Многогранники вокруг нас

ГАПОУ СО «Новоузенский агротехнологический техникум»

Многогранники вокруг нас

Студент группы А- 21 Семенюк Иван Преподаватель математики: Винс Ю. А.

Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой - красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства.

Бертран Рассел

Существует пять удивительно симметричных

и красивых многогранников, у которых

все грани одинаковы.

Эти многогранники

называются правильными многогранниками

или платоновыми телами в честь

древнегреческого философа Платона.

Согласно Платону, частицы

огня, воздуха и воды имеют форму соответствующих

многогранников и могут превращаться друг в друга, так как

их грани подобны.

Соответствие правильных многогранников стихиям

вода

икосаэдр

огонь

тетраэдр

воздух

октаэдр

вселенная

додекаэдр

Однако они не могут превращаться в частицы земли, квадратные грани которых не могут быть собраны из правильных треугольников.

земля

гексаэдр

Где встречается тетраэдр?

Гигантский тетраэдр для Нового Орлеана

Разработанное для Нового Орлеана «здание-город» NOAH (New Orleans Arcology Habitat) возвышается на 365 метров, включает в себя 20000 квартир, суммарная жилая площадь которых равна 2 040 000 кв.м. Здание использует экологичное энергоснабжение — энергию ветра, воды и солнца. Кроме квартир в тетраэдре помещаются коммерческие организации, три отеля, культурные объекты, школа, больницы и казино. И, учитывая место, под которое создавался проект, его немаловажная особенность — способность держаться на плаву.

Где встречаются в жизни

• Многие природные кубические кристаллы имеют форму октаэдра:
• алмаз,
• хлорид натрия,
• флюорит,
• шпинель.

Тела в виде куба (гексаэдра):

Кристаллы пирита

Пирит — это серный, или железный, колчедан. Название пирита — происходит oт греческого слова «пир» — огонь. Древние греки называли его — огнеподобный — за огненно-желтый цвет и способность высекать искры при ударе твердыми (стальными, кремневыми) предметами.

Тела в виде икосаэдра:

Бактериофа́ги или фа́ги  — вирусы, избирательно поражающие бактериальные клетки

• Кристаллы  - это все твердые тела, имеющие форму многогранника, возникающую в результате упорядоченного расположения атомов.

Например,

Молекулы воды имеют форму тетраэдра

Кристаллы пирита имеют форму додекаэдра

Поваренная соль состоит из кристаллов в форме куба

• кристалл сернистого колчедана FeS имеет форму додекаэдра,

• сернокислый натрий - тетраэдр,

• бор - икосаэдр.

Где встречается икосаэдр ?

Скелет одноклеточного организма феодарии (Circogonia icosahedra) по форме напоминает икосаэдр.

Большинство феодарий живут на морской глубине и служат добычей коралловых рыбок. Но простейшее животное защищает себя двенадцатью иглами, выходящими из 12 вершин скелета. Он больше похоже на звёздчатый многогранник.

Из всех многогранников с тем же числом граней икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности.

Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление толщи воды.

Где встречается икосаэдр ?

Икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов.

Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось ранее. Чтобы установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень - икосаэдр.

Где встречается икосаэдр ?

Многогранники, в том числе и правильные, встречаются даже в живой природе: вирус герпеса (лихорадки на губах) глазу не видим, но с использованием микроскопа и увеличения в миллионы раз ученые определили, что он имеет форму икосаэдра

;

Геологические находки

Шеелит,5см, найден в Китае.

(блочное строение кристалла),

Геологические находки

Друза кристаллов кварца (горный хрусталь), 

9см, найден на Урале.

Геологические находки

Гранаты: Андрадит и Гроссуляр ( найдены в бассейне реки Ахтаранда, Якутия) 

Памятник аэродрому «Гражданка» Санкт-Петербург

Установлен на проспекте Науки в Санкт-Петербурге (недалеко от метро Академическая).

Памятники правильным многогранникам в городе Bagno Steinfurt в Германии

Основатели  города Мирный , находящегося в Архангельской области разместили на флаге и гербе своего города многогранник – «Большой додекаэдр»

Памятник многограннику «Усечённый большой додекаэдр» в г. Обнинск напротив здания «ДОСААФ» (ул.Шацкого, д.14).

Национальная библиотека Белоруссии (ромбокубооктаэдр, Архимедово тело)

МНОГОГРАННИК В ДРАГОЦЕННЫХ КАМНЯХ

Многие гранильщики драгоценным камням стараются придать бриллиантам форму тетраэдра, куба, октаэдра, икосаэдра

АЛМАЗ

Кроме правильных и полуправильных многогранников красивые формы имеют так называемые звездчатые многогранники . Их всего 4. Первые два были открыты

И. Кеплером , а два других почти 200 лет спустя построил Л. Пуансо (1777-1859).

Именно поэтому правильные звездчатые многогранники называются

телами Кеплера Пуансо .

2

3

4

1

Звездчатые многогранники очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений .

Применяются они и

в архитектуре .

Библиотека в Дамаске

Проект

Административного

Здания в Италии

- это звездчатые многогранники. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок.

СНЕЖИНКИ

Простые на первый взгляд снежинки столь же уникальны как и человеческая личность — на свете не найти двух одинаковых. Не бывает пятиугольных или семиугольных снежинок. Все снежинки имеют строго шестиугольную форму.

Впервые закон постоянства углов между гранями кристалла для частного случая кристалликов льда - снежинок – установил

И. Кеплер (1571-1630г.г.).

Определение звездчатого многогранника

Кроме правильных выпуклых многогранников существуют и правильные выпукло-вогнутые многогранники. Их называют звездчатыми (самопересекающимися).

Виды звездчатых многогранников

Их всего четыре, они называются также телами Кеплера-Пуансо:

• Звёздчатый октаэдр
• Малый звездчатый додекаэдр
• Большой звездчатый додекаэдр
• Икосаэдр

Кеплер открыл малый додекаэдр, названный им колючим или ежом, и большой додекаэдр. Пуансо открыл два других правильных звездчатых многогранника, двойственных соответственно первым двум: большой звездчатый додекаэдр и большой икосаэдр.

Звездчатый октаэдр

Он был открыт Леонардо да Винчи, затем спустя почти 100 лет переоткрыт Иоганном Кеплером, и назван им Stella octangula — звезда восьмиугольная. Отсюда октаэдр имеет и второе название «stella octangula Кеплера». Существует только одна форма звёздчатого октаэдра. Её можно рассматривать как соединение двух тетраэдров.

Додекаэдр

В результате продолжения ребер додекаэдра возникает многогранник, который называется малым звездчатым додекаэдром.

Если при продолжении граней додекаэдра в качестве граней рассматривать звездчатые пятиугольники, то получится большой звездчатый додекаэдр.

Икосаэдр

Икосаэдр имеет одну звездчатую форму. При продолжении граней икосаэдра получается большой икосаэдр.

Звездчатые многогранники в природе

Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа. Снежинки – это звездчатые многогранники. С древности люди пытались описать все возможные типы снежинок, составляли специальные атласы. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок.

Звездчатые многогранники очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений

• Ниже показана мраморная инкрустация, которая изображает небольшой звездчатый додекаэдр, расположенных в полу базилики святого Марка в Венеции. Предположительно она была создана итальянским художником XIV века Пауло Учелло еще в 1420 году.

Открыв малый звездчатый додэкаэдр, Кеплер назвал его «еж» и поместил в свою удивительную по фантастичности идей книгу «Мировая гармония» Но ученые отказывались считать кеплеровского ежа многогранником.

У этого упрямства была своя логика и своя предыстория. Столетиями математики не признавали за всякого рода звездами права называться многоугольниками из-за того, что стороны их пересекаются.

А тут — геометрическое тело, гранями которого служат пятиконечные звезды, да еще вдобавок пересекающиеся! Довод был прост и весом: это кеплеровское животное не подчиняется формуле Эйлера: Высоты + Грани – Ребра = 2. Конечно же, геометрический ежик не настолько уж колюч, чтобы восстать против непогрешимой формулы. Надо только взглянуть на него как на простое, честное геометрическое тело, составленное из 60 треугольников, имеющее 90 ребер и 32 вершины. Тогда В + Г - Р = 32 + 60 – 90 = 2 как и положено.

Кеплер не додумался, что у полученной им фигуры есть двойник. Это увидел Август Фердинад Мебиус, а сам многогранник — «большой додекаэдр» — построил французский геометр Луи Пуансо, спустя без малого двести лет после кеплеровских звездчатых фигур.

Рисуя правильные многогранники в книге Луки Пачоли «О божественной пропорции», Леонардо да Винчи не пользовался циркулем и линейкой.

Практически нет никаких сомнений, что он рисовал многогранники со сделанных его руками моделей.

Звездчатый октаэдр

Малый звездчатый додекаэдр

Гравюры Эшера Мориса

Хаос и порядок

Тяготение

Двойная планета

Тела Кеплера – Пуансона

Звёздчатый октаэдр

Малый звёздчатый додекаэдр

Большой додекаэдр

Большой звездчатый додекаэдр

Большой икосаэдр

Ромбоусечённый икосододекаэдр

Среди всех платоновых и архимедовых тел ромбоусечённый икосододекаэдр имеет наибольшее число вершин и наибольшее число рёбер (но не наибольшее число граней).

Окружающий нас мир – это мир геометрии

Спасибо за внимание

Используемые источники

1. Презентация: учениц Агаповой О, Акимовой А, Акчуриной О, Броцман К,

• Шароновой Н, Эврюковой Е.

2. Информационный проект по геометрии, руководитель: Дудко Ю. А.

3. https://tetraksis.com

4. Удивительный мир звезд . Автор: учитель математики 1 квалификационной категории Зайцева Галина Геннадиевна