Методические рекомендации к системе упражнений, направленной на усвоение теорем, выражающих свойства числовых неравенств.

Методические рекомендации к системе упражнений, направленной на усвоение теорем, выражающих свойства числовых неравенств и их применением на практике.

Рассмотрим систему упражнений на примере свойства, которое выражается теоремой:

Если a b и c – положительное число, то ac bc;

Если a b и c – отрицательное число, то ac bc.

К самостоятельному «открытию» этой теоремы обучающиеся могут прийти в результате рассмотрения частных примеров. Для этого можно предложить такие задания: 1. Поставьте вместо многоточия знак так, чтобы получившееся числовое неравенство было верным: a) 5 · 8 … 3 · 8; b) 5 · 0,2 … 3 · 0,2; d) 5 · (-8) … 3 ·(- 8); е) 5 · (-1/4) … 3 ·(-1/4). 2. Запишите неравенство, которое получится, если обе части неравенства – 7 a) 2; b) – 1; d) 10; е) -1/2. В результате выполнения таких упражнений обучающиеся подмечают некоторую закономерность и выдвигают гипотезу: Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство того же знака; если обе части верного неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то получится верное неравенство противоположного знака. Роль учителя в данном случае состоит в том, чтобы придать формулировке логически правильную форму и записать её в символическом виде. Доказательство свойств числовых неравенств в учебнике выполняется путём сравнения с нулём разности левой и правой частей доказываемого неравенства. Именно такой приём и используется при доказательстве неравенств. Для того чтобы обучающиеся овладели указанным приёмом можно дать такие задания: 3. Сравните значения выражений: 3a(a+6) и (3a+6)(a+4) при a = -5; 0; 40. Докажите, что при любом a значение первого выражения меньше, чем значение второго. 4. Докажите, что при любом значении переменной a выполняется неравенство: a) 3(a+1) + a a); b) (a - 2)² a(a - 4). 5. Докажите, что при любых значениях переменных a и b: a) a(a + b) ≥ ab; b) a² - ab + b² ≥ ab; d) 2ab ≤ a² + b²; е) a(a - b) ≥ b(a - b). При выполнении упражнений обучающие должны давать подробные пояснения. Такая подготовка через упражнения даёт учителю возможность подчеркнуть, что обучающиеся пришли к задаче, приём решения которой им знаком. При такой организации учебной деятельности обучающиеся справляются с доказательством рассматриваемой теоремой самостоятельно. Для прочного и сознательного усвоения формулировки рассматриваемой теоремы можно предложить задания: 6. Известно, что a b. Запишите верное неравенство, которое получится, если обе части данного неравенства: a) умножить на 8; b) умножить на -4,5. 7. Известно, что a b. Поставьте вместо многоточия знак так, чтобы получилось верное неравенство: a) - 12,7a … - 12,7b; b) 1/3a … 1/3b; d) 0,07a … 0,07b; е) – a/2 … - b/ -2. 8. Каков знак числа a, если известно, что: a) 5a 3a; d) – 3a е) 12a 9. Известно, что a b. На основании какой теоремы можно утверждать, что: a) – 7a b; b) a/5 b/5; d) – a b? Выполняя упражнение обучающиеся должны давать полный развернутый ответ.