Многоугольники.Выпуклый многоугольник

Урок № 1

Многоугольники

• Ввести новое понятие «многоугольник».
• Познакомить с элементами многоугольника.
• Ввести понятия «выпуклый многоугольник» и «невыпуклый многоугольник».
• Вывести формулу нахождения суммы углов выпуклого многоугольника.
• Закрепить новые понятия и формулу нахождения суммы углов выпуклого многоугольника в ходе решения задач.

D

С

E

F

В

В

K

А

А

ABCDEFK – многоугольник (семиугольник)

AB, BC, CD, DE, EF, FK, KA - стороны многоугольника

A , B , C , D , E , F , K – вершины многоугольника

A , B – соседние вершины

A С, AD, AE, AF – диагонали многоугольника

D

E

B

C

F

A

ABCDEFK – не многоугольник (СЕ ⋂ AD = B )

4

D

С

E

внутренняя

область

В

F

K

А

внешняя область

4

D

С

E

F

В

В

K

А

А

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит

по одну сторону от каждой прямой, проходящей через

две его соседние вершины.

6

C

B

E

A

D

ABCDE - невыпуклый многоугольник

7

D

С

E

F

В

K

А

Найдем сумму всех углов многоугольника.

Для этого соединим вершину А с другими вершинами.

Получим ( n – 2 ) треугольников (пять).

Сумма углов каждого треугольника 180°.

Сумма углов выпуклого многоугольника (п – 2)·180°

Сумма углов выпуклого четырехугольника 360°

7

9

Задача № 365 (в)

Сколько сторон имеет многоугольник, каждый угол

которого равен 120°.

Решение

Обозначим п – количество сторон многоугольника.

Так как сумма углов выпуклого многоугольника

(п – 2) · 180°.

То следовательно (п – 2) · 180° = 120° · п

180° · п - 360° = 120° · п

60° · п = 360°

п = 360° : 60°

п = 6

Ответ: 6 сторон.

9

Задача

x - 8

x + 8

3(x – 8)

1

Найти стороны четырехугольника, если его периметр 66 см,

первая сторона больше второй на 8 см и на столько же

меньше третей, а четвертая - в три раза больше второй.

Решение

B

x

С

х + x – 8 + х + 8 + 3х – 24 = 66

6х – 24 = 66

6х = 66 + 24

6х = 90

A

х = 90 : 6

х = 15

ВС = 15 см, AB = 15 – 8 = 7 см,

CD = 15 + 8 = 23 c м,

AD = 3· 7 = 21 см.

Периметр это сумма

длин всех сторон,

поэтому:

D

Ответ:

х + ( x – 8 ) + (х + 8) + 3(х – 8) = 66

15 см, 7 см, 23 c м, 21 см.

9

Дано:

АВС D – четырехугольник, ∠А = ∠ B =∠C =∠D

2

∠ А -?

Найти:

Решение

С

B

По формуле о сумме углов

многоугольника имеем:

D

A

(п – 2)·180° = (4 – 2)·180° = 360°

По условию ∠А = ∠ B =∠C =∠D ,

следовательно ∠А = 360° : 4 = 90°

Ответ: 90°

12

Дано:

АВС D – четырехугольник,

∠ А:∠ B : ∠C : ∠D = 1:2:4:5

3

Найти:

∠ А,∠ B , ∠C , ∠D - ?

Решение

B

С

∠ А + ∠ B + ∠C + ∠D = 360°

Пусть ∠А = х

тогда ∠ B = 2х, ∠C = 4х, ∠D = 5х

х + 2х + 4х + 5х = 360°

A

12х = 360°

D

х = 360° : 12

х = 30°

∠ А = 30°, ∠ B = 2х = 60°, ∠C = 4х = 120°, ∠D = 5х = 150°

Ответ: 30°, 60°, 120°, 150°

13

• Какая фигура называется многоугольником?
• Что такое вершина, стороны, углы, диагонали

и периметр многоугольника?

• Какой многоугольник называется выпуклым?
• Формула вычисления суммы углов выпуклого

многоугольника.

• Чему равна сумма углов выпуклого

четырехугольника?

14