Многогранные фигуры и многогранные тела

Многогранные фигуры и многогранные тела

Составил: Фатеев В.Н. учитель математики МБОУ СОШ №70 г. Томска

Некоторые пространственные фигуры, изучаемые в стереометрии, называют телами или геометрическими телами. Наглядно тело надо представлять себе как часть пространства, занятую физическим телом и ограниченную поверхностью.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ:

Многогранником называется геометрическое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. 

Выпуклым называется многогранник, если он расположен по одну сторону плоскости, проведённой через любой многоугольник, образующий поверхность данного многогранника.

Многоугольники, составляющие поверхность многогранника, называются его гранями; стороны многоугольников – рёбрами; вершины – вершинами многогранника: ABC, DEF, ABED, BCFE, ACFD – грани;

AB, BC, AC, DE, EF, DF, AD, BE, CF – рёбра;

A, B, C, D, E, F – вершины многогранника ABCDEF.

Теорема Эйлера для многогранников :

Если V — число вершин выпуклого многогранника, R — число его ребер и G — число граней, то верно равенство:

V – R + G = 2.

Общие характеристики многогранников:

1. Все они имеют 3 неотъемлемых компонента: грань (поверхность многоугольника), вершина (углы, образовавшиеся в местах соединения граней), ребро (сторона фигуры или отрезок, образованный в месте стыка двух граней).

2. Каждое ребро многоугольника соединяет две, и только две грани, которые по отношению друг к другу являются смежными.

3. Выпуклость означает, что тело полностью расположено только по одну сторону плоскости, на которой лежит одна из граней. Правило применимо ко всем граням многогранника. Такие геометрические фигуры в стереометрии называют термином выпуклые многогранники . Исключение составляют звёздчатые многогранники , которые являются производными правильных многогранных геометрических тел.

Звездчатые многогранники

ОПРЕДЕЛЕНИЕ:

Выпуклый многогранник называется правильным , если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

Существует пять типов правильных выпуклых многогранников: правильный тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.

У правильного тетраэдра грани – правильные   треугольники ; в каждой вершине сходится по три ребра . Тетраэдр представляет собой треугольную пирамиду, у которой все ребра равны.

У куба (правильный гексаэдр) все грани – квадраты ; в каждой вершине сходится по три ребра. Куб представляет собой прямоугольный параллелепипед с равными ребрами.

У октаэдра грани – правильные треугольники , но в отличие от тетраэдра в каждой его вершине сходится по четыре ребра .

У додекаэдра грани – правильные пятиугольники . В каждой вершине сходится по три ребра.

У икосаэдра грани – правильные треугольники , но в отличие от тетраэдра и октаэдра в каждой вершине сходится по пять ребер . 

Правильные многогранники

Реферат: Правильные многогранники в природе.

Задача

Определите количество граней, вершин и рёбер многогранника, изображённого на рисунке. Проверьте выполнимость формулы Эйлера для данных многогранников.

Задача

Сколько граней у шестигранного карандаша?

Задача

Четырёхугольное поле окружено рвом, ширина которого всюду одинакова. Как с помощью двух узких досок, длина каждой из которых в точности равна ширине рва, устроить переход через этот ров?