вариант 3.

1. В плоскости α лежит параллелограмм. Из точки не лежащей в этой плоскости провести перпендикуляр в точку пересечения диагоналей параллелограмма.

2. Изобразить плоскость α. Прямая АВ находится над плоскостью. Опустить перпендикуляры из точек А и В. Провести проекцию прямой АВ.

3. Стороны прямоугольника равны 9см и 8см. Из одной вершины прямоугольника восстановлен к его плоскости перпендикуляр, равный 12см. Найдите расстояние от конца перпендикуляра до остальных вершин прямоугольника.

4. Отрезок длиной 10см пересекает плоскость; концы его находятся на расстоянии 3см и 2 см от плоскости. Найти угол между данным отрезком и плоскостью.

_____________________________________________________________

Вариант 4.

1. В плоскости α лежит прямоугольный треугольник. Из точки, не лежащей в плоскости α, восстановить перпендикуляр к середине гипотенузы.

2. Из точки О к данной плоскости провести две прямые, которые пересекают эту плоскость. Опустить перпендикуляр из токи О к плоскости.

3. В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 12см. Перпендикуляр, проведенный из вершины прямого угла к плоскости треугольника, равен 12 см. Найдите расстояние от конца перпендикуляра к гипотенузе.

4. Из точки, отстоящей от плоскости на 10 см, проведены две наклонные, составляющие с плоскостью углы 30° и 45°; угол между их проекциями на эту плоскость равен 30°. Найти расстояние между основаниями наклонных.

_______________________________________________________________

Вариант 5.

1. В плоскости α лежит равнобедренный треугольник. Восстановить перпендикуляр из точки не лежащей в этой плоскости к любой вершине треугольника.

2. Из точки, не лежащей в плоскости α, провести наклонную к этой плоскости. Опустить перпендикуляр и указать проекцию наклонной.

3. Катеты прямоугольного треугольника равны 6см, 8см. Из середины гипотенузы восстановлен перпендикуляр, равный 12см. Найти расстояние от конца перпендикуляра до вершин треугольника.

4. Из точки к данной плоскости проведены две наклонные длиной 8см каждая; эти наклонные образуют с плоскостью углы 30°. Вычислить расстояние между концами наклонных, если угол между проекциями наклонных на эту плоскость равен 120°.

_______________________________________________________________

Вариант 6.

1. Из точки, не лежащей в плоскости α провести перпендикуляр в точку пересечения диагоналей квадрата, лежащего в этой плоскости.

2. Из концов отрезка, не лежащего в плоскости α, опустить перпендикуляры и указать проекцию отрезка на эту плоскость.

3. Из точки пересечения диагоналей прямоугольника восстановлен к его плоскости перпендикуляр, равный 21см. Найдите расстояние от конца перпендикуляра до вершин прямоугольника, если стороны прямоугольника равны 12см и 16см.

4. Из концов отрезка АВ равного 26см, находящегося вне плоскости α, опущены на эту плоскость перпендикуляры АС и ВD. Найдите длину проекции отрезка АВ на плоскость α, если АС=32см, ВD=22см.

____________________________________________________________

Вариант 7.

1. Провести перпендикуляр из точки, не лежащей в плоскости α к вершине квадрата, лежащего в плоскости α.

2. Отрезок пересекает плоскость α в точке А. Опустите перпендикуляры из концов отрезка на плоскость и укажите проекцию этого отрезка.

3. Высота прямоугольного треугольника ABC, опущенная на гипотенузу, равна 9,6. Из вершины C прямого угла восставлен к плоскости треугольника ABC перпендикуляр CM, причем CM = 28. Найдите расстояние от точки M до гипотенузы AB.

4. Из точки, отстоящей от плоскости на расстоянии 8см, проведены две наклонные под углом 45° к плоскости, а из проекции составляют между собой угол в 120°. Вычислите расстояние между концами наклонных.

______________________________________________________________

Вариант 8.

1. Отрезок параллелен плоскости α. Опустить перпендикуляры из концов отрезка на эту плоскость и провести проекцию.

2. Из вершины прямого угла прямоугольного треугольника восстановить перпендикуляр к плоскости этого треугольника.

3. Катеты прямоугольного треугольника АВС равны 15см и 20 см. Из вершины прямого угла С проведен отрезок СК перпендикулярный плоскости этого треугольника, СК=16см. Найти расстояние от точки К до гипотенузы АВ.

4. Из точки М, лежащей вне плоскости, проведены к этой плоскости перпендикуляр длиной 15см и наклонная длиной 25см. найдите проекцию наклонной на эту плоскость.

______________________________________________________________

Вариант 9.

1. Провести перпендикуляр из точки, не лежащей в данной плоскости к вершине параллелограмма лежащего в этой плоскости.

2. Отрезок АС пересекает плоскость α в точке О. Провести перпендикуляры из концов отрезка к плоскости и указать проекцию прямой.

3. Из концов отреза АВ=20см, находящегося вне плоскости α, опущены на эту плоскость перпендикуляры АD и ВС. Найдите длину проекции отрезка АВ на плоскость α, если ВС=29см, АD=17см.

4. Катеты прямоугольного треугольника равны 30см и 40см. Из вершины прямого угла С к плоскости треугольника восстановлен перпендикуляр КС=24см. Найти расстояние от точки К до гипотенузы.

_________________________________________________________________

Вариант 10.

1. Из точки, не лежащей в плоскости, проведены две наклонные. Опустить из этой точки перпендикуляр к данной плоскости и указать проекции этих наклонных.

2. Из точки, не лежащей в плоскости α, опустить перпендикуляр к вершине многоугольника, лежащего в этой плоскости.

3. Концы данного отрезка длиной 50см отстоят от плоскости на 30см и 44см. Найдите проекцию этого отрезка на плоскость.

4. Из вершины прямого угла прямоугольного треугольника с катетами 6см и 8см провести перпендикуляр длиной 16см к плоскости треугольника. Найдите расстояние от концов перпендикуляра до гипотенузы.

________________________________________________________________

Вариант 11.

1. Провести перпендикуляр к вершине прямого угла прямоугольного треугольника, лежащего в плоскости α.

2. Изобразить плоскость α. По оду сторону плоскости находятся точки А и В (на разном расстоянии от плоскости). Провести перпендикуляры из этих точек на плоскость α. Показать проекцию прямой АВ.

3. Стороны треугольника АВС равны 13см, 14см, 15см. Из вершины А, восстановлен к его плоскости перпендикуляр АD, равный 15 см. Найти площадь треугольника ВDС.

4. А и В – точки, расположенные по одну сторону плоскости α; АС и ВD- перпендикуляры на эту плоскость; АС = 19см, ВD=10см, СD=12 см. Вычислить расстояние между точками А и В.

Вариант 12.

1. Из точки В не лежащей в плоскости опустить перпендикуляр в точку пересечения диагоналей ромба, лежащего в плоскости α.

2. Изобразить плоскость α. Прямая АВ пересекает эту плоскость. Провести перпендикуляры из точек на плоскость, указать проекцию прямой АВ.

3. Из вершины прямого угла, восстановлен перпендикуляр к его плоскости длиной 35 см. Найдите расстояние от кона перпендикуляра до гипотенузы, если катеты равны 15см и 20см.

4. А и В – точки, расположенные по одну сторону плоскости. АС и ВD- перпендикуляры на эту плоскость. АВ=20см, АС=27см. Вычислить расстояние между точками С и D.

______________________________________________________________

Вариант 13.

1. В плоскости α лежит параллелограмм. Из точки не лежащей в этой плоскости провести перпендикуляр в точку пересечения диагоналей параллелограмма.

2. Изобразить плоскость α. Прямая АВ находится над плоскостью. Опустить перпендикуляры из точек А и В. Провести проекцию прямой АВ.

3. Стороны прямоугольника равны 9см и 8см. Из одной вершины прямоугольника восстановлен к его плоскости перпендикуляр, равный 12см. Найдите расстояние от конца перпендикуляра до остальных вершин прямоугольника.

4. Отрезок длиной 10см пересекает плоскость; концы его находятся на расстоянии 3см и 2 см от плоскости. Найти угол между данным отрезком и плоскостью.

_____________________________________________________________

Вариант 14.

1. В плоскости α лежит прямоугольный треугольник. Из точки, не лежащей в плоскости α, восстановить перпендикуляр к середине гипотенузы.

2. Из точки Х к данной плоскости провести две прямые, которые пересекают эту плоскость. Опустить перпендикуляр из токи Х к плоскости.

3. В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 12см. Перпендикуляр, проведенный из вершины прямого угла к плоскости треугольника, равен 12 см. Найдите расстояние от конца перпендикуляра к гипотенузе.

4. Из точки, отстоящей от плоскости на 10 см, проведены две наклонные, составляющие с плоскостью углы 30° и 45°; угол между их проекциями на эту плоскость равен 30°. Найти расстояние между основаниями наклонных.

______________________________________________________________

Вариант 15.

1. В плоскости α лежит равнобедренный треугольник. Восстановить перпендикуляр из точки не лежащей в этой плоскости к любой вершине треугольника.

2. Из точки, не лежащей в плоскости α, провести наклонную к этой плоскости. Опустить перпендикуляр и указать проекцию наклонной.

3. Катеты прямоугольного треугольника равны 6см, 8см. Из середины гипотенузы восстановлен перпендикуляр, равный 12см. Найти расстояние от конца перпендикуляра до вершин треугольника.

4. Из точки к данной плоскости проведены две наклонные длиной 8см каждая; эти наклонные образуют с плоскостью углы 30°. Вычислить расстояние между концами наклонных, если угол между проекциями наклонных на эту плоскость равен 120°.